敲出型雙障礙期權定價的高精度隱式差分格式

孫 玉 東

(貴州民族大學 商學院，貴陽 550025)

障礙期權在標準歐式期權的基礎上增加了障礙觸發限制條款,當障礙期權掛鉤的風險資產觸及障礙值之后期權即刻失效,此時期權的投資人也就損失了全部期權金.另一方面,期權作廢也失去了套期保值、規避風險等功能,致使投資人直接暴露在市場風險之下.因此相較于其他期權障礙期權更加便宜,雙障礙期權更是如此.

近些年來,學者和金融從業者們發現,價格相對低廉的障礙期權依然能通過一系列對沖策略實現套期保值、規避風險的功能[1-2],并且在投資策略的調整過程中投資人面臨較小的期權金損失[3-4].此外障礙期權在其他金融工程領域也有著良好的應用[5-6].在理論價值分析方面,文獻[7-8]采用傅里葉變換研究了雙障礙期權的價值問題,給出了半解析定價結果的同時,進行了大量的實證分析.文獻[4,9,10,11]采用攝動方法研究了障礙期權定價問題,給出了非線性 Black-Scholes模型上的一個半解析近似解,同時進行了近似結果的誤差分析.由于障礙期權收益結構復雜,除了完全線性的 Black-Scholes模型外解析定價結果常常難以獲取，文獻[3,12]采用 Monte-Carlo模擬方法,獲取了一種統計計量分析方法.

本文提出了采用加權隱式差分格式研究了雙障礙期權定價問題.針對雙障礙期權提出了一種更高精度的數值模擬方法,同時分析了差分格式的穩定性和收斂 性.

1 向上敲出巴黎期權

在期權存續期[0,T]內,雙障礙期權約定當風險資產始終S位于區間[L,U]時則期權有效,否則期權作廢.依據風險中性定價策略,雙障礙期權的價值可以表示為

V=E[I{S(t)∈[L,U],t∈[0,T]}f(S(T))],

(1)

其中：

K表示事先約定好的執行價格.依據 Feymann-Kac公式,兩種雙障礙期權的價值適合下面的拋物初邊值問題[1-2]

(2)

其中：r表示無風險利率,σ表示期權掛鉤風險資產價格S的波動率,σ越大意味著風險資產S在未來時刻的走勢不確定性約強.注意期權有規避風險、套期保值的功能,σ越大也意味著期權的功能越強,價值也越大.進一步將主方程結構簡化,作變換x=lnS-lnL,則式(2)轉化為[3]

(3)

其中：xmax=lnU-lnL.下文將對(0,T)×(0,xmax) 進行網格劃分,采用隱式差分格式對雙障礙期權進行價值分析.

2 差分格式

先對時間變量和空間變量進行等距網格劃分,令

tk=kΔt,k=0,1,…,N;xi=ih,i=0,1,…,M,

其中： Δt=T/N和h=xmax/M分別表示時間步長和空間步長.進一步對時間變量進行離散,其中向前差分格式滿足

(4a)

k=0,1,…,N-1.向后差分格式滿足

(4b)

k=1,2,…,N.然后對空間變量進行網格劃分,對任意的i=1,2,…,(M-1)有

O(h4),

(5)

O(h4),

(6)

其中：

考察加權隱式差分格式,將式(4a)、(5)、(6)代入式(3),由文獻[13-14]可以得到

R(τk,xi)+O(Δt2+h4),

(7)

其中 ：

(8)

再利用式(3)的主方程,容易得到

(9)

對上式求偏微分并將上式代入,有

(10)

從而將式(9)、(10)代入式(8),則R(τk,xi)改寫為

(11)

其中：

O(Δt2+h4).

(12)

(13)

為了更好的進行編程實現,將隱式差分格式(13)還可以寫成矩陣形式,

AVk=BVk+1,k=0,1,…,N-1,

(14)

3 穩定性和收斂性分析

本節分析隱式差分格式(13)的穩定性和收斂性.為了便于論述,這里先給出需要用到的無窮范數

(15)

這里可以斷定差分格式 (13)的解是存在且唯一的.事實上,容易驗證α0>0,并且當Δt較小時

α-+α0+α+=1+rΔt>0,

從而矩陣A是M-矩陣也是可逆矩陣.注意采用遞推循環計算Vk時,BVk+1是常數向量,從而利用克萊默法則,線性方程組 (14)存在唯一解.

(16)

從而

(17)

其中：

定理 4.1 隱式差分格式(13)關于初值無條件穩定.

證明注意當k=N-1 時,注意α0>0 ,并且當h充分小時,α-<0,α+<0 ,從而由三角不等式,

注意到β-+β0+β+=1,有

(α-+α0+α+)‖εN-1‖∞≤‖εN‖∞,

又因為α-+α0+α+=1+rΔt,所以

‖εN-1‖∞≤(1+rΔt)-1‖εN‖∞≤‖εN‖∞.

因此由歸納法可得對任意的k=0,1,…,(N-1),有

‖εk‖∞≤‖εN‖∞

從而隱式差分格式 (13)關于初值無條件穩定.

容易得到

類推文獻[13-14]中的傅里葉展開方法,差分格式 (13)存在如下收斂性結果.

定理 4.2 差分格式(13)一致收斂,并且對任意的k=0,1,2,…,N,

其中C是正常數.

4 數值模擬

本節用 R軟件對隱式差分格式 (13)進行模擬,既驗證差分格式有關精度的結果,又對雙障礙期權進行價值分析.在模擬過程中,設定無風險利率r為 0.1,風險資產的波動率σ=0.3 ,風險資產在0時刻的市場價為100元,雙障礙期權的到期日T=1 ,事先約定好的執行價格K=90 ,期權的下障礙L=50 ,上障礙U=200 .

先考察差分格式的精度,這里選擇看漲類型的雙障礙期權,其在到期日的收益滿足

f(S)=max{S-K,0}

文獻[15-16]給出了雙障礙期權解析定價結果,結合式(15)、(16)可以計算差分格式在 0時刻的最大誤差

依據文獻[15-16],在固定時間節點總數N下差分格式在空間上的有效收斂精度為

同時在固定空間節點總數M下差分格式在時間變量上的有效收斂精度為

由表 1、 2,可以看出時間的收斂精度在 2附近、空間的收斂精度在 4附近,這恰好驗證了定理 3的結果.由圖1、2可以看出當(M,N)→ (∞,∞)時,差分格式 (13)不論在時間上還是空間上均一致收斂.

表1 N=100情形下的誤差 EM|N和收斂速度 RM|N

表2 M=100情形下的誤差EN|M 和收斂速度RN|M

圖1 不同股票價格S下雙障礙期權價格

圖2 不同時間t下雙障礙期權價格 (S=100)

接下來分析雙障礙期權的價值規律,由圖 1可以看出當風險資產價格S接近上障礙U或者下障礙L時期權價值較低,處于中間區域時期權價值較高,這是因為當風險資產價格S接近上障礙U或者下障礙L時期權有較高的作廢概率,期權的價值也就越低.由圖 3、 4可以看出,當期權處于深度虛值狀態時,期權價值隨時間的推移走低,當期權處于深度實值狀態時,期權價值隨時間的推移走高.由圖 5可以看出政府部門對無風險利率的管控對期權有實質性影響:期權處于實值狀態時,無風險利率調高期權價值走低;期權處于虛值狀態時,無風險利率調高期權價值走高.

圖3 不同時間t下雙障礙期權價格 (虛值狀態)

圖4 不同時間 t下雙障礙期權價格 (實值狀態)

圖5 不同風險資產價格下雙障礙期權價格圖

圖6可以看出期權在金融市場上的規避風險功能,當風險資產處于障礙的中間區域時,波動率越大期權價值越大.當風險資產處于深度虛值或者深度實值狀態時,由于期權存在較高的作廢風險 ,使得波動率對期權價值的影響不易觀測.

圖6 不同風險資產價格下雙障礙期權價格

5 結 語

隨著金融經濟的發展,期權逐步引起投資人的青睞.本文利用隱式差分格式考察了連續敲出型雙障礙期權定價問題,得到一個精度相對高的差分格式,分析了差分格式的穩定性和收斂性等問題.在相同的計量模型下,本文提供的方法對其他歐式類型期權依然有效,但是針對近些年來研究的美式類型期權的差分定價結果以及相應的最佳實施邊界仍需要進一步的研究.