基于損傷力學與安全衰減路徑的含裂紋缺陷壓力容器擴展壽命分析

毛志輝， 龍 偉， 劉華國， 黃文成， 胥 鑫

(四川大學機械工程學院， 成都 610065)

壓力容器作為承壓設備，廣泛用于國防軍工、材料運輸、宇航工程等領域，同時其又屬于具有高度爆炸危險的特種裝備。十年前中國萬臺設備的重大事故率是發達國家的100倍[1]。裂紋是影響壓力容器最常見的安全隱患，現有壓力容器安全評定方法如美國《ASEM鍋爐及壓力容器規范》、英國《含缺陷結構完整性評定標準》、歐洲《歐洲工業結構完整評定方法》等[2-3]，對于裂紋缺陷無法給出準確的安全判定，更無對裂紋缺陷的安全裕度和擴展壽命做出準確預測。不少學者為了解決這個問題采用了許多種方法。張效成等[4]從高溫鋼材的蠕變性重點研究了蠕變斷裂壽命估算問題，提出了基于Larson-Miller 參數法的利用分區分析與考慮宏觀時效的長時持久壽命外推估算方法，該方法可在一定可靠度下進行有效的壽命預測；丁克勤等[5]則利用模糊數學方法，對缺陷擴展尺寸進行統計學意義上關聯表征，提出了基于缺陷尺寸模糊表征的含缺陷壓力容器的R6 安全評定方法；龍偉等[6]通過裂紋的失效路徑與權函數法對壓力容器的埋藏裂紋進行研究。提出了一種基于權函數的埋藏裂紋剩余壽命的計算方法。

綜合來看，上述研究針對不同構件、從不同角度，探討了壓力容器缺陷安全裕度與壽命研究等重要的學術問題，不少研究取得了非常有益的成果，對該領域的理論技術發展和工程應用具有積極意義。但大多數研究均是基于斷裂力學的Paris公式，只考慮了材料的線性彈性斷裂，但塑性變形是裂紋在擴展過程中不可忽視的一個因素。

損傷力學是研究材料在各種不同加載條件下，材料損傷部位隨著材料變形而發生演化并最終導致破壞的過程。壓力容器在循環載荷的作用下逐漸產生疲勞損傷，當疲勞損傷到一定程度會發生疲勞斷裂。在壓力容器產生疲勞裂紋損傷累積的整個過程中不是單個裂紋進行演變的，而是眾多群體裂紋損傷演化的過程，在宏觀上為等低周疲勞下的應力幅值不斷下降、等幅應力疲勞下的應變幅值不斷增加[7]。對于基于載荷-壽命曲線的經典疲勞損傷理論從本質上來講與基于斷裂力學研究出的裂紋擴展公式是相同的[8]，用壓力容器裂紋在疲勞循環中的擴展量來表示裂紋疲勞損傷量，從而使由損傷理論來計算裂紋的疲勞壽命有明確的理論依據。

雙判據失效評定圖(failure assessment diagram,FAD)方法是以彈塑性斷裂力學理論為基礎，在確定缺陷的安全性時，考慮兩種極端的失效情況，即線性彈性斷裂和塑性失穩，兩者間存在著一種過渡的失效狀態，為這種過渡狀態引入反映其分別退化的線彈性斷裂判據和塑性失穩判據，典型的如英國的CEGB-R6準則和美國的EPRI 準則[9-10]?；贔AD建立疲勞裂紋的安全衰減路徑，依據安全衰減路徑來確定裂紋在疲勞循環中的擴展量。

基于FAD安全衰減路徑，結合在低周疲勞情況下的能量損傷理論，考慮了材料的線性彈性斷裂，又結合了材料的塑性失穩判據提出了一種關于壓力容器裂紋缺陷的擴展壽命預測模型，并運用Paris公式計算裂紋擴展壽命和使用Abaqus仿真軟件中的XFEM模塊仿真在低周疲勞下裂紋的擴展壽命，與提出的模型計算結果相對比，來驗證模型的準確性。

1 低周疲勞損傷模型

當載荷大到足以使材料發生與彈性應變同數量級的塑性應變時，則發生低周疲勞損傷,因此低周疲勞損傷相對加載的循環載荷較少。對于低周疲勞損傷，Lemaitre等[11]基于能量損傷理論提出損傷增量表達式為

(1)

式(1)中：D為損傷變量；γ為累積塑性應變；α、S為材料常數；Y為損傷能量釋放率，其表達式為

(2)

式(2)中：σeq為等效應力；E為楊氏模量；Rv為三軸應力比，其表達式為

(3)

應變硬化率為

(4)

式(4)中：n為應變硬化指數；Δγ為累積塑性應變幅；K為材料常數。

設在一個循環中某一瞬間D不變，則

(5)

式(5)中：γi為初始累積塑性應變；γ為累積塑性應變。

將式(2)與式(5)代入式(1)中，得

(6)

(7)

式(7)中：N為疲勞循環次數，對式(7)進行積分變換，當N=0，D=0；當D=1時，N=Nf，得

(8)

將式(8)代入式(7)即可得到低周疲勞損傷壽命方程：

(9)

2 基于安全衰減路徑的裂紋疲勞擴展壽命計算模型

目前，大多數研究對含缺陷壓力容器的壽命進行壽命估算時大都是通過Paris公式的迭代計算[12]，根據裂紋的長度和深度幾何變化關系，用分步法計算裂紋的剩余壽命。所以如何建立損傷程度與裂紋尺寸的函數關系是求取裂紋擴展壽命的關鍵。對于損傷程度可以用缺陷評定的安全裕度來表示，記為

D=1-Mf

(10)

式(10)中：Mf為安全裕度，對于安全裕度的表征模型，通?；谑褂秒p判據失效評定圖的射線法，如圖1所示。

圖1 基于失效評定圖射線法的安全裕度表征圖Fig.1 Characterization diagram of safety margin based on ray method of failure assessment diagram

失效評定圖中橫坐標Lr為載荷比，縱坐標Kr為斷裂比。對于射線法，圖1中OB為缺陷A的總安全衰減路徑尺寸，OA為衰減路徑起點到缺陷評估點A的距離，則缺陷A的安全裕度Ms表達式為

(11)

然而，對于這種安全評定點按照射線法或者平行法發展明顯與實際不符，從安全到不安全的衰減路徑其擴展速率并不是保持恒定不變的，而是以速率逐漸加快的衰減路徑逼近其安全臨界線，該路徑稱為缺陷評定點在幾何尺寸延展下的安全衰減路徑，并把缺陷評定點沿安全衰減路徑逐漸接近臨界線的程度稱為安全程度P。

建立符合實際的裂紋缺陷安全衰減模型，首先要得出裂紋在擴展過程中裂紋長度和深度的幾何關聯變化關系，通過評估標準計算出每個尺寸下的安全評定點，將計算出的安全評估的點集繪制在安全評估評定圖上，得到安全評定點沿著一條曲線由安全區逐漸向非安全區靠近。在評定過程中需要對裂紋進行規則化處理，如圖2所示。

圖2 裂紋缺陷規則化處理Fig.2 Regularization of crack defects

圖2中B為設備壁厚，l為測得裂紋在設備表面上最大長度，h為測得裂紋在設備壁厚方向上最大深度，c為規則化裂紋長度，a為規則化裂紋深度。Newman等[13]提出在裂紋成長過程中一直保持半橢圓形狀，以及它們通過三維有限元數值計算建立的應力強度因子經驗方程解。結合裂紋長度與深度的比值范圍可以得到表面裂紋長度和深度的幾何關聯變化關系如下。

當a/c>1時：

(12)

當a/c≤1時：

(13)

對于埋藏裂紋，長度和深度的幾何關聯變化關系如下。

當a/c>1時：

(14)

當a/c≤1時：

(15)

根據長度與深度的變化關系運用壓力容器安全評估仿真平臺進行仿真，即隨著加載時間增加將裂紋變化過程中的每一個裂紋尺寸在失效評定圖中表示出來，得到安全評定點沿著一條曲線由安全區逐漸向非安全區靠近，如圖3所示。

圖3 壓力容器裂紋缺陷的安全衰減路徑Fig.3 Safe attenuation path of cracks in pressure vessels

從圖3中可以看出，裂紋從安全區擴展到非安全區域是按照衰減路徑變化的，在整個裂紋擴展過程中，分為三個階段。裂紋擴展第一階段為萌生擴展階段，這一階段裂紋擴展迅速在圖3中顯示為評定點稀疏且沿直線快速擴展；在穩定擴展階段，這一階段裂紋擴展規律符合Paris理論，安全評定點在失效評定圖3中非常集中；最后裂紋失效擴展階段，此階段含缺陷設備即將安全失效，故安全評定點在圖3中快速移動到安全邊界。

缺陷安全衰減路徑反映的是裂紋擴展情況在FAD圖上的表現情況，安全裕度Ms其定義就是，裂紋的安全衰減路徑從起始點到失效點之間的距離，即裂紋的失效尺寸。安全裕度的引用是為了更準確地描述剩余壽命，反映含裂紋缺陷的金屬結構的安全程度，其計算公式為

(16)

式(16)中：f總為衰減路徑在安全區域內的總長度；f(x)為衰減路徑起點到評定點間的長度。

損傷程度可表示為

(17)

將式(9)進行積分可得，裂紋缺陷擴展壽命表達式為

N=Nf[(1-D0)α+1-(1-Di)α+1]

(18)

式(18)中：D0為初始損傷；Di為評定點損傷，可根據式(17)進行計算。

3 裂紋疲勞擴展壽命模型驗證

為了驗證所提出的計算擴展壽命模型的準確性，進行了算例計算，分別運用提出的模型與經典的Paris公式模型和擴展有限元仿真的計算結果進行對比，來驗證模型的準確性。

3.1 Paris公式驗證

某強度鋼的壓力容器其平均直徑為1 000 mm，壁厚為20 mm，工作壓力為2 MPa，壓力容器表面裂紋的尺寸取a=3 mm，c=3 mm， 根據《在用含缺陷壓力容器安全評定》(GB/T 19624—2004)，由其相關參數，計算出缺陷在失效評定圖(FAD)上的評定點。運用壓力容器仿真平臺建立缺陷的安全衰減路徑仿真如圖4所示。

圖4 表面裂紋安全衰減路徑Fig.4 Surface crack safety attenuation path

根據圖4，由式(17)可以求取裂紋缺陷在擴展到某一長度時的損傷程度D。上述材料的應變疲勞試驗有[14]：

(19)

此金屬材料的材料參數α=2.824，對于此含表面裂紋壓力管道所受的等效載荷相當應變幅取Δε=7 600με，代入式(19)得Nf=20 000。將其與求得的損傷程度D代入式(18)可得裂紋缺陷的擴展壽命曲線如圖5紅色曲線所示。

圖5 裂紋擴展壽命曲線Fig.5 Crack growth life curve

對于裂紋缺陷求剩余壽命通常使用Paris公式進行積分的方法求取剩余壽命，則有:

(20)

其中，對于上述材料其擴展速率[15]

da/dN=1.158×10-11ΔK3

(21)

故C=1.158×10-11，m=3，對于應力強度因子ΔK根據《在用含缺陷壓力容器安全評定》(GB/T 19624—2004)可求得

(22)

式(22)中：fm、fb均可在《在用含缺陷壓力容器安全評定》(GB/T 19624—2004)中查得，結合以上公式可求得利用Paris公式所得的裂紋擴展壽命，擴展壽命曲線如圖5中藍色線所示。

根據圖5可知，利用兩種方法所求得的裂紋擴展壽命在增長趨勢上大體相同，在初始階段裂紋擴展較緩慢，隨著循環次數的增加逐步增快。

3.2 有限元分析驗證

近年來，隨著擴展有限單元法(XFEM)逐漸發展，主要使用XFEM來仿真分析裂紋的擴展。XFEM主要通過添加加強形函數以解決單元內部的間斷性問題以及采用水平集法等方式追蹤裂紋的位置，使得裂紋可以貫穿網格單元，從而在不重畫網格的情況下，進行模擬裂紋擴展[16]。

圖6 疲勞裂紋擴展速率隨能量釋放率G變化的曲線Fig.6 Curve of fatigue crack growth rate with energy release rate G

低周疲勞裂紋擴展中，疲勞裂紋擴展的萌生條件為

(23)

式(23)中：C1、C2為材料常數；ΔG為相對能量釋放率。

當最大能量釋放率Gmax滿足Gthresh

(24)

式(24)中：ΔG為相對能量釋放率；da/dN為疲勞裂紋擴展速率；C3、C4為材料參數。上述需滿足Gthresh

圖7 壓力管道模型Fig.7 Pressure pipe model

如圖7所示是對上文中的壓力容器在ABAQUS中建立的三維模型及裂紋細節圖，對于壓力管道材料的揚氏模量E=205 GPa，泊松比v=0.3，屈服應力σs=680 MPa。利用ABAQUS擴展有限元方法對壓力管道模型進行低周疲勞擴展分析，裂紋疲勞擴展過程如圖8所示。

圖8 裂紋疲勞擴展過程Fig.8 Crack fatigue expansion process

根據劃分網格的大小可以計算出裂紋擴展長度。裂紋擴展壽命曲線與本文方法和Paris公式計算裂紋擴展壽命曲線對比如圖9所示。從圖9中可以得到，在裂紋擴展過程中，相比Paris公式計算結果,本文模型的計算結果跟擴展有限元仿真結果逐漸接近，在整個擴展過程中誤差較小，故本文模型具有一定的準確性。

4 結論

結合低周疲勞損傷公式及裂紋安全衰減路徑，給出了壓力容器損傷程度和裂紋疲勞擴展壽命的計算方法，目前關于裂紋疲勞擴展壽命一般是基于Paris公式進行計算，運用新提出的計算方法與Paris公式進行對比的結果顯示此方法能夠有效地表示壓力容器的損傷程度，預測裂紋的疲勞擴展壽命。

(1)根據裂紋長度和深度的幾何關聯變化關系并通過其變化模型在失效評定圖上建立表面裂紋的安全衰減路徑仿真圖，準確地表示裂紋的擴展情況，利用裂紋衰減路徑給出裂紋缺陷在任何尺寸時對應的損傷程度，利用損傷程度結合低周疲勞損傷方程計算出裂紋的擴展壽命。

(2)對某壓力容器進行了算例計算和有限元仿真分析，結果顯示，該方法能夠有效地預測裂紋的擴展壽命，在預測壓力容器裂紋擴展壽命有一定的實用價值。