基于Mogi-Coulomb準則的圓形巷道圍巖塑性區分析

歐陽蕊燦,王衛軍

(湖南科技大學 資源環境與安全工程學院,湖南 湘潭 411201)

巷道圍巖的穩定性與其塑性區有著本質的關聯,塑性區的大小和形態決定著巷道的穩定性,因此研究塑性區的范圍對圍巖支護設計有重要意義.國內外學者關于塑性區的研究已有了豐富的成果.張小波等[1]以彈塑性力學為理論,在考慮中間主應力的基礎上對巷道圍巖塑性區展開了研究;王衛軍等[2]在M-C強度準則的基礎上,推導了非等壓條件下圓形巷道塑性區邊界方程;郭曉菲等[3]通過塑性區邊界方程得到了塑性區的形態變化規律;袁超等[4]研究了巖石力學特性等對塑性區范圍和形態的影響;陳立偉等[5]通過巖石的統一強度理論得到了可以描述塑性區邊界形態的方程;張常光等[6-7]推導了理想彈塑性體塑性區圍巖應力與位移的新解;馬念杰等[8]通過研究圍巖偏應力的分布規律得出了偏應力作用下的塑性區半徑表達式;李宇翔等[9]研究了在非均勻應力場下中間主應力對塑性區的影響并得到了塑性區邊界方程的近似隱式解;駱開靜等[10]在考慮蠕變下建立了軟化模型,并根據此軟化模型對塑性區展開了研究;陳梁等[11]基于D-P強度準則,結合考慮巖石流變等對巷道圍巖塑性區與破裂區進行了分析討論;董海龍等[12]在考慮峰后軟化的條件下推導了塑性區邊界方程,并結合總荷載不變理論提供了塑性區半徑的近似解.這些研究成果對塑性區的研究有著重要的意義.本文基于Mogi-Coulomb強度準則研究巖石巖性與中間主應力對巷道圍巖塑性區形態與大小的作用，研究結果對巷道圍巖支護設計具有重要意義.

1 Mogi-Coulomb準則

目前大多數學者一般采用Mohr-Coulomb強度準則研究地下工程問題,實際上,地下工程巖體處于三維應力狀態,而Mogi-Coulomb準則[13-16]是基于大量的真三軸實驗所得,采用Mogi-Coulomb準則研究地下工程問題更加符合實際情況.Mogi-Coulomb準則在σ2=σ3(σ2為中間主應力,σ3為最小主應力)時則退化成Mohr-Coulomb強度準則.Mogi-Coulomb準則表示為

τoct=a+bσm,2;

(1)

(2)

(3)

式中:τoct為八面體剪應力；a,b為材料參數;σm,2為作用在剪切面上平均有效正應力.通過式(2)可知,Mogi-Coulomb準則考慮了中間應力σ2的作用.Mogi-Coulomb準則的外形函數與Mohr-Coulomb強度準則密切相關,其外形函數可由圖1表示.

圖1 Mogi-Coulomb準則的外形函數

當σ2=σ3時,由Mohr-Coulomb強度準則可以得到:

(4)

式中:φ為巖石的內摩擦角;c為巖石的內聚力.

為了更好地研究中間主應力的影響,設定中間主應力系數的表達式為式(5),且0≤d≤1,當d=0時,為軸對稱的三軸壓縮狀態;當d=1時,為軸對稱三軸拉伸狀態;當0

(5)

由式(5)變形可得σ2=dσ1+(1-d)σ3,將表達式代入式(1)整理后得到Mogi-Coulomb準則如下:

σ1=Aσ3+B.

(6)

(7)

式中:T1=2[2(d2-d+1)]1/2,當中間主應力系數d=0或1時,則沒有考慮中間主應力的影響.

2 圓形巷道圍巖塑性區邊界方程計算

2.1 力學模型

巷道圍巖結構復雜,為了便于理論分析,對巷道圍巖提出以下基本假設:

1)圍巖是滿足Mogi-Coulomb準則的連續、均勻、各向同性的理想彈塑性材料.

2)巷道為深埋巷道且巷道截面為圓形,巷道半徑為R0,巷道無限長,按平面應變問題處理.

3)巷道圍巖處于兩向非等壓應力場,P0與kP0分別為作用在巷道圍巖上的垂直與水平應力,k為側壓力系數,Rp表示塑性區半徑,支護力Pi視為均勻分布,r為圍巖中任一質點到巷道中心的距離.力學模型如圖2所示.

圖2 力學模型

2.2 塑性區邊界方程求解

目前大多數研究采用近似隱式法來求巷道圍巖塑性區的邊界方程,采用近似隱式法求解的巷道圍巖塑性區可以得到不同側壓系數下塑性區的形態,圓巷圍巖塑性形態的變化規律可由其較好地反映出來.所以本文通過近似隱式法求圓形巷道圍巖塑性區邊界方程[17].

當前還沒有精確的解析能分析非均勻應力條件下的圓形巷道圍巖的彈塑性區.大多數國內與國外的學者均是通過假設巷道開挖后圍巖仍然處于彈性應力狀態這一條件，結合彈性理論的基礎上研究圓形巷道處于非均勻應力場開挖后的圍巖彈性應力,其表達式為

(8)

彈性力學中,求解主應力的表達式為

(9)

在實際工程中，巷道圍巖受力問題可以作為平面問題處理,利用轉化公式可得到用極坐標表示的各應力關系式為

(10)

圍巖應力達到起塑條件后滿足Mogi-Coulomb準則方程:

f=σ1-Aσ3-B.

(11)

將σ1,σ3代入式(11)后令f=0可得

(12)

通過化解后得到塑性區邊界隱形方程為

(13)

式中:

m0=1/4[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2(k-1)2P02-[(T1+3b)/(T1-3b)-1]2(k+1)2P02-[(T1+3b)/(T1-3b)-1][6a/(T1-3b)](k+1)P0-[6a/(T1-3b)]2；

m1=1/4[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2[2(k-1)P0(2Pi-kP0-P0)cos 2θ-4(k-1)2P02(2cos22θ-1)]+[(T1+

3b)/(T1-3b)-1]2(k2-1)P02cos 2θ+2[(T1+3b)/(T1-3b)-1][6a/(T1-3b)](k-1)P0cos 2θ；

m2=1/4[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2[(kP0+P0-2Pi)2+4(k-1)P0(kP0+P0-2Pi)cos 2θ+2(k-1)2P02(6cos22θ-1)]-[(T1+3b)/(T1-3b)-1]2(k-1)2P02cos22θ；

m3=3/2[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2(k-1)P0[-(k+1)P0cos 2θ+2Picos 2θ-2(k-1)P0]；

m4=9/4[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2(k-1)2P02.

式(13)即為基于Mogi-Coulomb準則下的近似隱式法所得的巷道圍巖塑性區邊界方程.將側壓力系數k=1代入式(13),即可得到均勻應力場下塑性區邊界方程,當側壓力系數k≠1時可求出非均勻應力場下的塑性區半徑表達式.

3 算列分析

3.1 內聚力對巷道圍巖塑性區的影響

設定一定的圓形巷道圍巖力學參數:取巷道半徑R0=2 m,原巖地應力P0=18 MPa,支護力Pi=0.75 MPa,內摩擦角φ=25°,中間主應力系數d=0,將參數代入式(13)可以得到側壓系數k=1,k=0.7,k=0.3這3個不同條件下的內聚力對巷道圍巖塑性區的影響如圖3所示.由圖3可知,在相同側壓力系數下,隨著內聚力的增大,塑性區形態沒有發生改變但巷道圍巖塑性區的半徑減小,且隨著內聚力增大,塑性區半徑減小的速度增大.此外,相同內聚力條件下,隨著側壓系數k的增大,水平軸上的塑性區半徑越來越大,豎軸上的塑性區半徑越來越小.

圖3 內聚力與巷道圍巖塑性區的關系

3.2 內摩擦角對巷道圍巖塑性區的影響

巷道半徑R0=2 m,原巖地應力P0=18 MPa,支護力Pi=0.75 MPa,內聚力c=2 MPa,中間主應力系數d=0,將各力學參數代入式(13)可以得到側壓系數k=1,k=0.7,k=0.3這3個不同條件下的內摩擦角與巷道圍巖塑性區的關系如圖4所示.由圖4可知,內摩擦角的變化不改變塑性區的形態但影響塑性區的大小,內摩擦角與塑性區的大小變化趨勢相反,并且隨著內摩擦角的增大,塑性區半徑減小的速度減小.

圖4 內摩擦角與巷道圍巖塑性區的關系

3.3 中間主應力系數對巷道圍巖塑性區的影響

巷道半徑R0=2 m,原巖地應力P0=18 MPa,支護力Pi=0.75 MPa,內摩擦角φ=25°,側壓力系數k=1.將參數代入式(13)可得到中間主應力系數與塑性區半徑的關系如圖5所示.由圖5可知,當0≤d≤0.7時,隨著中間主應力系數的增加,塑性區的半徑逐漸減小,當c=2時,塑性區半徑由3.688減小至3.088，c=2.4時,塑性區半徑由3.563減小至3.012，c=3.2時,塑性區半徑由3.265減小至2.789，c=4時,塑性區半徑由2.851減小至2.445；當0.7≤d≤1時,隨著中間主應力系數的增加,塑性區的半徑卻呈現出增長趨勢,當c=2時,塑性區半徑由3.088減增加至3.153，c=2.4時,塑性區半徑由3.012增加至3.061，c=3.2時,塑性區半徑由2.789增加至2.845，c=4時,塑性區半徑由2.445增大至2.493.說明中間主應力對巷道圍巖塑性區半徑的影響具有區間效應.因此，在一定范圍內增大中間主應力系數對巷道圍巖的變形與塑性區的擴展具有一定的抑制作用.

圖5 中間主應力系數與塑性區半徑的關系

4 結論

1)內聚力與內摩擦角均不改變圍巖塑性區的形態但對塑性區的大小產生不同的影響.內聚力與內摩擦角均與塑性區的大小呈負相關,但是隨著內聚力的增大,塑性區半徑減小的程度越大.而隨著內摩擦角的增大,塑性區半徑減小的程度越來越緩慢.

2)中間主應力對巷道圍巖塑性區有重要影響,當中間主應力系數小于0.7時,塑性區半徑隨著中間主應力系數的增大而減小,當中間主應力系數大于0.7時塑性區半徑隨著中間主應力系數的增大而增大.因此在一定范圍內增大中間主應力系數對巷道圍巖的變形與塑性區的擴展具有一定的抑制作用.