錯誤方法為何總得到正確結果？
——對一道數列題的錯解的反思

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

一、錯解演示

師：為什么這樣想？

生：跟著感覺走，感覺a5應該和S5有關.

反思：學生對老師的解法提出自己的疑問甚至質疑實際上是非常非常難得的.這個時候如果我們老師為了趕進度或者是感覺學生對自己不禮貌而匆忙應付過去甚至惱火，那就會大大挫傷學生的學習積極性，最可怕的是學生會因此而失去質疑能力.沒有質疑，何來創造力，于是教師停下來和學生對這個問題進行了深入的探討.

教師分析：

化簡得a1d1=b1d2.

錯解2 由題意可設Sn=k(2n+3),Tn=k(5n+7),

師：為什么這么做？

生：利用Sn與an的關系.

師：知道錯因了嗎？

生：Sn與an的關系不會錯，應該是Sn的表示有問題.

師：大家討論一下出現什么問題.

生：等差數列的前n項和應該是關于n的一個二次函數形式，而錯解2中的是一次函數形式.

二、正解演示與提升

所以可設：Sn=kn(2n+3),Tn=kn(5n+7).

所以a5=S5-S4=65k-44k=21k，b5=T5-T4=160k-108k=52k.

巡回中教師發現學生大都采用方法1，然后追問學生為什么喜歡用方法1？學生的回答很直接，簡單運算少.于是教師拋出下面一個問題.

三、預設中的變式探究

學生給出以下兩種解法

解法2Sn=kn(2n+3),Tn=kn(5n+7),

則有a3=S3-S2=27k-14k=13k，b5=T5-T4=160k-108k=52k.

師：大家評價一下以上兩種解法.

師：那應該是什么呢？

因為還有其他錯題要訂正，筆者就準備就此打住，于是筆者總結：“同學們，通過剛才這個變式我們應該認識到解法2才是解決這類問題的通法，雖然解法1在解決下標相同的兩項之比時有些優勢，但解決下標不同時就會出現錯誤.剛才這個同學說得很好，解法1顯然是有問題的，解法1的結果對應該是偶然的！大家只要記住用解法2做就可以萬無一失了.”

四、意外生成與收獲

學生的話引起了教師的深思，是含糊帶過還是回去認真研究一番呢？筆者決定索性和學生當堂好好探究一番.學生會質疑，說明學生經過認真思考，這是多么值得保護的品質??！

經過師生共同探究，終于找到了原因：

f(n)=k1n+p1,g(n)=k2n+p2.

另一方面：

于是就出現了上面神奇的一幕.

五、一點反思

很多同學在認可或聽懂了老師的正確解法后，往往會認為自己的方法得到的答案與標準答案不一樣,所以是錯的，至于為何錯，錯在哪里？解法有沒有意義？學生往往會忽略.這時候如果停下來，多問問學生為什么錯？你當時的想法是什么？也許就可以幫助學生真正理解數學概念，做到知其然也知其所以然.