半球諧振陀螺真空度要求分析

程 雷，崔云濤，王妍妍，蔣效雄,2

（1.天津航海儀器研究所，天津，300131；2.中國船舶航海保障技術實驗室，天津，300131）

半球諧振陀螺(HRG)是基于哥氏效應測量角速度的固體波動陀螺，具有結構簡單、精度高、功耗低、壽命長、可靠性好、抗空間輻射等優點，被國際慣性技術界認為是21 世紀廣泛應用于各類運載器捷聯慣導系統的理想器件[1,2]。

半球諧振陀螺的諧振子在控制系統的作用下維持環向波數為2 的四波腹振動，在這種振動模態下，半球諧振子唇緣的振型具有四個波腹和四個波節。當陀螺不轉動時，波腹點和波節點的位置保持不變；當陀螺轉動時，在哥氏力的作用下，振型相對殼體產生環向進動，如圖1所示。當殼體順時針繞中心軸旋轉φ角度時，振型則相對半球殼逆時針旋轉θ角度，且有θ=Kφ，K稱為振型的進動因子。因此，只要精確測量出振型相對殼體旋轉的角度θ，就可以計算出殼體繞中心軸轉過的角度φ[2]。

半球諧振陀螺的核心元件是諧振子，諧振子的核心運動是振動，振動的品質因數Q決定了陀螺的精度，Q值越大，陀螺的精度越高。諧振子的振動頻率為KHz量級，空氣阻尼的影響對振動的影響尤為重要，顯然半球諧振陀螺應工作在空氣稀薄的條件下，真空度越高，空氣阻尼對諧振子振動影響越小。但空氣阻尼對諧振子的影響機理，以及如何定量計算，沒有相關材料提供依據，因此本文進行了研究與實驗，推導出計算公式，用以計算不同真空度條件下諧振子的空氣阻尼以及空氣阻尼作用下的品質因數Q值，并基于此理論分析與計算得出相關結論，為半球諧振陀螺的真空設計提供依據。

1 空氣阻尼對諧振子品質因數的影響

1.1 諧振子的品質因數

半球諧振陀螺的諧振子由熔融石英加工而成，物理特性穩定，具有很高的可靠性和超長的壽命[3]，理論上，具有很高的品質因數，具有斷電后仍能繼續工作長達10 分鐘的優勢。

諧振子的品質因數Q，反映了諧振子振動的能量損失情況，我們定義Q為：一個振動周期中，諧振子的初始能量E與結束時損失的能量ΔE比的2π 倍。

諧振子的品質因數Q直接決定了陀螺的精度以及分辨率極限。與Q有關的影響因素見式(2)。

式中，1/Qfri——內摩擦損耗，由材料物理屬性決定；1/Qsur——表面缺陷損耗，由加工工藝決定；1/Qgas——空氣阻尼損耗；1/Qother——其他環境損耗，由裝配及封裝工藝決定；1/Qsup——支撐損耗；1/Qother——熱彈性損耗，受材料自身缺陷、形狀結構影響。

通過式(2)可知，降低空氣阻尼的損耗，可以提高Q值，對陀螺的精度及分辨率有積極意義。

1.2 空氣阻尼對半球諧振陀螺的影響機理

半球諧振陀螺工作時，只考慮空氣阻尼作用的半球諧振子的振動模型如下：

其中m為質量，C是空氣阻尼系數，k是彈性系數，可以推出：

δ是空氣阻尼因數（或稱空氣阻尼衰減常數），ω0為初始角頻率。其中：

得到通解：

其中A為振幅，ω為角頻率，φ是相位角。

而阻力為：

半球諧振陀螺的能量為:

由于δ?ω0，能量公式簡化為：

而δ?ω0=2π/T，T為一個振動周期的時間，品質因數Q為：

由此可以得出：諧振子的Q值與δ阻尼因數成反比，若要提高諧振子的Q值，必須降低空氣阻尼因數δ。

2 不同真空度環境下半球諧振陀螺空氣阻尼分析

半球諧振陀螺的空氣阻尼情況比較復雜，不同真空度環境的空氣阻尼的機理不同，數值差別非常大?？伺禂礙n是表征流體特征的重要參數[4,5]：

λ是氣體分子平均自由程[6]，d為流體特征尺寸，即諧振子與激勵、檢測電極的極間間隙。

n是氣體分子密度；σ是氣體分子直徑；對于20℃的空氣有：

其中，P是真空度。

克努森系數Kn＜ 0.001 時，空氣狀態考慮為連續的流體，適用納維-斯托克斯方程；0.001＜Kn＜ 0.1 時，空氣狀態為滑移流區，氣體開始變得稀薄，適用納維-斯托克斯方程時應考慮邊界條件；Kn＞ 10 時，空氣狀態為自由分子狀態；0.1＜Kn＜ 10 時，空氣狀態介于自由分子狀態和流體狀態之間的過渡流區[7,8]。

2.1 連續流態的空氣阻尼系數

半球諧振陀螺的諧振子為半球形，檢測電極、激勵電極也為同心的半球形，諧振子產生的振動可以用平板運動來簡化。當克努森系數Kn＜ 0.001 時，諧振子所受的空氣阻尼主要是壓膜阻尼[9]，受力情況如圖2。

圖2 壓膜阻尼示意圖Fig.2 The sketch of squeeze film damping

極板間的氣體可認為是粘性不可壓縮的流體，納維-斯托克斯方程可用雷諾方程來求解。極板間距d遠小于極板平面尺寸，極板間壓力承拋物線分布，中間高兩側低，氣體密度與氣體平均自由程的乘積等于常數，雷諾方程為：

其中，x為平行極板方向，y為垂直極板方向，μ是空氣的粘滯系數為1.81×10-5Pa·s。

諧振陀螺的振動頻率為幾千赫茲，頻率較低，不考慮溫度變化的情況下方程可簡化為：

考慮極板的邊界模型，在極板的x、y邊界氣體的壓力變化為0，極板受到的壓力P(x,y)可通過邊界模型假設得出[9]，然后利用P(x,y)對極板面積積分可得出阻尼力為：

W為寬度，L為長度，d為間距，β(W/L)是經驗系數，如圖3所示。

圖3 β(W/L)與W/L 關系圖Fig.3 The diagram of β(W/L) and W/L

可得出空氣阻尼系數為：

根據圖4，β(W/L)取值0.85。

其中S是振動極板的面積。

2.2 滑移流態的空氣阻尼系數

當克努森數0.001＜Kn＜0.1 時，諧振子所受的空氣阻尼仍然主要是壓膜阻尼，不過由于空氣開始稀薄，空氣粘滯系數μ的值不再是一個基本不變的量，需要對其進行修正，修正方法有很多，這里我們采用Hsia[10]修正，有效粘滯系數μeff為：

2.3 自由分子態的空氣阻尼系數

當Kn＞10 時，空氣狀態為自由分子狀態?？諝夥肿又g的碰撞可以忽略，主要考慮分子與諧振子極板的碰撞。極板在此狀態下以速度v運動，如圖4所示。

圖4 諧振極板運動簡圖Fig.4 The sketch of plate movement

圖5 諧振極板受力簡圖Fig.5 The sketch of plate stress

M為氣體摩爾質量（Kg/mol）；θ為氣體入射角；dω為與面ds法線成θ角度和θ+dθ的兩錐面間包括的所有立體角；R為摩爾氣體常數，空氣的摩爾氣體常數為8.31441 N ? m/ （mol ? K）；T為熱力學溫度（K）；P為真空度。

根據克努森的吸附層假說，氣體分子碰撞到極板后先吸附在極板上，停留一段時間后再重新逸出，方向與原來無關，所以可以通過單位時間內碰撞到極板上的氣體分子的動量，計算出極板所受的力：

經積分計算后，極板阻力為：

所以空氣阻尼系數C為：

2.4 過渡流態的空氣阻尼系數

當0.1＜Kn＜10 時，空氣狀態介于自由分子狀態和流體狀態之間。既要考慮自由分子狀態的空氣分子對極板的直接撞擊，又要考慮極板間隙中的空氣分子層間的滑移粘滯，因此空氣的阻尼系數為兩種狀態的累加。

空氣的粘滯阻尼主要是由于空氣分子間的碰撞產生的，空氣自由程λ是一個平均量，有些分子的自由程大于λ，有些小于λ，在λ＜＜d（極間間隙）時，大于空氣自由程λ的分子直接與容器壁間的碰撞幾率非常小，可以忽略不計，但當λ與d尺寸接近，這種影響就不能忽略了。

式(26)是氣體分布函數。其中，n是氣體分子總數，nx表示自由程大于x的分子數。根據氣體粘滯阻尼的定義，分子自由程大于極板間距部分的氣體分子對粘滯阻尼貢獻很小，因此可得出有效粘滯阻尼系數為：

2.5 不同真空度品質因數的計算

以諧振子外徑為SR15，電極間距0.15 毫米，共振頻率5 KHz 的諧振子為例，把諧振子的幾何參數帶入2.1-2.4 節得出的C的表達式如式(18)(20)(25)(28)，進而可通過式(5)求出各種空氣狀態下的δ值，再由式(10)可求出各種空氣狀態下的Q值，如表1。

表1 不同真空度的品質因數Tab.1 Vacuum degree and Q

由表1可以看出：在連續流狀態（1×105Pa～1×104Pa）和滑移流狀態（1×104Pa～500 Pa）階段，Q值非常低，而且上升不明顯，不適合諧振陀螺工作；在過渡流（500 Pa～5 Pa）狀態階段，Q值開始上升，并在Kn接近10 時達到106量級，這基本上達到了低精度的諧振陀螺的工作需要；在分子流（真空度優于1 Pa）狀態階段，Q值與真空度等比例上升，高精度諧振陀螺應該工作在這一階段。

3 實驗驗證

為了驗證以上理論推導的正確性，設計了一套實驗裝置，結構如圖6所示。在真空排氣臺的接口為2 個卡位，一側接口安裝一只諧振陀螺，另一側安裝一個漏孔。測試原理為利用真空排氣臺上的復合真空計監測真空度，改變真空機組工作方式和調節漏孔大小控制陀螺的真空環境，實現陀螺Q值的測試。陀螺通電激振，然后撤去激勵，檢測極板間電容變化，計算出陀螺Q值。

對于一只Q值為9×107的諧振陀螺進行測試，測試結果如圖10 所示：大氣壓至500 Pa 陀螺激振效果不明顯，基本測不出Q值，500 Pa 后Q值開始上升，分子流階段上升明顯。這兩階段的測試結果與計算結果趨勢一致，測試值與計算值誤差很小，驗證了計算結果的正確性。真空度高于10-2Pa 后，測試Q值不再增加與諧振子本身的性能有關，真空度已經不再是影響這一精度諧振子性能的主要因素。

圖6 真空測試裝置Fig.6 The sketch of Vacuum testing device

5 結 論

本文主要研究了空氣阻尼對半球諧振陀螺的影響，根據不同真空度條件下空氣阻尼對諧振子的作用機理，進行了詳細的分析和計算，分別得出了空氣阻尼在克努森系數Kn的4 種取值范圍內的計算公式，通過空氣阻尼計算出諧振子的品質因數Q，并以某型諧振陀螺進行實驗驗證。綜上可得出，諧振子很難在連續流、滑移流階段產生有效的諧振，半球諧振陀螺不能在這一階段工作；諧振子Q 值在過渡流階段隨著真空度的提高開始上升，并在接近分子流時達到106，滿足低精度諧振陀螺的使用；進入分子流階段，真空度每升高一個量級，Q值也上升一個量級，高精度諧振陀螺應該工作在這一階段。針對本文計算、測試所采用的諧振陀螺，若想滿足Q值優于108的高精度諧振子的工作需要，空氣阻尼影響的要求最少要高出1 個數量級，即達到109，真空要求應優于1×10-3Pa。本文的分析為半球諧振陀螺的真空設計提供了理論依據。

圖7 真空Q 值圖Fig.7 The sketch of vacuum Q