相繼滯后同步網絡模型的依賴時滯同步條件

白 瑩， 李科贊

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院,廣西 桂林 541004)

同步問題一直是復雜網絡研究中的一個重要分支?，F實中存在許多同步現象，如2008年北京奧運會開幕式上的“擊缶”表演是由2008名鼓手同步進行的，所有的動作整齊劃一；成千上萬只同步閃爍的螢火蟲；工廠里的各種機器設備之間的同步運轉等。同步現象覆蓋了我們生活中的方方面面，所以對同步現象進行深入研究很有必要。近些年，許多專家學者對同步做了大量研究[1-3]，對同步的種類也進行了劃分。文獻[4]采用間歇控制的方法，只需要控制每個集群中的第一個節點，就可實現聚類同步。文獻[5]研究了耦合不完全動態系統網絡中的聚類問題，提出了保證聚類同步的條件，根據自適應反饋算法來調整底層圖的權值，使任何滿足聚類條件的雙向網絡同步。文獻[6]研究了一類具有交換有向拓撲的復雜網絡的全局牽制同步問題。文獻[7]將交叉耦合技術引入到多軸運動系統的最優控制結構，設計了廣義同步控制器。文獻[8]研究了2種不同的不確定混沌系統的自適應廣義函數投影同步問題，設計了一種用于2種不同混沌系統同步的自適應控制器，并得到了估計系統未知參數的更新規律。

時滯是時間滯后的簡稱，在實際應用中，時滯是系統之間信號傳遞不可避免的現象，在這種情況下，需要對時滯進行分析，盡量減小由時滯帶來的誤差。而另一方面，有時不希望2個網絡或2個節點所要達到的同步效果出現在同一時刻，而是一個系統在完成某個動作后另一個系統可以在間隔一段時間后再達到與其同步的動作，此時需要利用時滯來幫助實現想要達到的同步效果，通常把這種帶有時滯的同步定義為滯后同步[9-10]。最近，滯后同步又被推廣為投射滯后同步[11]、廣義滯后同步[12]等。文獻[13]考慮了一種新型的滯后同步模式——相繼滯后同步(SLS)，即在動態網絡中2個連續編號的節點之間出現滯后同步現象。文獻[14-16]對相繼滯后同步做了深入的研究。

由此可見，對時滯問題進行研究也是至關重要的。時滯系統達到同步狀態需要的條件有2種情況，一種是實現同步的條件獨立于時滯，另一種是同步條件依賴于時滯。獨立于時滯的同步條件對時滯的大小無要求，而依賴于時滯的同步條件與時滯的大小有關。文獻[17]對一般復雜網絡系統進行分析，分別得到了依賴于時滯和獨立于時滯的同步條件。鑒于此，針對文獻[17]中提出的分布式模型，利用Lyapunov函數方法和Barbalat引理，分析模型的相繼滯后同步穩定性，并得到了系統實現相繼滯后同步依賴于時滯的充分條件。

1 預備知識

定義1[18-19]QUAD(Δ,ω)是一個函數類，稱f∈QUAD(Δ,ω),若對任意的x,y∈Rm，連續函數f(x,t):Rm×[0,+∞)→Rm滿足：

(x-y)T{[f(x,t)-f(y,t)]-Δ[x-y]}≤

-ω(x-y)T(x-y),

(1)

其中，ω>0，t≥0，Δ=diag{δ1,δ2,…,δm}。

引理2[21]對于合適維數的矩陣A、B、C,克羅內克積滿足如下運算法則：

1)σ(A+B)=σA+σB，σ為常數；

2)(A+B)?C=A?B+A?C；

3)(A+B)T=AT+BT。

引理3[22]設矩陣M=(mij)p×q，則

xTMy≤π(M)(xTx+yTy)，

對所有x∈RP，y∈Rq成立，其中

考慮動力學網絡[17]

ui(t)，i=1,2，…,n，

(2)

其中，

ui(t)=-dxi(t)，

(3)

或

ui(t)=-d(xi(t)-x1(t-(i-1)τ))。

(4)

定義2[13]對任意的初值條件

xi(t)=φi(t)∈C([-(n-1)τ,0],Rm),

i=1,2，…,n，

若有

(5)

則稱動力學網絡達到相繼滯后同步，或者說相繼滯后同步是漸進穩定的。

2 依賴時滯的同步條件

根據相繼滯后同步的定義，動力學網絡(2)的相繼滯后同步誤差可定義為

ei(t)=xi(t-τ)-xi+1(t)，i=1,2，…,n-1。

對等式兩邊求導，可得如下誤差系統：

f(xi(t-τ))-f(xi+1(t))+

ui(t-τ)-ui+1(t)。

(6)

雖然式(3)和式(4)兩種控制器不同，但均滿足：

ui(t-τ)-ui+1(t)=-dei(t),i=1,2，…,n-1。

所以模型(2)在分別帶有控制器(3)和控制器(4)兩種情況下的誤差系統是相同的。在控制器(3)或者控制器(4)下，可令

B=(bik)(n-1)×n=(aik-a(i+1)k)(n-1)×n，

k=1,2,…,n，i=1,2，…,n-1,

上述誤差系統可寫為

(7)

定理1若存在常數ω>0，正定對角矩陣

Δ=diag{δ1,δ2,…,δn-1}，

使得f∈QUAD(Δ,ω)，且存在ε>0，d>0，正定矩陣

Ξ=diag{α1,α2,…,αn-1}，

Φ=diag{β1,β2，…,βn}，

使得

(8)

其中：

M1=Ξ?Δ+(N+(n-1)Φ+hΩ)?Im+

cπ(M)I(n-1)m，

N=diag{(ca22-d-ω)α1,(ca33-d-ω)α2,…,

(cann-d-ω)αn-1}，

M=Γ?Im=(mij)(n-1)m×(n-1)2m，

M2=cπ(M)I(n-1)2m-Φ?I(n-1)m。

則對任意τ∈(0,h]，帶有分布式控制器(3)的模型(2)的相繼滯后同步是漸進穩定的。

證明構造如下的李雅普諾夫函數：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)，

(9)

其中：

對V(t)沿著誤差系統(6)求導可得

其中：

(10)

(11)

(12)

令

對于式(10)，有以下結論：

(13)

其中M=Γ?Im=(mij)(n-1)m×(n-1)2m，Γ是一個分塊矩陣。根據式(13)，式(10)可改為

(14)

由引理3可得

(15)

根據定義1和式(15)，由式(12)、(14)可得

(16)

因為τ∈(0,h]，所以有

(17)

根據式(16)、(17)，可得

(18)

則式(18)可改寫為

hΩ)?Im+cπ(M)I(n-1)m]e(t)+

選擇合適的ε>0，d>0，滿足條件(8)，可得

所以

根據引理2，有

eT(t)e(t)→0，(→+∞)。

綜上所述，帶有控制器(3)的模型(2)的相繼滯后同步是一致漸進穩定的。模型(2)在分別帶有控制器(3)和控制器(4)兩種情況下具有相同的誤差系統，所以可以得到相同的同步條件，證明過程類似。

3 數值模擬

對定理1進行數值檢驗，用3D神經網絡[23]作為系統的局部動力學行為，即

其中：

為了使函數f∈QUAD(Δ,ω)，依據文獻[14]，可取Δ=10I3，ω=0.6218。

1)驗證模型(2)帶有分布式控制器(3)的情形?？紤]節點個數n=5，神經系統網絡的耦合矩陣為

根據文獻[17]有

Ω=I3,Ξ=I3,π(M)=24,Φ=cπ(M)×In-1。

為了滿足定理1的條件，取c=0.1，d=30，則

M1=diag{-8.72+0.1a22+h,-8.72+0.1a33+

h,-8.72+0.1a44+h,-8.72+0.1a55+h}。

通過解不等式M1×I3≤0，可得到滿足定理1的最大時滯h=8.72，即當時滯τ∈(0，8.72]時系統(2)可以實現相繼滯后同步。這里取τ=7，圖1為神經網絡的狀態變化軌跡，圖2為神經網絡的相繼滯后同步誤差(i=1,2,3,4,5)。從圖1、圖2可看出，當滿足τ∈(0，8.72]時，模型(2)在帶有分布式的控制器(3)的情況下實現了相繼滯后同步。

圖1 神經網絡的狀態軌跡

圖2 神經網絡的相繼滯后同步誤差

2)驗證模型(2)帶有集中式控制器(4)的情形。選取節點個數n=20，神經網絡的耦合矩陣：

根據文獻[17]有

Ω=I3,Ξ=I3,Φ=cπ(M)×In-1,π(M)=0，

為了滿足定理1條件，取c=0.1,d=15，可得

M1=diag{-10.62+0.1a22+h,-10.62+

0.1a33+h,…,-10.62+0.1a2020+h}。

通過對不等式M1×I3≤0進行求解，可得滿足定理1的最大時滯h=4.02。選擇τ=3進行數值實驗，得到神經網絡的狀態變化軌跡如圖3所示，圖4為神經網絡的相繼滯后同步誤差，i=1,2,…,20。從圖3、4可看出，在滿足τ∈(0，4.02]時，帶有集中式控制器(4)的模型(2)實現了相繼滯后同步，即得到了使模型(2)達到相繼滯后同步依賴于時滯的漸進穩定條件。

圖3 神經網絡的狀態軌跡

圖4 神經網絡的相繼滯后同步誤差

4 結束語

對相繼滯后同步模型的不依賴于時滯的同步條件進行了研究。不依賴時滯穩定性條件對時滯的大小無要求，該條件通常是保守的。若已知時滯很小，則探索依賴時滯的同步條件，將更具有實際意義?；谖墨I[17]，針對該分布式模型考慮了穩定性條件中的依賴于時滯的同步問題，通過構造李雅普諾夫函數，應用Barbalat引理，得到了使模型(2)達到相繼滯后同步且依賴于時滯的漸進穩定條件。數值模擬實驗驗證了理論結果的正確性。