基于一題多解的數學建模教學
——以人教版第十一冊第六單元“濃度問題”為例

（廈門大學附屬實驗小學，福建 漳州 363123）

數學模型一般是指對特定的問題用數學語言、符號或圖形等形式來刻畫、描述、反映的數學結構。數學模型有效地反映了思維的過程，是將思維過程用語言符號外化的結果，學生對數學模型的理解、把握與建構的能力，在很大程度上反映了其數學思維能力及數學觀念。一題多解是在解決一道題時，從不同思維角度、方法和知識模塊入手，通過解題過程，讓學生體會不同知識點的交匯和融會貫通，從本質上看是把數學模塊系統化、連貫化、整體化。教師要引導學生多角度思考、解決問題，滲透模型思想，訓練模型思維，讓學生在觸類旁通的過程中建立不同的解題模型。

一、尋求等量關系，建立解題模型

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出：“模型思想的建立，是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果，并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識?！睌祵W模型思想所體現的過程，就是在具體情境中，抽象出數學問題，分析和解決問題的過程。［1］教學中，要針對具體問題，聯系生活實際，進行必要的信息分析，合理的簡化，在反復提煉中建構數學模型。

以人教版第十一冊第六單元百分數中的“濃度問題”為例，“把含鹽量30%與5%的鹽水混合，得到20%的鹽水4 千克，求這兩種濃度的鹽水分別是多少千克？”學生分析數量關系，簡化出解決問題的關鍵信息：總鹽量不變，即第一種鹽水中鹽的質量+第二種鹽水中鹽的質量=混合后鹽的總質量。引導學生運用學過的方程，用這個基本模型解決此類問題：設其中一個量為x，則另一個量為（4-x），列出的方程為30%x+5%（4-x）=4×20%。解方程后，反思：“解法對嗎？符合題意嗎？該解法的優缺點在哪里？能夠推廣嗎？還有其他解法嗎？”學生的模型思維能力得到強化和提高。此類濃度問題的實質是溶質質量相等，大致的解題思路就是抓住溶液質量與百分比的乘積等于溶質質量這一原理，再通過等量關系列出方程。讓學生經歷尋找實際問題中數量之間的相等關系，正確列出等量關系式，整個解題過程條理清晰，同一類型問題解題模型的建立也就水到渠成了。

二、整合新舊知識，體會模型應用

整合新舊知識并進行類比推理時，重在溝通新舊知識間的聯系。先大膽猜想，再在直觀的事例中具體分析，不斷聯系所要解決的問題和已有的知識結構，引導學生將之前所掌握的解題方法遷移到新的問題解決中來，建立新的解題模型。在觀察、比較中區分問題屬性的異同，并找出它們類似的特征，從而加深對新解法的理解。［2］

上述濃度問題，學生在嘗試運用算術解法解答時遇到困難，教師可引導學生觀察方程解法中解方程的過程，設疑喚醒學生原有的知識：濃度5%的鹽水不是4 千克，為什么解方程過程中出現了4×5%？在解決哪類問題時，運用到了哪種方法？你有什么猜想？學生在猜想是否把4 千克鹽水看成都是濃度5%的鹽水的過程中，聯想到“雞兔同籠”問題中的“假設法”，用假設法解釋濃度問題，將模型思想方法與自己以往的知識相聯系，將兩種問題整合在同一解題模型中。

假設混合后的4 千克鹽水濃度都是5%，那么應該有鹽：4×5%=0.2（千克），實際有（4×20%=0.8）千克的鹽，比實際少算了：0.8-0.2=0.6（千克）。這是因為學生把濃度30%的鹽水都看成了濃度5%的鹽水，也就是濃度30%的鹽水每千克鹽水中所含的鹽的百分比少算了25%，正好多了0.6 千克。運用對應數量÷對應分率，可以得到含鹽量30%的鹽水質量，列式為：0.6÷（30%-5%）=2.4（千克），則濃度為5%的鹽水有：4-2.4=1.6（千克）。學生聯系“雞兔同籠”問題中的“列表法”，嘗試同相同方法解決濃度問題（見表1）。

表1

從表1 中可以看出，每調整1 千克的溶液，溶質相差（0.7-0.45）千克，混合后鹽的質量是0.8 千克，比0.7千克多了0.1 千克，所以還需要調整0.1÷（0.7-0.45）=0.4（千克），2+0.4=2.4（千克）。

對比列表法在“雞兔同籠”問題中的運用，學生發現：雞和兔的只數都是整數，用列表法較容易算出總只數；濃度問題中的鹽水質量可能是小數，調整時要考慮到小數因素，需要推導出每次調整引起的數據變化，結合計算得出最后的結論。學生在新舊知識的整合中明確解題思路，在轉化的過程中化“生”為“熟”，化難為易，運用假設的數學思想方法，歸納出解題模型：較大濃度鹽水=（鹽的總質量-溶液總質量×較小濃度）÷濃度差；較小濃度鹽水=（溶液總質量×較大濃度-鹽的總質量）÷濃度差；在運用列表的數學方法中存同求異，體會模型的變化，建立相應的解題結構。

三、聯想創新，重構新模型

對一個問題多角度的理解，能訓練學生思維的廣闊性和靈活性。同樣是一道習題，一個知識點，不同的理念，不同的方法，會有不同的效率和價值。［3］在一定的簡化層次下，很多看起來完全不同的實際問題，可能有相同或相似的數學模型。此時，如果能引導學生展開聯想，啟發學生提出新思路、新設想，充分挖掘學生的創新思維能力，在創新過程中實現新的解題建模，則有利于推動學生思維的發展。

例如，學生結合課外學習所得，用圖示介紹解決混合濃度問題的另一種方法——十字交叉法：先寫出混合前的兩種濃度和混合后的濃度，交叉算出混合前與混合后的濃度差，再算出兩個濃度差的比值，最后把總質量根據這個比值按比例分配求出原來兩種鹽水的質量（如圖1）。

圖1

在理解“十字交叉法”解題模型的過程中，學生不知道為什么交叉的濃度差的比就是兩種鹽水的質量比，教師引導學生采用假設法說明理由：假設兩種鹽水的濃度都是20%，則第一種鹽水中多了10%的鹽，這10%的鹽要補到第二種鹽水中，所對應的就是第二種鹽水的質量，所以才要交叉求出濃度差。學生聯想到用比例解決問題，創造出比例解題模型：

先分別求出濃度差：

30%-20%=10% 20%-5%=15%

再交叉算出濃度差的比：15%：10%=3：2

最后按比例分配分別算出兩種溶液：

在本環節模型思維拓展的過程中，教師注重引導學生發現知識、問題與方法的關聯性，歸納外在特點和內在聯系，調整知識結構，促使學生創新實踐，學生在理解解題模型的過程中，發現數量中的對應關系，創造出新的解題模型。當學生對具體的生活問題經歷了一定的探索過程之后，便會發現數量之間的關系，生活問題便轉化為數學問題，綜合性地用數學模型解決問題，形成不同的解題策略。