基于特征值分析法的雙饋風機傳動鏈扭振分析

王曉夫，陳振江，楊林清，李猛，何政宇，龔晟，周洋，張劍波

（云南電網有限責任公司昆明供電局，昆明 650200）

0 前言

人類社會能源危機日益嚴重，以風力發電為代表的新能源產業隨之迅速發展?，F代較為完整的風電機組系統如圖1 所示，風能經過風力機進入到傳動鏈當中，此時風能轉換為機械能，經過發電機使得機械能轉換為電能，通過電力電子設備對風電機組達到一些控制目的，最終輸出穩定且質量合格的電能并入電網。

圖1 雙饋風電機組結構圖

雙饋風力發電機（DFIG）因其具有最大功率追蹤、有功和無功功率的靈活控制、對不確定風速適應性高等優點，成為了風力發電的主力機型。雙饋風電機組在運行過程中會因風速變化在軸系上產生交變扭矩從而引起風電機組扭振。如今，風力發電機組發展呈現出單機容量增大、系統柔性不斷增加的趨勢，大大增加了風電機組發生扭振的可能性，扭振會使得風電機組運行壽命大大減短，嚴重的甚至會直接造成風電機組損壞，從而大大影響實際的風力發電生產活動，因此對于隨機風下風電機組扭振特性的研究顯得尤為重要。

1 雙饋風電機組傳動鏈建模的研究現狀

雙饋風電機組的傳動鏈是完成能量傳遞與能量轉換的重要部分，也是風電機組當中最為復雜的部分，傳動鏈中主要部件有風輪、輪轂、低速軸、齒輪箱、高速軸、剎車、聯軸器等部分。

目前建立風電機組軸系傳動鏈模型的主要方法是等效質量法，不同的等效情況把傳動鏈等效為不同質量塊個數的模型。目前軸系的集中質量模型主要有六質塊、四質塊、三質塊、兩質塊和單質塊模型，風電機組傳動鏈建模的質量塊越多，仿真精度越高，但是因為其變量和參數過多，會嚴重影響仿真的速度，因此在研究扭振特性時一般不使用。兩質塊的模型并不適合暫態情況的研究，特別是扭振，簡化的模型會使得系統丟失某一振蕩模態，相比之下三質塊模型則能更全面的考慮全部振蕩模態，能很好滿足扭振特性研究的需要。

本文構建了三質量塊的雙饋風電機組傳動鏈模型，三個質量塊分別為風力機、齒輪箱和發電機，質量塊之間以低速軸和高速軸連接，該模型充分考慮傳動軸扭轉柔性因素部分，根據此模型完成基于特征值分析法的雙饋風電機組傳動鏈扭振模態分析。

2 特征值分析法概述

2.1 小干擾分析法理論

李雅普諾夫穩定性定理指出，當一個非線性的系統在某些小擾動的情況下依然可以保持穩定，此時該系統的性質接近線性化系統的性質。因此，可以采用線性化系統的穩定性來研究現實中龐大非線性系統的小干擾穩定性。而實際中的電力系統是一個涉及了多種動態元件的一個復雜非線性系統，對于一個非線性系統，其動態特性的數學模型可用式（1）表示：

式中，x 為狀態變量；u 為系統的輸入變量；t 為時間；y 為系統的輸出變量。

系統研究需在線性條件下進行，線性化后的系統狀態空間方程為：

式中A,B,C,D 為該系統在穩態運行點的雅克比矩陣，具體如式（3）到式（6）所示，其中A 為該系統的狀態系數矩陣。

2.2 模態分析法理論

通過小干擾分析法得到系統的狀態系數矩陣A，對其使用模態分析法，可得系統狀態矩陣的模態情況。主要的求解量有：

2.2.1 系統特征值

狀態系數矩陣A 的特征值可以根據下式方程得到：

該方程稱為矩陣A 的特征方程，滿足該特征方程的就是矩陣A 的特征值。通常情況下，矩陣A 為一個n×n 的矩陣，特征值就分別有λ1,λ2,…,λn。假設特征值為λ=σ+jω，則不同實部和虛部代表著以下不同情況：

1）如果ω=0，此時特征值對應的是非振蕩的模態。在此種情況之下，如果σ＞0，那么則表示該模態是非周期發散的，發散速度與σ 絕對值成正比，系統不穩定；如果σ＜0，表示該模態隨時間是衰減的，衰減速度與σ 絕對值成正比，最終系統是穩定的。

2）如果ω ≠0，特征根以共軛復數的形式出現，每一對共軛復數對應著一種振蕩模態。特征根實部σ 代表的是阻尼大小，如果實部為正值，那么求解特征值的系統對于該模態有正阻尼作用，如果實部為負值，則系統對于該模態起負阻尼作用，此狀態下振蕩是不收斂的。由ω 可以求出系統的振蕩頻率f，f=ω?2π。

2.2.2 特征向量

對于某一特征值λi，有向量Ui滿足方程：

那么，稱Ui為矩陣A 關于特征值λi的右特征向量。

同樣的，如果有向量Vi滿足：

那么，稱Vi為矩陣A 關于特征值λi的左特征向量。一般情況下，我們取，這種左特征向量取法稱為規格化取法，由此得出，

2.2.3 阻尼比

阻尼比（D）表示模態振蕩衰減速度。當D＞0 時，該模態對應的振蕩是衰減的，并且阻尼比越大，衰減的速度越快，系統也更早穩定。當D＜0 時，該模態下振蕩是不收斂的，并且阻尼比的絕對值越大，振蕩的發散速度越快。

2.2.4 相關因子

定義量度第K 個狀態量xk和第i 個特征根的相關因子pki為：

Uki、Vki分別為右、左特征向量中第K 行、第i 列的元素，在規格化取法之下，由左右特征向量的運算關系可得：，因此可以將相關因子的計算簡化為：

由此可以總結得出，相關因子的值越大，說明狀態量xk對于系統該模態的貢獻是最大的。根據相關因子，我們能分析得到系統某一模態特征根的主導因素其中的狀態變量，為進一步研究扭振提供理論依據。

3 雙饋風電機組傳動鏈的模態分析模型

3.1 軸系運動方程

根據軸系集中質量扭振模型?；姆椒?，綜合研究內容的需要以及精度需求，將對雙饋風電機組的傳動鏈構建一個三質量塊的集中質量模型。如圖2 所示。

圖2 風電機組傳動鏈三質塊模型

圖中三個質量塊1,2,3 分別表示風力機、齒輪箱和發電機轉子。M 表示轉動慣量，D 表示自阻尼，K12 和K23 為低速軸和高速軸的剛度系數，D12 和D23 表示質量塊之間的互阻尼。將風力機低速側的各量折算到高速側，并且轉換為標幺值，該模型的動力學方程為：

式中，ω1、ω2、ω3表示各質量塊的機械角速度；θ1、θ2、θ3表示各質量塊的機械轉角；TW為風力機的機械轉矩；Te為發電機的電磁轉矩；ωb為系統電角速度基值，ωb=2πfn。

3.2 軸系標準狀態方程

利用小干擾分析法，將上述動力學方程（13）進行線性化，得到線性化之后的系統動力學方程：

根據軸系的標準狀態空間模型：

可以得到系統系數矩陣AM，并可據此進行模態分析：

4 雙饋風電機組傳動鏈模態分析結果

4.1 傳動鏈扭振模態

表1 中給出的是國內一款常用的雙饋風電機組固有參數具體數值，在傳動鏈三質塊模型中，將所有量轉換為標幺值以后，各部分參數如表所示。

表1 軸系模型參數

所以根據以上參數，可以得出雙饋風電機組傳動鏈系統的系數矩陣為：

對系統系數矩陣使用模態分析法，得到的信息如下表所示。

表2 雙饋風電機組軸系扭振模態

從上表當中可以得到，這組參數對應的雙饋風電機組傳動鏈模型共有三個模態，對應的振蕩頻率分別為0 Hz、2.1850 Hz 和7.2320 Hz，對應的阻尼比為1，0.0280 和0.1029。從特征值上來看，模態零特征值為0，此模態為非振蕩模態；模態一的特征值，實部為負且虛部不等于0，從而可知系統對該振蕩模態起到了正阻尼作用；模態二的特征值性質和模態一的相同。

4.2 各模態對應的振型

由每個模態的特征值對應的特征向量可以得到傳動鏈的振型，圖中橫縱坐標無實際意義，僅為了規劃傳動鏈扭振的域，曲線與縱坐標零線的交點為扭振強烈點。如下圖3、圖4、圖5分別給出了三質塊傳動鏈模型的振型情況。

圖3 模態零振型圖

圖4 模態一振型圖

圖5 模態二振型圖

從以上振型圖，可以看出：

1）模態0 時，扭轉頻率為0 Hz，此時三個質量塊的相對旋轉位置大致相等，此時的傳動鏈相對是穩定的，能在雙饋風電系統中穩定運行，系統不會發生振蕩。

2）模態1 時，扭轉頻率為2.1857 Hz，振型經過了一次反向,與橫軸有一個交點，當扭振模態被激勵的時候，齒輪箱和發電機相對風力機振蕩，并且發電機的振動幅度最大。

3）模態2 時，扭轉頻率為7.2320 Hz，振型經過了兩次反向，與橫軸有兩個交點，當扭振模態被激勵的時候，風力機和發電機相對于齒輪箱振蕩，并且齒輪箱出振動幅度最大。

4.3 參與因子

根據系數矩陣AM，求其左、右特征向量，最終可以得到表示狀態變量與各模態相關程度的參與因子。表3 為參與因子計算結果。

表3 各模態的參與因子

通過參與因子表可以看出，模態0 的情況下，當特征根為λ1時，三個質量塊各自的角位移對與該狀態的貢獻程度一樣大；當特征根為λ2時，對于該狀態貢獻最大的是風力機的轉速，其次是風力機的角位移。模態1 的情況下，對于該模態1，發電機轉子的角位移和轉速的參與程度是最高的，對系統的振蕩起到了最大的影響。在模態2 的情況下，齒輪箱的角位移和轉速的參與程度是最高的，對系統的振蕩起到了最大的影響。由此可知，在無振蕩的模態中，風力機的影響作用是最大的；在振蕩的模態中，齒輪箱和發電機對于傳動鏈的影響是最大的。

5 結束語

通過建立雙饋風電機組傳動鏈的三質塊集中質量模型，列寫該傳動鏈模型的動力學方程組，運用小干擾分析法對該方程組線性化，得到軸系傳動鏈的標準空間狀態模型，以軸系系數矩陣作為軸系的模態分析模型，對雙饋風電機組的軸系進行模態分析，對傳動鏈空間狀態模型的系數矩陣使用模態分析方法，得到其特征值、特征向量、振蕩頻率、振型、阻尼比和參與因子等扭振分析信息。

通過模態分析證明特征值分析法在風電機組傳動鏈扭振特性的研究中具有較強的實用性和可靠性，可根據特征值分析法初步確定扭振發生時傳動鏈中振幅較大的部位以及造成振蕩的主要參與因素，有助于后續進一步開展風電機組多質量塊模型扭振研究，對研究風電場的暫態穩定性提供了一定的模型分析基礎。