高中生數列學習障礙及其成因的調查研究

張玉娟,張 楠,劉 兵

(鞍山師范學院 數學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007)

高中數學知識與初中數學知識相比更抽象、邏輯性更強且內容更豐富.高中生存在數學學習障礙已經成為普遍現象[1]，數列作為高中數學極為重要的一部分，學生在實際的學習中存在著很多問題，這些問題如果不解決，不僅會影響學生后續數學知識的學習，還會影響其他學科的學習[2].因此，數列學習障礙的研究成為一個亟待解決的問題.本研究根據梁威教授對數學學習障礙的分類[3]，結合高中數學課程標準以及高考大綱對數列的要求，將數列學習障礙分為概念理解障礙、運算障礙、公式與性質應用障礙以及數學思想方法應用障礙來進行研究.

1 學習障礙的概念

學習障礙最早是由美國的特殊教育學家Kirk于20世紀60年代初提出[4]，由于學習障礙的復雜性，至今對學習障礙還沒有一個統一的定義.

1.1 學習障礙概念的界定

1981年，學者們反對用心理上的異常來定義學習障礙，給出了新的定義，把在聽、說、讀、寫、推理或數學等方面表現出的顯著困難用來代替心理異常這種提法[3].蘇聯教育界對學習障礙概念的研究主要持兩種觀點，第一種觀點認為學習障礙就是代表智力發展落后；第二種觀點認為學習障礙是“學業不良”[5].本文的學習障礙是指學習異常者，主要包括在聽、說、讀、寫、推理和數學能力的獲取和運用上有很大的困難，這里需要強調的是這些存在學習障礙的人智力正常.

1.2 數學學習障礙概念的界定

數學學習障礙是學習障礙的學科化，數學學習障礙普遍定義為：因為數學能力的欠缺而導致學生在數學學習上落后，學習成績明顯落后于同年級平均水平，表現為數學領域的學習障礙.

本文將數列學習障礙定義為：智力正常，因為數學能力的欠缺而導致學生在學習數列上落后，學習成績明顯落后于同年級平均水平的現象，表現為數列學習方面的學習障礙.

2 樣本選取

2.1 研究對象

選取鞍山市某中學高二年級136名學生為研究對象，對他們的數列學習情況進行測試，分析他們在數列學習中存在的障礙.試卷發放時間選在數列月考之后，共發放試卷136份，有效試卷132份，試卷回收率為97%.

2.2 測試卷

測試卷共有7個題目，每題10分，滿分為70分，測試卷的具體題目如下：

第1題已知數列{an}的前n項和Sn=2n2-30n，

(1)求出這個數列的通項公式;

(2)求出使得Sn最小的序號n的值.

第2題等差數列{an}的前n項和為Sn,

(1)Sk=10,S2k=40,求S3k；

(2)Sn,S3=9,S6=36，求a7+a8+a9；

第3題已知等差數列{an}中，Sn是它的前n項和，若S16>0,且S17<0,則當Sn最大時n的值是多少？

第5題在各項均為正數的等比數列{an}中，若a5=5,則log5a1+log5a2+…+log5a9的值是多少？

第6題已知等差數列{an}滿足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn，

(1)求An及Sn；

第7題已知{an}是首項為19，公差為-2的等差數列，Sn為{an}的前n項和,

(1)求通項an及Sn;

(2)設{bn-an}是首項為1，公比為3的等比數列，求數列{bn}的通項公式及其前n項和Tn.

2.3 測試卷的信效度

在測試前利用SPSS(19.0)軟件對測試卷進行信效度分析，得到測試卷的信度如表1所示，測試卷的效度如表2所示.

表1 可靠性統計

由表1可以看出，該測試卷的信度為0.806，處于0.75～0.9之間，說明測試卷具有良好的信度；由表2可知，效度為0.701，大于0.5，說明測試卷具有良好的效度.根據測試卷先分析數列學習障礙的類型，再分析不同類型障礙的成因.

表2 KMO 和巴特利特檢驗

3 數列學習障礙類型的分析

對回收的132份試卷進行仔細批閱，再用Excel對試卷得分進行統計分析，具體情況如表3所示.

由表3可以看出，學生測試卷平均成績只有36.31分.平均正確率為31%，也就是說大約70%學生在數列學習方面存在障礙，具體分析如下：第1題和第7題得分率最高，但是正確率卻不高，說明只有少數學生能完全答對，而大部分學生只能部分答對.第5題考查了等比數列等比中項的性質與對數運算相結合的題目，得分率與正確率相近，說明學生在此題得分波動很大.第4題考察了等比數列與方程的結合，并融入了分類討論思想，本題的正確率最低，說明學生在數學思想應用方面存在著普遍的障礙.

表3 測試卷得分情況統計表

根據梁威教授對數學學習障礙的分類對數列學習障礙進行如下研究：

3.1 概念理解障礙

概念理解障礙包括沒有掌握數列所使用符號，對等差、等比數列的概念理解不到位.

測試卷第6題和第7題考察了數列的綜合運用能力，學生需要把非等差、等比數列轉化為等差、等比數列進行求解，學生只有對等差、等比數列的概念充分理解了才能求解.從統計結果看，較多學生沒有得滿分，甚至一些學生出現卷面空白的情況.通過對存在問題的部分學生訪談發現，多數學生不知道如何解題，很多同學對數列概念記憶不清，尤其是學習了數列的函數性質后.因此，一些學生在學習數列時存在概念理解障礙.

3.2 運算障礙

通過批閱測試卷發現，在數列的學習中很多學生存在計算錯誤.運算能力是數學能力的基礎，也是高中生應該具備的數學核心素養之一.數列解題過程的每一步都考察學生的運算能力，數列的大部分題目看似簡單，但事實并非如此.數列的很多題目中，運算量都不小，只要一步出錯，則結果就錯了.

根據學生測試卷的答題情況可以看到，學生的運算存在很大問題，大部分在數列學習中存在障礙的學生明明解題思路沒問題，但是因為計算錯誤而拿不到分數.可見，學生在數列學習中存在運算障礙.

3.3 公式與性質應用障礙

數列解題過程中都會用到數列的公式與性質.如果數列的公式與性質不能準確地記憶，將會影響整個問題的解決.通過測試卷的答題情況可以看出，學生對基本的公式掌握得很好，而數列的性質掌握得不好，尤其是等差、等比數列的前n項和的性質掌握得不好.測試卷第2題考查了等差數列的前n項和的性質，學生的答題情況并不好，一些卷面出現空白.可見，在數列的學習過程中，學生在公式與性質的應用上也存在著障礙.

3.4 數學思想方法應用障礙

數學思想方法的掌握是數學學習極為重要的一部分.在數列的學習過程中，融入了很多數學思想方法，其中最為重要的三個數學思想方法是：函數思想、分類討論思想、轉化與化歸思想[6].在新教材中，將數列作為一種特殊的函數來進行講解，用函數的概念、性質等來解決數列問題；分類討論思想用來解決數列中不能統一求解的問題，比如，測試卷第1題考察了利用數列前n項和求數列的通項公式，就用到了分類討論思想；對于非等差、等比數列的相關問題，就要用到轉化與化歸思想，把它們轉化為等差、等比數列來進行求解.思想方法的運用在解決數列綜合問題時極為重要.

根據測試卷的答題情況可以看出，第1題、第4題、第6題和第7題均存在著思想方法的運用.尤為突出的是第4題，這道題考察了等比數列中的分類討論思想的應用，大部分學生存在問題，由此可見，學生在學習數列的過程中對數學思想方法的應用存在著很大的問題.

4 數列學習障礙成因分析

4.1 概念理解障礙成因

在分析學生數列概念障礙的時候，通過翻看數列學習存在障礙學生的練習冊，發現他們對一些基礎知識掌握得不牢固.造成基礎知識掌握不牢固的原因有很多，研究發現最大的原因是學生在學習數列的概念時不注重數列概念的形成分析，只對數列概念死記硬背，導致對數列概念理解不深刻，以至于在一些基礎題目的變式上出錯率較高.

數學是一門邏輯思維嚴謹的學科，教學內容的設計是層層遞進的.雖然數列是學生在高中時才開始接觸，但是在高中以前他們已經接觸過找規律的題目，這類題目與數列的學習有著密不可分的關系.因此，基礎知識薄弱的同學也會出現概念理解障礙.

4.2 運算障礙成因

數學運算是學生學習數學時必須具備的一種素質和關鍵能力.在數列的解題中，需要進行大量的運算.研究發現學生在面對復雜的運算時，存在著畏難的情緒，有的學生因為考試緊張，會出現暫時遺忘知識點的情況，甚至基礎的移項、合并同類項、去括號等簡單步驟也會出錯.教師講課時大都注重學生其他數學能力的培養而忽視運算能力的培養，因為課時少，教師講題時會省略一些中間步驟，學生只聽不做，這樣使得一些運算不準確的學生在一些基礎題目上丟分.長此以往，這些因素就使學生形成了不良的學習習慣，運算能力逐漸下降，從而造成了學生數列學習的運算障礙.

4.3 公式與性質應用障礙成因

在數列的學習中，出現了許多新的公式與性質.學生由于對公式與性質不理解，在記憶這些公式與性質時也就存在很多困難.數列的題型有著數字多、限制條件也多的特點，特別是一些變式題，學生不知道該用什么公式或性質求解.數學作為一門實用性學科，常常與實際生活相聯系，很多數列的題目也和實際生活有關，學生無法將現實問題用數學符號準確地表示出來，從而導致學生對這類題不會求解.這些原因導致學生在公式與性質應用上出現障礙.

4.4 數學思想方法應用障礙成因

在數列概念掌握的基礎上學生才能運用數學思想方法，而數列解題時，數學思想方法應用存在障礙的學生多數對數列概念的理解不深入.例如，測試卷的第1題考察了學生的分類討論思想和函數思想，學生需要掌握數列項的概念才能知道為什么要進行分類討論，同時類比二次函數最值問題，學生才會求解等差數列前n項和的最值問題.在平時的教學中，教師只是教學生如何解題，而不強調所用的數學思想方法，使得學生將自己的錯誤歸咎為粗心大意、馬虎、運算不準.久而久之，學生在學習數列時便存在數學思想方法應用障礙.

5 結語

根據上述對數列學習障礙及其成因的分析，為消除學生學習數列所存在的障礙，給出以下建議：

5.1 給教師的建議

(1)教師在講解數列概念時，可以先向學生介紹一些有關數列的數學史，引起學生的興趣；講解數列概念時要注重數列概念的形成過程，教師應注意將數列概念中給出的條件做重點講解，使學生能深入理解數列概念.

(2)教師在課堂上應對易混淆的概念進行辨析，讓學生多進行變式訓練.

(3)數列的公式與性質比較多，學生經常死記硬背，容易遺忘，教師在教學過程中應該引導學生經歷分析探索的過程，加深學生對公式與性質的理解.

5.2 給學生的建議

(1)在學習數列中，學生應學會自己歸納總結，對所學的概念、公式與性質進行整理歸納，養成課前預習，課后復習的好習慣.

(2)在用分類討論思想做題時，學生習慣性的丟解.測試卷第1題，學生往往忘記討論n=1的情況；測試卷第4題，當求出兩個解時，不檢驗結果是否都正確的情況.因此，一定要對兩個解的情況進行分類討論，驗證其解的正確性.

(3)學生應在平時的學習中多鍛煉自己的運算能力.在牢固掌握基礎知識的前提下，養成良好的運算習慣，提高運算的速度和準確率.