一種無需信源數目的方位估計方法

陳峰，楊德森,2,3，桂晨陽，張翔，莫世奇,2,3

(1.哈爾濱工程大學 水聲工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工程大學 水聲技術重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001；3.海洋信息獲取與安全工業和信息化部重點實驗室(哈爾濱工程大學)，黑龍江 哈爾濱 150001)

波達方向(direction-of-arrival, DOA)[1-3]估計作為陣列信號處理的一個研究重點，該技術一直被廣泛應用于雷達、聲吶探測等方面。傳統的高分辨，例如最大似然估計(maximum likelihood, ML)[4]、旋轉不變子空間算法(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)[5]、多重子空間分類算法(multiple signal classification, MUSIC)[6]以及加權子空間類算法(weighted subspace fitting, WSF)[7]等，均需要將信源個數作為先驗知識，才能進行DOA估計[8]。然而，在實際工程中，不能直接獲取目標個數，并且對目標數目進行準確估計在工程上也具有一定難度和挑戰?，F有的對于目標數進行估計的算法，包括最小長度描述法 (minimum description length, MDL)[9-10]以及信息論準則 (Akaike information criterion, AIC)[11]。這些經典算法最大的弊端在于當環境噪聲不滿足高斯白噪聲時，很難獲得準確的信源數目。雖然，有一些算法針對此情況進行了改進，然而，在信噪比 (signal-to-noise ratio, SNR) 較低、快拍數不足時，依然難以獲得準確的信源數目。

針對上述問題，有學者提出了無需信源數目的DOA估計方法，例如眾所傳統波束形成(conventional beamforming, CBF) 以及最小方差無畸變響應(minimum variance distortionless response, MVDR)[12]算法，此類算法雖然無需已知信源個數，但是卻不能獲得超分辨。為此，Qian等[13]提出了一種無需信源個數的DOA算法，此算法主要利用了Toeplitz矩陣重構，并利用特定矩陣的最大特征值進行DOA估計，實驗證明該算法可以獲得較好的估計性能，但是該算法需要進行Toeplitz矩陣重構，因而使得算法所能探測的目標數目減少至陣元數的一半。文獻[14]提出一種利用神經網絡的來進行DOA估計的方法，雖然，此方法也無需已知信源個數，并且不會損失陣列的孔徑，但是為了對神經網絡進行訓練，此方法需要提供大量的有效數據進行學習。

現有的DOA算法，大多從特征向量入手進行分析，而忽略了對于特征值的運用。雖然文獻[15]提出了一種NSP(noise subspace to power)算法，該算法從特征值入手，利用噪聲功率的不變性，構建了空間譜，從而使得算法性能優于MUSIC算法，但是此算法依舊沒有擺脫子空間類算法的弊端，需要已知信源個數。為此，本文在NSP算法的框架上進行分析，提出了一種特殊的特征值排布方式，限定了其最小特征值對應的特征向量并利用其在不同角度上的正交特性，構建空間譜，從而使得本文算法無需已知信源個數，且擁有著超分辨效果。

1 基于特征值排序的DOA估計算法

1.1 數據模型

假設K個遠場且相互獨立的窄帶信號入射到一個由M個陣元組成的均勻線陣中，均勻線陣的陣間距d為半波長。因此，陣列接收的信號可以表示為：

X(t)=A(Θ)S(t)+N(t)

(1)

式中：S(t)∈CK×1表示信號；N(t)∈CM×1表示傳感器接收到的加性噪聲；A(Θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]∈CM×K代表陣列導向矢量，Θ=[θ1,θ2,…,θK]代表入射角度的集合，對于角度θ的導向矢量可以表示為：

a(θ)=[1,e-j2πdsin(θ)/λ,…,e-j2π(M-1)dsin(θ)/λ]T

(2)

式中λ代表信號的波長，因此接收數據的協方差矩陣可以表示為：

R=E[X(t)XH(t)]=A(Θ)RSAH(Θ)+

E[N(t)NH(t)]

(3)

其中RS=E[S(t)SH(t)]代表信號協方差矩陣。

1.2 算法思路及空間譜構造

MUSIC算法主要利用噪聲子空間與導向矢量的正交性進行測向，即：

(4)

式中UN代表由式(3)分解得到的噪聲子空間。由式(4)可知，導向矢量必與噪聲子空間中的每一列正交，因此，可以得到：

(5)

式中eM代表第M個特征值對應的特征向量。利用式(5)構建空間譜，可得：

(6)

利用式(6)進行仿真，設置SNR為0 dB，快拍數為500，陣元數為6，入射角度為0°和10°進行空間譜仿真實驗，其結果如圖1所示，從圖1中可以看到，算法雖然在0°和10°處形成了譜峰，但是在非目標處也形成譜峰，產生了虛假目標，從而導致式(6)算法失效。

圖1 算法空間譜Fig.1 Spatial spectrum of the algorithm

為此，可以按照文獻[15]的方法構建一個協方差矩陣：

(7)

(8)

(9)

因此，根據正交性可得：

(10)

并且存在：

(11)

由式(11)可以看出，目標處與非目標處數值相差較大，因此式(9)將不會在非目標處形成譜峰，從而克服了式(6)的弊端。

1.3 β邊界條件分析

(12)

其中，Δ=βM，令S={1,2，…,K}，{λi|i∈S}代表R的特征值。式(8)另外一種情況下的特征值表示為：

(13)

對于式(12)、式(13)的特征值排布模式進行推導：

(14)

(15)

因此只要選取合適的β值便可滿足式(12)的特征值排布情況，同理也可得到式(13)的特征值排布情況。式(12)說明，最小特征值對應的特征向量是噪聲所形成的；而式(13)說明，最小特征值對應的特征向量是由信號和噪聲組合而成，滿足式(8)。為此文章討論β的取值范圍，根據式(12)和式(13)中特征值的排布情況，可以得到關于β的限制條件：

(16)

為了能夠準確獲得β取值范圍，首先必須給出信號功率與信號特征值之間的關聯，將式(3)進行改寫可得：

(17)

a(θ)aH(θ)=MeeH

(18)

由于rank(a(θ)aH(θ))=1，所以a(θ)aH(θ)特征值可以表示為tr(a(θ)aH(θ))=tr(aH(θ)a(θ))=M。根據式(18)，式(17)可以改寫為：

(19)

根據文獻[17]中特征值的運算性質：

eig(A-cI)=λA,i-c

eig(I+cA)=cλA,i+1

式中：A為對稱矩陣；c為常數；λA,i為A的特征值。因此理想情況下信號特征值與信號功率之間的關系可以表示為：

(20)

根據式(20)和式(16)可以得到β的邊界條件：

(21)

根據SNR的定義，并將β進行適量的縮放，選取邊界內的一個合適的β，其選取方式可以表示為：

(22)

2 計算機仿真實驗及結果分析

2.1 算法可行性分析

假設2個等功率且不相關的遠場窄帶信號，以0°和10°的波達角入射到一個由6個聲壓傳感器組成的均勻線陣上，陣元間距d=0.5λ，快拍數為300，設置SNR為0 dB。進行MVDR、NSP以及本文算法的對比實驗。其結果如圖2所示，從圖2中，可以看到當2個目標的角度差較小時，MVDR算法無法進行準確識別，而本文算法以及NSP算法卻能準確識別2個目標，從而說明本文算法與NSP算法擁有著高于MVDR算法的分辨率。而且此時本文算法，旁瓣比較平坦，沒有形成錯誤的譜峰，說明式(11)的正確性，進一步說明所提算法理論的正確性可行性。

2.2 算法統計性能分析

為了進一步驗證算法的性能，進行200次蒙特卡洛獨立實驗。保持其他條件不變，設置SNR從-5 dB開始，每次增加2 dB，一直到15 dB，進行3種算法的均方根誤差(root mean square error，RMSE)對比分析實驗，其結果如圖3所示，從圖3中可以看到隨著信噪比的增加，本文算法以及NSP算法的均方根誤差隨之減小，但是MVDR算法在SNR小于7 dB時，其均方根誤差減小較為緩慢，而在SNR大于7 dB時，算法均方根誤差急劇減小，MVDR算法在小于7 dB時，無法區分0°和10°的2個目標，從而說明本文算法以及NSP算法在低信噪比時分辨率優于MVDR算法，所提算法擁有著超分辨效果。

圖2 不同算法的空間譜對比Fig.2 Comparison of spatial spectrum of algorithm

圖3 不同信噪比下算法的均方根誤差對比Fig.3 Comparison of RMSE of algorithms under different SNR

保持其他條件不變，設置一個目標的波達角為0°，另外一個角度為(0+φ)°，φ可表示為一個由5開始每次遞增2，直到25為止的等差數列。因此，φ可以看作2個目標之間的角度差；設置SNR為0 dB，進行200次蒙特卡洛實驗，得到不同角度差下算法的均方根誤差，其結果如圖4所示，從圖4中，可以看到，當目標角度差小于10°時，本文算法性能是最好的，說明本文算法更加適用于小角度差的環境下，隨著角度差的增加，3種算法的均方根誤差趨近于一致，從整體上看本文算法的性能優于MVDR算法，說明本文算法可以在無需已知信源個數的前提下獲得超分辨效果。

為分析快拍數對于算法的影響，保持其他條件不變，設置目標入射角度為0°和15°，快拍數為100開始，每次遞增200，直到900為止，進行200次蒙特卡洛實驗，其均方根誤差如圖5所示。從圖5中，可以看到隨著快拍數的增加，MVDR算法的均方根誤差也隨之減小，但此時其性能在3種算法中是最差的，而NSP算法是受快拍數影響較小的算法，本文算法在快拍數小于300時，受快拍影響較大，當快拍數大于300時，本文算法的均方根誤差較為穩定且與NSP算法較為接近。

圖4 不同角度差下算法的均方根誤差對比Fig.4 Comparison of RMSE of algorithms under different DOA interval

圖5 不同快拍數下算法的均方根誤差對比Fig.5 Comparison of the RMSE of the algorithm under different snapshots

3 結論

1)本文通過推導信號特征值與信號功率之間的關聯，給出了β的邊界條件以及取值方法，從而實現了本文算法，并克服了噪聲最小特征值對應的特征向量與掃描導向矢量正交時，掃描譜上出現虛假譜峰的弊端。

2)本文給出一種無需已知信源數目的DOA算法，其性能優于MVDR算法，且在小角度差時，其分辨率高于NSP算法。

3)本文算法雖然擁有較好的估計精度以及分辨率，但算法需要在每個搜索角度進行特征值分解，以獲得所需特征向量，計算量較大。

本文的給出了信號特征值與信號功率之間的數學表達式，揭示了兩者之間的內在關聯。但本文算法的重點在于β的選擇，如何利用β提高算法性能、減小信號檢測門限以及減小算法計算量，是后期的研究重點。