凈保費在平衡損失函數下的回歸信度估計?

再努爾·木塔力甫，吳黎軍

(新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊830046)

0 引言

信度理論是非壽險精算學的核心內容之一, 是非壽險中的一組經驗評估技術. 信度模型包括古典信度模型和最精確信度模型. 在古典信度模型中, 需要確定當歷史索賠數據達到多大規模時, 才能夠賦予完全的可信度,而這個數據規模被稱作為完全可信度標準，如果經驗數據達不到完全可信度標準就賦予部分可信度. 在實際操作中我們得到的索賠數據規模往往達不到完全可信度標準,因此研究部分可信度的計算方法具有重要的實際意義.自從信度理論提出以后,許多學者對信度理論進行了研究. B¨uhlmann[1]建立了無分布信度模型,得到了信度保費公式. B¨uhlmann 和Straub在無分布信度模型的基礎上, 將其推廣至自然權重的情形.Hachemeister[2]在利用B¨ulmann-Straub 信度模型對美國各州的汽車第三者責任險進行定價時, 注意到索賠數據在時間分量上由于通貨膨脹的影響具有時間趨勢效應, 因而提出用回歸模型來刻畫該時間效應, 并且建立了回歸信度模型. 回歸信度模型的刻畫如下, 假設某一個風險合同對索賠X有下面的模型成立:

這里j=1,2···,t,X=(X1,···,Xt)′為索賠樣本,Yj為已知的設計向量,而β(Θ)為未知不可觀測的隨機系數向量,εi(i=1,2,···,t) 為隨機誤差項,也是不可觀測的,且滿足E(εj|Θ)=0,則風險參數Θ 給定時有E(Xj|Θ)=Yjβ(Θ).

經典信度理論中, 用平方損失函數來刻畫保費與風險的擬合程度. 然而, 在20 世紀70 年代前后, 學者們注意到正誤差與負誤差引起的損失并不相同,他們認為某些情況對對稱損失函數下所得出的估計會出現較高誤差,于是非對稱損失函數逐步得到重視. Zellner[3]提出了一種新的衡量參數估計優良性的標準, 從模型擬合度和估計的精度兩個方面來綜合衡量估計的好壞, 所考慮的損失函數為

作為Zellner 平衡損失函數的推廣, 如下形式的平衡損失函數Lρ,ω,δ0(θ,δ)=ωρ(δ0,δ)+(1?ω)ρ(θ,δ)受到了很多關注,這里δ0是θ的預想目標估計,它可以是θ的極大似然估計或者最小二乘估計或者無偏估計等. 在精算學的領域,G′omez-D′eniz[4]則討論了經典的B¨uhlmann 信度模型在平衡損失函數下信度保費及其性質. 國內學者[5?10]用平衡損失函數研究了信度估計模型. 本文將用平衡損失函數得出單份保單凈保費的信度回歸估計表達式.

1 預備知識及假設

設Θ 為未知的風險參數,X′=(X1,X2,···,Xt)為某保單在t年的觀測數據. 本文估計的是, 當風險Θ 給定時,Xj的條件期望為μj(Θ), 這里μj(Θ)=E(Xj|Θ)是風險參數Θ 下保單在第j年的凈保費,j=1,2,···,t. 考慮到通貨膨脹, 回歸假設中凈保費μj(Θ)隨時間發生變化, 且

Yj為(q×1)設計矩陣,β(Θ)為未知(q×1) 隨機向量. 通過選擇合適的設計矩陣Yj,可以刻畫時間對凈保費的影響.比如,若Yj是(2×1)矩陣且則μj(Θ)=β1(Θ)+jβ2(Θ)(j=1,2,···,t), β(Θ)=(β1(Θ),β2(Θ))′.若Yj=則μj(Θ)=β1(Θ)+jβ2(Θ)+j2β3(Θ)(j=1,2,···,t),β(Θ)=(β1(Θ),β2(Θ),β3(Θ))′. 下面介紹本文假設.

假設1設

假設2設矩陣Λ=Λ(q,q)=Cov[β(Θ)],Φ=Φ(t,t)=E[Cov(X|Θ)] 是正定矩陣(Λ 是回歸系數向量β(Θ)的協方差, Φ 是Θ 給定時觀測數據X的條件協方差的期望).

本文根據已知觀測X′=(X1,X2,···,Xt)得出凈保費μj(Θ)在平衡損失函數下的估計的表達式.

2 平衡損失函數下的凈保費回歸信度估計

首先給出線性代數中滿足特殊條件的矩陣的求逆公式.

引理1設矩陣A 是(r×s)矩陣, B 是(s×r)矩陣且(I+AB)?1存在, 那么有如下求逆公式：

其中:I表示(r×r)單位矩陣.

證明 線性代數中的求逆公式(A+BCD)?1=A?1?A?1B(C?1+DA?1B)?1DA?1,取A=D=I,B=A,C=B就可得出以上公式.

信度保費用樣本的線性函數預測未來保費, 使得期望平方損失函數達到最小, 求解下面的最優化問題:

下面的引理可以更方便地求信度估計, 其證明可參考文獻[11].

引理2設隨機向量的期望與協方差矩陣分別為

在矩陣的非負定意義下達到最小.

根據引理, 基于隨機向量X的非齊次函數類的隨機向量Y的最優預測為

其中:proj(Y|L(X,1))表示Y在X的線性函數空間的正交投影.取損失函數為平衡損失函數:

其中:δ(μj(Θ))是μj(Θ) 的已知目標估計. 平衡損失函數下估計凈保費等價于求解下面的最優化問題：

關于平衡損失函數下的信度理論有下面的引理3.

引理3在平衡損失函數

下,μj(Θ)的非齊次信度估計為

其證明可參考文獻[6].

下面給出μj(Θ)在平衡損失函數下的回歸信度估計. 令其中δ(β(Θ))是β(Θ)的已知目標估計, 設E[δ(β(Θ))]=μδ,Cov[δ(β(Θ),β(Θ)]=?, 則

定理1基于以上假設及引理, 在平衡損失函數下凈保費μj(Θ)的估計如下:

其中

證明由假設1, 假設2可得由引理3 可得

而根據引理1 和引理2 有

而

因此

定理得證.

3 結論

本文用投影公式和矩陣理論討論了回歸信度模型, 推出平衡損失函數下的凈保費回歸信度表達式, 推廣了平方損失函數下的凈保費回歸信度模型. 本文中刻畫了時間對凈保費的影響, 用觀測數據的線性函數估計了凈保費, 推導過程中用到了求逆公式的特殊形式, 使得模型的推導更加簡潔.