載機平臺與模擬雷達運動關系模型的構建

姜晉云，李文海，孫偉超，吳陽勇

(海軍航空大學， 山東 煙臺 264000)

機載告警設備(以下簡稱告警設備)是戰機自衛電子對抗系統的重要組成部分[1-2]。告警設備是電子偵察裝備，它基于無源探測原理，在復雜電磁環境中對各頻段雷達信號持續檢測，測量威脅源的方位并確定威脅等級，實時向飛行員發送報告進行威脅告警，便于飛行員采取干擾措施保護作戰飛機的安全[3]。

目前，在對告警設備進行檢測時，部隊人員將雷達模擬器產生的信號傳給載機平臺，通過觀察設備偵測到的雷達數據與模擬器設定的數據之間的差距，對整個告警設備的多項技術指標進行檢測，用來測試設備的測向精度和測頻精度等指標[4-5]。然而在告警設備測試的過程中，載機平臺與所模擬的雷達位置相對固定，只能在相對靜止的狀態下對告警設備的基礎性能進行測試，而在真實的電子對抗中，載機與敵方雷達是相對運動的，現有的測試設備大部分無法驗證它在運動狀態下的工作特性，例如載機位于不同位置、不同角度時是否會對告警設備方位解算能力、雷達工作狀態判別能力產生影響，所得到的測試結果也并不具有說服力。若通過載機飛行來檢測告警設備運動狀態下的性能，盡管可以滿足測試的需求，但是維持飛行狀態也需要極高的成本，并且會存在風險而帶來其他損失。因此，對于機載告警設備的檢測而言，最好的選擇還是盡可能利用雷達信號模擬器實現載機“運動”的場景。

告警設備是通過接收雷達信號進行工作的[6]直接通過模擬多普勒頻率就可以實現運動目標的模擬。此時再使用雷達信號模擬器對告警設備進行檢測，就可以得到告警設備處于“運動”狀態下的測試結果，這對實現告警設備測試時的逼真戰時電磁環境的模擬具有重要意義。因此，本文針對如何利用雷達信號模擬器構建載機與待模擬雷達之間的相對運動關系模型這一關鍵性問題展開研究。

1 基于相對距離的運動關系模型

在真實的電磁環境中，雷達對空中運動的載機進行掃描時，由于多種因素的影響，載機告警設備接收到的雷達信號也會隨之變化[7]。

鑒于此，可以得到簡化的距離偵察方程，即不考慮系統損耗、大氣衰減以及地面或海面發射等因素的影響而推導出的偵察作用距離方程。假設載機位于距離雷達R處，并且兩者天線都處于最大增益方向時，此時載機接收天線接收到的雷達信號功率為：

(1)

式(1)中：Pt表示雷達的脈沖發射功率；Gt表示發射天線增益；Ar表示接收天線的有效面積，在進行該類告警設備測試的過程中，天線的有效面積可以認一個常量。

根據式(1)，此時載機接收到的雷達信號功率主要受兩者距離的影響。因此若要模擬載機在戰時電磁環境中被雷達照射的場景，可以采用控制雷達信號功率變化的方式來模擬相對距離的變化，如告警設備接收到的信號變為原來的四分之一，那么對應的兩者的相對距離變為原來的兩倍，這樣盡管載機平臺與所模擬的雷達處于靜止的狀態，依然可以復現出兩者“運動”的場景。

基于以上分析，通過控制告警設備接收信號功率的大小來模擬兩者相對運動，而雷達與載機之間相對位置的不同，載機所接收到的雷達信號功率也不相同，因此這需要首先模擬出載機平臺與模擬雷達之間相對位置的關系，這種變化可以通過構建載機運動航跡的策略來實現。通過模擬出待測飛機的運動航跡來實時得到載機與模擬雷達之間的相對位置關系，根據式(1)得到載機不同位置處的接收信號，實現載機平臺與待模擬雷達相對運動的模擬。本文結合灰色理論中多變量灰色MGM(1，N)模型[8-9]，提出運動軌跡模擬方法。

1.1 MGM(1，N)模型概述

設有N個原始數列，每個數列中有n個元素，有：

i=1,2,3,…,N

i=1,2,3,…,N

可建立微分方程為：

(2)

這個微分方程組記為MGM(1，N)模型。方程(2)的參數記為：

Yn=BU

(3)

由最小二乘法可以求得：

U=(BTB)-1BTYn

(4)

其中：

(5)

求出A、B后，微分方程(2)便可確定。通過求解，得到X(1)的擬合值為：

(6)

對式(6)進一步處理，利用還原公式求得X(0)(k)的擬合值為：

(7)

1.2 殘差修正模型

在利用MGM(1，N)模型進行建模仿真時，隨著飛機運動過程的不斷模擬，會產生新的位置信息，隨著這些坐標數據不斷填充進原始序列中，導致數據發生跳躍性變化的概率變大，MGM(1，N)模型的模擬結果將會產生較大的誤差，致使模擬量偏離實際的軌跡，造成模擬曲線出現不平滑的現象。因此為了得到飛機軌跡的長期預測值，本文采用計算殘差的方法來修正原始數據，在此基礎上進而構造新的MGM(1，N)模型。

定義一階殘差序列：

(8)

則一階殘差修正模型為：

(9)

其中：

在實際建模仿真時，并不是利用一次殘差修正就能達到模擬的目的，而是多次殘差修正后來得到精確的模擬值。因此，在對MGM(1，N)模型得到的數據進行一次殘差修正后，可以在修正數據基礎上繼續進行殘差擬合來提高數據的精度，此時：

(10)

式(10)中，m為殘差修正模型的階數。

該模型是MGM(1，N)的改進形式，先由MGM(1，N)模型得到飛機運動的位置模擬數據，進而得到殘差數據序列，然后對殘差序列進行灰色建模計算，與原模擬數據擬合得到更加精確的模擬結果，因此可以有效提升飛機運動航跡的真實性。

2 基于多普勒頻移的運動關系模型

當雷達與載機之間存在相對運動時，載機天線接收到的雷達信號頻率會發生變化，這種現象稱為多普勒效應，這種頻率的變化稱為多普勒頻移。如圖1所示，S點處為雷達的位置，載機從A點以速度v運動，并且在A點處接收到雷達信號，雷達與載機的相對距離為R，則雷達發射信號到達載機接收天線處的相位變化由式(11)給出。

(11)

式(11)中，λ表示發射信號的波長。當載機相對雷達運動時，兩者的相對距離R與相位Φ會隨時間而改變，因此對式(11)關于時間求導，得到相位關于時間的變化率，即角頻率為：

(12)

(13)

式(13)中，f表示發射信號頻率。多普勒效應示意如圖1所示。

圖1 多普勒效應示意圖

通過以上分析可以看出，在真實的戰場環境中，運動中的載機在不同位置、不同速度時的接收信號會發生多普勒頻移，導致接收信號的頻率不同。因此在真實的環境中，運動中的載機接收端信號的頻譜會始終處于[f-fd,f+fd]區間內，從而增加了接收端的信號帶寬，當告警設備加載威脅庫時，這種頻率的偏移會影響到對威脅源種類的判斷，故除了要考慮兩者相對位置引起的信號幅度變化外，還應考慮由兩者的相對運動所引起的信號頻率偏移，因此在測試時應根據兩者相對運動關系，對雷達信號模擬器產生的脈沖信號載頻進行補償，體現多普勒頻移的變化情況，從而達到模擬兩者“運動”的效果。

由式(13)可知，多普勒頻移與載機地徑向速度成正比，并且徑向速度是載機運動速度v在雷達與載機連線方向上的分量，載機的徑向速度vr=v·cosα(α定義為徑向夾角)。載機的運動速度v與徑向夾角α也對多普勒頻移產生影響。因此就需要知道兩者的相對運動速度以及其徑向夾角，然后根據式(13)對雷達信號模擬器產生的載頻信號進行補償，實現外場測試時模擬雷達與載機的相對運動，使告警設備所處的測試環境更加真實。

上文中提出了基于殘差修正的MGM(1,3)模型來構建載機的航跡，可以得到不同時刻載機的位置坐標(xn，yn，zn)，根據三維笛卡爾坐標系與球坐標系的轉換，可以將載機航跡上不同時刻的位置轉變為球坐標(R，φ，θ)來表示，根據圖1，由幾何關系可知，α是關于方位角φ和俯仰角θ的函數，可以得到式(14)，因此載機的徑向夾角可以由航跡中各位置的球坐標的俯仰角和方位角得到。

cosα=cosθ·cosφ

(14)

載機的運動速度v可以通過MGM(1，3)模型得到。運動物體速度的大小是路程關于時間的導數，其方向與運動軌跡的切線方向一致，根據MGM(1,3)模型可以得到載機關于時間序列的運動軌跡，因此可以十分方便地對不同時刻的載機速度進行解算。

綜上所述，在構建MGM(1，3)模型時解算載機運動軌跡上不同坐標處的運動速度v，以及通過球坐標的方位角φ和俯仰角θ得到徑向夾角α，實現模擬載機運動過程中多普勒頻移的功能，這是對兩者相對運動關系模型的補充，使告警設備測試時構建的戰時電磁環境更逼真、合理。

3 案例分析

本文采用文獻[10]中載機的飛行軌跡位置信息作為例子，來驗證本文方法的可行性。

設載機的飛行位置坐標為x(0){x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}、y(0){y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}、z(0){z(0)(1),z(0)(2),…,z(0)(n)}的一組時間序列，則原始序列為X(0)={x(0),y(0),z(0)}，根據式(2)～式(7)，建立MGM(1,3)模型來產生下一時刻載機飛行的位置坐標數據，顯然，這樣可以求得該階段內任意時刻的位置坐標信息。設載機前10組歷史位置坐標如表1所示。

表1 載機位置的實際坐標數據(10 m)

取前9個數據。對表1得到的數據進行累加生成，求出生成數列：

X(1)(i)={x(1)(i),y(1)(i),z(1)(i)}

并得到B與Yn：

由最小二乘估計可得：

可以建立MGM(1,3)模型為：

求解上面的方程組可得到位置坐標關于時間的近似解，將求出的數據代入式(8)～式(10)，計算3階殘差修正模型，把實際值、MGM(1，N)模擬值與殘差修正值進行比較，結果如表2所示。

表2 MGM(1,3)模型和殘差修正模型擬合坐標數據(10 m)

(b)y坐標

(c)z坐標

根據第10組數據的相對誤差可以得到：

其中,P1為MGM(1,3)第10組坐標數據的精度，P2為殘差修正后第10組坐標數據的精度?？梢娊涍^殘差修正后，模型的精度有了增高?；跉埐钚拚道L制出載機軌跡模擬圖，如圖2所示。

通過坐標轉換，由表2中殘差修正數據可以得到載機不同位置處的方位角φ、俯仰角θ和兩者的相對距離以及載機速度，解算出的相對運動信息如表3所示。

圖2 載機軌跡模擬圖

表3 載機與模擬器相對運動信息

結合表3的數據，由式(1)可使載機接收到不同的雷達信號功率；根據載機徑向速度，由式(13)可以對發射信號的載頻進行補償，顯然可以實現告警設備的動態測試。因此，本文構建載機平臺與待模擬雷達相對運動關系的方法基本符合設計要求。

4 結論

通過構建殘差修正MGM(1，N)模型模擬飛機運動，得到外推航跡，根據距離偵察方程與多普勒頻移，調整產生信號的幅度和頻率。通過案例證明了該方法的可行性與有效性，對雷達信號模擬器的設計有參考價值。需要說明的是，本文在計算距離與發射信號幅度關系時，采用的是簡化距離偵察方程，沒有考慮系統損耗、大氣衰減以及地面或海面發射等因素的影響。