基于性價比優化的混凝土配方設計模型

焦楚杰， 崔力仕， 高仁輝， 郭 偉， 宋德強

(1.廣州大學 土木工程學院， 廣東 廣州 510006； 2.中山市東峻混凝土有限公司， 廣東 中山 528400；3.珠海春禾新材料研究院有限公司， 廣東 珠海 519000)

傳統的混凝土配方設計主要基于規范及大量試配試驗，耗費時間與人工、材料，但結果卻難以達到最優.通過對權值和閾值的修正、隱含層節點數的選擇，BP神經網絡可以表達多個自變量到多個因變量的函數映射關系，能夠通過混凝土中多種原材料用量的選擇實現對其強度的預測.通過對人工神經網絡的改進，更新的智能算法模型能夠實現智能搜索和全局尋優的能力.因此，有學者采用神經網絡來優化混凝土配方，并預測混凝土性能指標，推動了智能算法在混凝土領域的使用[1-2].但是，在混凝土配方智能化方面，針對混凝土配方進行單一的強度預測相對容易實現[3-5]，如果增加預測變量(如成本)，則有一定的難度.原因在于神經網絡能夠實現各材料用量與混凝土強度之間的非線性映射，但是原材料成本與配方之間存在著線性關系，因此難以使用神經網絡對其成本和強度同時進行擬合.

懲罰函數法可用于解決遺傳算法和梯度算法中的約束問題[6-7]，但使用懲罰函數法解決離散變量的例子并不多.本文擬使用遺傳算法(GA)來優化BP神經網絡的權值和閾值，并將其優化完成之后的網絡作為粒子群(PSO)算法的目標函數，之后將懲罰函數引入到粒子群算法的適應度函數中，以解決混凝土配方設計中非線性約束離散變量問題和連續變量問題，即對于不滿足約束條件及離散變量空間的點皆處以懲罰，使其被淘汰[8-10].因此，本文構建的混凝土配方設計模型不僅能夠利用水膠比、膠凝材料用量等因素來優化輸出的混凝土配方，而且能夠通過將價格作為懲罰因子的方法來降低混凝土成本，從而為混凝土配方設計提供一種適用性強、性能優良的計算模型.

1 基本原理及模型建立

1.1 遺傳算法優化BP神經網絡

BP神經網絡是一種多層前饋神經網絡，該網絡的主要特點是信號前向傳遞，誤差反向傳播[11].單一的BP神經網絡訓練采用的是負梯度修正法，沒有考慮歷史經驗的積累，其學習過程收斂緩慢，而且可能會遇到振蕩和局部極小的問題.遺傳算法是模擬自然界遺傳機制和生物進化論而形成的一種并行隨機搜索最優化方法[12]，采用對個體即優化參數編碼的方法形成編碼群體，通過遺傳中的選擇、交叉和變異對個體進行篩選，適應度值好的個體被保留，適應度值差的個體被淘汰，使新的群體既繼承上一代的信息，又優于上一代，從而實現迭代尋優.遺傳算法優化BP神經網絡是用遺傳算法來優化BP神經網絡的初始權值和閾值，使優化后的BP神經網絡能夠更好地預測函數輸出.

1.2 粒子群算法

PSO算法源于對鳥類捕食行為的研究.鳥類捕食時，每只鳥找到食物最簡單有效的方法就是搜尋當前距離食物最近的鳥的周圍區域[13].PSO算法首先在D維空間中初始化n個粒子組成的種群X=(X1,X2,…,Xn)，其中第i個粒子表示為1個D維的向量Xi=[xi1,xi2,…,xiD]T，代表第i個粒子在空間中的位置，同時也代表極值優化問題的1個潛在解，用位置、速度和適應度值3項指標表示該粒子的特征，且每個粒子對應1個由適應度函數決定的適應度值.通過跟蹤個體極值Pbest和群體極值Gbest來更新個體位置，其中個體極值Pbest是指個體所經歷位置中計算得到的適應度值最優位置；群體極值Gbest是指種群中所有粒子搜索到的適應度值最優位置.PSO算法能夠保存歷史最優粒子，收斂至最優解的速度快，且粒子只是通過內部速度進行更新，因此充分利用了粒子自身經驗和群體經驗，能夠有效地對系統的參數進行優化[14-15].

1.3 模型構建流程

本文提出的模型基于PSO算法進行極值尋優，以遺傳算法優化BP神經網絡的權值和閾值，并將其優化訓練完成之后的網絡(net)作為PSO算法的目標函數.為使模型達到控制混凝土成本，且所獲取的混凝土配方符合相應規范的要求，從而使得由模型訓練降低成本后得到的混凝土配方能夠達到期望的抗壓強度，本文在PSO算法中引入目標參數的懲罰函數和權系數.其具體形式如下：

(1)

式中：F(x)為引入懲罰函數和權系數后的適應度值函數；f(x)為目標函數適應度值；μi為權系數，其值表示組成函數的重要程度；Gi(x)為引入的懲罰函數.

由此，基于BP神經網絡、遺傳算法和PSO算法構造的模型能夠有約束地實現快速收斂至最優解，且可避免陷入局部最優.整個模型的算法流程如圖1所示.

圖1 模型的算法流程Fig.1 Algorithm flow of the model

2 建立模型及結果分析

2.1 試驗方案

本試驗根據構建模型進行混凝土成本的控制和配方的優化，共收集502份混凝土配方數據對模型建立的網絡進行訓練；采用102組混凝土配方對訓練完成的網絡進行測試，測試結果見圖2和圖3.圖2為根據輸出配方計算得到的預測總價(Fitting price)與樣本配方總價(Sample price)的對比；圖3為樣本數據的 28d 立方體抗壓強度(Sample strength)與相應的預測強度(Fitting strength)對比.圖2、3中2組數據近乎完全重合，表明預測前后數據契合度較高、網絡預測能力較好(預測精度接近97%).

圖2 樣本總價與預測總價的對比Fig.2 Comparison of sample price and fitting price

圖3 樣本強度與預測強度的對比Fig.3 Comparison of sample strength and fitting strength

選取3組混凝土配方(其28d立方體抗壓強度分別為20.2、24.3、30.4MPa)作為目標樣本，如表1所示，對模型控制成本與配方優化的功能進行驗證.原材料為P·Ⅱ 42.5R級水泥(C)、粉煤灰(FA)、礦粉(MP)、石1-2(ST1)、石1-3(ST2)、砂1(S1)、砂2(S2)、外加劑A(CA-A)、外加劑B(CA-B)、水(W).根據2018年各原材料價格，分別計算表1中混凝土配方的總價格(Total_P)，基于Total_P分別降低價格5、10和15元得到目標價格(Target_P)；以目標樣本的抗壓強度(SS)作為目標強度(TS)，在模型中同時輸入Target_P、TS，利用模型計算3次得到3組新配方(如表2中編號A1-1、A1-2、A1-3這3組新配方的目標價格、目標強度均為369.0元、20.2MPa)，并按照新配方制備混凝土試塊，測其28d立方體抗壓強度，如表2～4所示.通過計算由模型得出的新混凝土配方總價格(FP)和測得的28d立方體抗壓強度(MS)來驗證模型的期望功能.表2中：編號Ai-j中的i表示降低價格幅度的組別，A1、A2、A3分別表示該組配方原材料總價降低5、10、15元；j表示輸出配方的第j組；表3、4中Bi-j、Ci-j的含義與此相同.

表1 目標樣本的配方

表2 基于A組樣本原材料價格(降低5、10、15元)和強度輸出的混凝土配方

表3 基于B組樣本原材料價格(降低5、10、15元)和強度輸出的混凝土配方

表4 基于C組樣本原材料價格(降低5元、10元、15元)和強度輸出的混凝土配方

試驗采用的原材料均與訓練樣本相同.按照樣本配方和計算得到的配方制備標準立方體試件(尺寸為150mm×150mm×150mm)，試驗加載儀器采用1000kN級液壓萬能材料試驗機，按照GB/T 50081—2019《混凝土物理力學性能試驗方法標準》對立方體試件進行抗壓強度測試.

2.2 模型的建立與訓練

采用上述混凝土采用的原材料種類數作為輸入參數的節點數，其對應的混凝土28d立方體抗壓強度作為輸出參數，經過多次模型訓練，BP神經網絡隱含層取1層，神經元數量為14，即建立結構為10-14-1-1的BP網絡，所用的拓撲結構見圖4.

圖4 BP神經網絡拓撲結構Fig.4 BP neural network topology in this model

通過調用gaot工具箱(Matlab自帶工具箱)來優化已構建完成網絡的初始權值和閾值.為取得最優初始權值和閾值，遺傳算法種群規模popu取為200，遺傳迭代次數Gen取為1000.圖5為通過遺傳算法迭代訓練得到的收斂曲線圖，其橫坐標為遺傳迭代次數，縱坐標為最優個體適應度值.通過子函數gadecod([W1,B1,W2,B2,P,T,A1,A2,SE,val]=gadecod(x,P,T))得到迭代結束后的權值矩陣，并將其值賦予尚未訓練的BP神經網絡，即net.iW{1,1}=W1;net.LW{2,1}=W2;net.b{1,1}=B1;net.b{2,1}=B2.使用newff函數構建BP神經網絡并設置BP神經網絡初始參數，通過train函數對網絡進行訓練，再用訓練好的BP神經網絡預測函數輸出sim函數，最后采用mapminmax函數反歸一化后得到網絡預測后的強度.

通過調用PSO算法子函數[X,yy]=PSO(BPoutput,net,inputps,price,Target_P)來實現配比優化和控制成本，其輸入參數net為遺傳算法優化后的BP神經網絡；BPoutput為歸一化后的預測數據；inputps為關于輸入參數的結構體；price為各材料價格形成的矩陣；Target_P為輸入的成本，用于懲罰函數實現控制成本的功能.

采用懲罰函數法對PSO算法的目標函數適應度值fitness進行懲罰.本文通過建立關于價格的懲罰函數G1=q1-Target_P，用以控制輸出參數的成本與目標價格足夠接近，其中q1為輸出配方的總價格.同時引入關于混凝土密度的懲罰函數G2=q2-2400，用以保證輸出的混凝土配方密度在2400kg/m3左右，其中q2為預測輸出材料的密度；懲罰函數G3=q3-w，用以保證輸出配方的水灰比符合規范，其中q3為輸出配方的水灰比，w為目標配方的水灰比；懲罰函數G4=q4-jn，用以保證輸出配方膠凝材料的用量，其中q4為輸出配方的膠凝材料質量之和，jn為目標強度對應配方的膠凝材料總質量；懲罰函數G5=q5-w1，用以保證輸出配方的水膠比符合規范要求，其中q5為輸出配方的水膠比，w1為目標配方的水膠比.從而建立目標函數的適應度值擴張函數：

Fitness=fitness+v1G1+v2G2+
v3G3+v4G4+v5G5

(2)

式中：Fitness為參與迭代尋優的最終適應度值;fitness為PSO算法迭代尋優得到的最優個體適應度值;vi為懲罰函數的權系數，用于表達懲罰函數的重要程度.

在主函數main中設置PSO算法的輸入和輸出參數，其中粒子運動的加速度因子c1=1.49445、c2=1.49445;粒子進化次數Maxgen=100;變量個數即混凝土原材料種類數D=10;PSO算法子函數為[X,yy]=PSO1(BPoutput,net,inputps,price,Target_P),其中輸出參數X為最優粒子組成的矩陣;yy為每代最優適應度值組成的數組(每代最優個體適應度值見圖6).輸入參數BPoutput=mapminmax(‘apply’,Text_output,outputps),其中BPoutput為根據mapminmax函數歸一化后得到的結果，其輸入參數為目標強度Text_output、遺傳算法優化后的BP神經網絡輸出關于訓練樣本的映射outputps;net為賦予新權值和閾值后的網絡結構體;inputps為數據歸一化后的結構體;price為原材料價格組成的數組;Target_P為輸入的目標成本.采用遺傳算法和粒子群算法優化后最優個體的適應度值見圖5和圖6.

圖5 遺傳算法最優個體適應度值Fig.5 Optimal individual fitness value of GA

圖6 粒子群算法最優個體適應度值Fig.6 Optimal individual fitness value of PSO algorithm

2.3 結果分析

如表1所示，樣本A組A1、A2、A3各有3組通過模型計算得到新配方，通過新配方制備混凝土試塊，其實測28d立方體抗壓強度和根據新配方計算得到的總價格如表2所示.同理，樣本B組、C組配方的實測28d立方體抗壓強度和計算得到的總價格見表3和表4.預測結果表明，優化完成后的BP神經網絡具有良好的混凝土28d立方體抗壓強度預測性能，且根據引入懲罰函數的PSO算法計算得出的新配方價格與目標價格相同，表明模型具有很強的控制成本功能.

表5為輸出配方實測28d立方體抗壓強度與目標強度的差值Δfcu及其比值Rcu.由表5可見：A1組中3組輸出配方的實測28d立方體抗壓強度與目標強度最大相差10%；A2組中3組輸出配方實測28d立方體抗壓強度均高于輸入的目標強度，表明預測效果達到最優；A3組中有2組輸出配方的實測28d立方體抗壓強度達到期望目標；B1、B2、B3組中都各有1組輸出配方滿足價格和強度的要求；C組在降低成本15元時輸出配方的實測28d立方體抗壓強度達到要求的概率降低，原因在于降低成本幅度較大時，模型輸出得到的配方離散程度變大，需通過多次迭代尋優再進行配方的選取.

根據表1～表5，對模型輸出的混凝土配方的28d立方體抗壓強度進行總體分析.當以目標強度和降低5元后的原材料價格為輸出變量時，在允許誤差5%的范圍內，模型計算得到的配方成本與目標成本幾乎相同，其強度值達到目標強度的比例為78%，且樣本A、B、C組輸出配方的實測28d立方體抗壓強度與目標強度的總體差值為1.7MPa,即降低成本幅度為5元時，模型能夠優化混凝土配方，使其達到更高的強度.當降低原材料成本10元時，模型輸出得到的配方成本與目標成本仍然一致，混凝土28d立方體抗壓強度達到目標強度的比例為67%且總體差值為11.8MPa，即在降低成本10元的情況下，模型仍有能力實現優化混凝土配方的功能.當降低混凝土成本15元時，模型輸出的配方成本仍然與目標價格相同，但是其達到目標強度的比例較低，僅為44%，且其總體差值為-19.1MPa，表明當樣本配方原材料價格降低成本幅度較大時，模型對于配方的改良存在一定的難度，需要多次輸出和試驗才能尋找到成本較低且滿足抗壓強度要求的配方.

表5 輸出配方實測28d立方體抗壓強度與目標強度的差值及比值

3 結論

(1)采集了502份混凝土配方數據作為訓練樣本，建立了拓撲結構為10-14-1-1的BP神經網絡，并通過遺傳算法優化BP神經網絡的權值和閾值.選取102份樣本數據對訓練完成的BP神經網絡進行測試，結果表明優化完成后的BP神經網絡預測能力優良，其預測精度接近97%.

(2)通過引入懲罰函數，解決了混凝土配方設計中線性關系和非線性關系相統一的難題，考慮了混凝土配方設計中的關鍵因素水灰比(或水膠比)、膠凝材料用量、混凝土密度等，將目標成本和目標強度精確化的同時有效地控制配方的輸出，從而實現了控制成本和優化混凝土配比的功能.

(3)采用樣本配方和調整后的總價格作為目標，通過建立的混凝土配方設計模型輸出了27組混凝土配方，并對其進行28d立方體抗壓試驗.結果表明，模型能夠有效地優化配方，但隨著降低成本的幅度增大，模型擬合出有效配方的成功概率降低.

(4)本文采用BP神經網絡及混合算法建立的混凝土配方設計模型收斂速度快且具有較強的適用性，能夠為工程中的混凝土配方設計提供參考.隨著后期混凝土樣本數據量的增加，模型輸出優良混凝土配方的效率將會隨之提高.