一種基于矩陣重組的功率倒置改進算法*

吳文浩，賴鵬輝，王 昊，王世練，張 煒

(國防科技大學 電子科學學院，長沙 410073)

0 引 言

自適應天線通過控制陣列中各陣元的增益和相位，使陣列方向圖在干擾方向形成零陷，達到抑制干擾的效果[1]，是一種有效的抗干擾方法。經典的陣列加權準則包括最小均方誤差(Minimum Mean Square Error,MMSE)準則[2]、最小方差無失真響應(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)準則[3]、最大信干噪比(Maximum Signal to Interference and Noise Ratio,MSINR)準則。功率倒置(Power Inversion,PI)自適應算法[4-6]是基于線性約束最小方差準則建立的，屬于盲抗干擾準則，具有“強干擾強抑制，弱干擾弱抑制”特點，不需要先驗信息輔助，可采用直接協方差矩陣求逆(Sample Matrix Inverse,SMI)、最小均方誤差(Least Mean Square,LMS)和遞推最小二乘法(Recursive Least Squares,RLS)等算法。

功率倒置廣泛應用在抗干擾接收機中，如定位導航系統、遙測系統、衛星通信等。文獻[1]通過監測干擾數目或功率的突變，復位處理權值矢量，提高PI陣的收斂速度。文獻[6]采用RLS算法實現PI陣列，解決收斂性與穩態失調矛盾，但運算量大，對硬件運算要求高。文獻[7]采用指數函數的歸一化變步長LMS算法，兼顧收斂速度和穩態誤差，增大算法的輸入功率。文獻[8]通過將信號投影到噪聲空間，提高PI算法在弱干擾下的抗干擾性。上述算法從收斂速度、穩態誤差、抗干擾范圍方面提升PI陣性能，各有優點，但存在共同問題——信噪比惡化現象。

本文針對信噪比惡化問題，利用信號子空間正交性來改進PI算法，改善信噪比惡化問題，提高信干噪比增益，改善算法有效性。

1 功率倒置算法

y(n)=wHx(n) 。

(1)

圖1 M元天線陣結構

算法滿足如下約束準則，使其輸出功率最?。?/p>

(2)

式中：RXX為接收信號協方差矩陣，s0為約束條件。為防止w全為零而沒有意義，取s0=[1，0，…，0]T。構建拉格朗日函數，可得最優權矢量

(3)

針對觀測信號的協方差估計可采用塊自適應算法和連續自適應算法。假設系統接收信號包括擴頻信號s(t)、干擾信號i(t)、噪聲n(t)，其中噪聲服從高斯分布，與擴頻信號、干擾信號互不相關，干擾信號與擴頻信號相關系數為ρ(θ)，θ為信號與干擾的夾角。對于平穩信號，接收信號的協方差估計是正Hermitian矩陣，

(4)

(5)

式中：ηs是期望信號對應特征向量。則對應的逆矩陣

(6)

(7)

圖2(a)、(b)分別是信干比SJR為-50、-20 dB時,SMI法和EVD-1法的方向圖。對于SMI法，其方向圖在不同干擾強度形成不同深度零陷，干擾越強，零陷越深；干擾越弱，零陷較淺，(b)中零陷約為-13.5 dB。對于EVD-1法，其方向圖在強干擾下形成零陷較深，與SMI法相近；在弱干擾下，EVD-1法形成零陷遠深于SMI法，(b)中零陷約為-64 dB。當SJR為-50 dB時，兩種算法信噪比惡化約為-0.879 3 dB；當SJR為-20 dB時，信噪比惡化約為-0.986 1 dB。

(a)SJR為-50 dB

(b)SJR為-20 dB圖2 SMI和EVD-1算法對比圖

2 基于特征分解的塊自適應算法改進

由上述仿真可知，傳統PI算法和EVD-1算法在干擾來向形成零陷的同時在期望方向存在小幅度抑制，有信噪比惡化現象。由式(7)可知，傳統PI算法最優權值矢量是樣本協方差矩陣中干擾信號、擴頻信號(期望信號)、噪聲對應特征向量的線性組合，分別對應等式右邊第一、二、三項。由于擴頻信號(期望信號)一般淹沒在熱噪聲中(信噪比小于-20 dB)，一般情況下可將后兩項看作一項。干擾特征向量與干擾信號導向矢量wopt張成同一子空間，則干擾信號導向矢量為干擾信號特征向量的線性組合。強干擾環境下，干擾特征值遠大于噪聲對應的特征值，對wopt的影響反而小，即wopt是噪聲特征向量的線性組合，因此wopt與干擾信號導向矢量正交，在干擾方向上形成較深的零陷；而弱干擾環境下干擾特征值較小，與噪聲特征值接近，wopt是兩者特征向量線性組合，因此在干擾方向上無法形成較深零陷。EVD-1算法中將式(7)中干擾項舍去，實質上等同干擾功率無窮大，由上面分析可知，在弱干擾環境下可形成較深零陷。

下面從信噪比增益角度分析惡化原因。首先給出信噪比增益表達式：

(8)

(9)

本文提出一種基于矩陣重組的功率倒置改進算法EVD-NN(Eigenvalue Decomposition with No Noise),在不含先驗信息條件下，對接收信號協方差矩陣做特征分解，根據特征值分布對噪聲進行估計，舍去噪聲特征向量，保留主特征向量和期望信號特征向量(信源數為1)，重組得到新協方差矩陣逆矩陣，進而求得最優權值矢量。新的協方差矩陣逆矩陣、權值矢量和方向增益表達式如下：

(10)

(11)

(12)

由式(11)可知，新權值矢量僅由干擾和期望信號對應的特征向量組成，新的干擾子空間與非干擾子空間正交。當期望方向與干擾來向夾角較大(兩者相關性更小)時，在干擾方向，式(12)右邊第一項取值隨著干擾功率增大而減小，第二項為零；在期望方向，右邊第一項近乎為零(期望信號與干擾不相關)，第二項不為零且取值較大(期望信號功率較小)，此時取得方向增益最大值；對于其他入射角，其導向矢量由干擾、期望信號、噪聲三者的特征向量組成，式(12)右邊有不定取值，與期望信號和干擾功率大小有關，此處不作研究。

本文算法流程下：

(1)由M個天線陣元接收信號計算得協方差矩陣Rxx特征值分解得到從小到大排列的特征值λk和對應特征向量ηk,k=1,2,…,M。

(2)對信道噪聲功率和期望信號功率進行估計，根據特征值分布特點確定噪聲的最大特征值λnoiseMax，其中λk>λnoiseMax的特征向量判作非噪聲特征向量(干擾特征向量ηi和期望信號特征向量ηn)，數目為Num1,剩余的特征向量判作噪聲特征向量ηn，數目為Num2。

相關性能主要考察以下幾個方面：

(1)零陷情況。通過方向圖評估零陷是否對準干擾以及形成零陷的深度。

(2)信干噪比增益和信噪比增益。處理增益是下一步解調的關鍵，具體考慮不同干擾數目和強度、噪聲強度、陣元數目，相關指標如下：

(13)

(14)

(3)誤碼率(Symbol Error Rate，SER)。誤碼率是衡量數據在規定時間內數據傳輸精確性的指標，公式如下：

誤碼率=傳輸中的誤碼/所傳輸的總碼數×100%。

3 仿真分析

仿真采用8元均勻線陣，以線陣法線方向為參考方向，工作頻率為2 GHz，陣元間隔為0.5個波長，各信號參數設置見表1。

表1 仿真參數設置

3.1 仿真實驗1

圖3 實驗1中三種算法方向圖對比

3.2 仿真實驗2

圖4 實驗2中三種算法方向圖對比

3.3 仿真實驗3

圖5 實驗3中三種算法方向圖對比

3.4 仿真實驗4

參數與實驗1相同，天線陣元N=32，仿真結果如圖6所示。與實驗1相比，圖6中三種算法形成零陷更深，角度分辨率更高。在期望方向，EVD-NN算法的主瓣寬度變小，為3.2°，增益比SMI算法和EVD-1算法高出約3 dB；同時，EVD-NN算法有較低的增益，第一旁瓣約-13 dB，方向圖指向性更強。

圖6 實驗4中三種算法方向圖對比

3.5 三種算法在不同環境下的抗干擾性能

下面以信干噪比增益GSJNR和信噪比增益GSNR為評價指標，詳細分析三種算法在不同環境下的抗干擾性能。

圖7～9分別為三種算法的抗干擾性能仿真圖,其中圖7(a)、圖8(a)和圖9(a)信噪比增益指標中X軸按降序排列。由仿真結果可知，三種算法的GSNR不隨信噪比變化，其中，SMI法和EVD-1法的GSNR恒小于0，EVD-NN法的GSNR比較穩定，當干信比小于等于56 dB時，EVD-NN法的GSNR均值為8.74，比前兩者均值高出約9.6 dB；當干信比大于56 dB時，EVD-NN法的GSNR不穩定，但仍優于前兩種算法。另外，從信干噪比增益看，圖7(b)中，SMI法的GSJNR隨信噪比、干信比增加而增加；圖8(b)中，EVD-1法在低干擾下的GSJNR與SMI法接近，當干信比大于57 dB，算法失效；圖9(b)中，EVD-NN法在同一信噪比下GSJNR比前兩種算法高出約9.3 dB。信噪比為-15 dB時，GSJNR從38.3 dB增至51.8 dB；信噪比為-10 dB時，GSJNR從49.2 dB增至62.5 dB；當干信比大于60 dB，GSJNR變得不穩定，增長不明顯。

(a) 信噪比增益

(b)信干噪比增益圖7 SMI法抗干擾性能

(a)信噪比增益

(b)信干噪比增益圖8 EVD-1法抗干擾性能

(a)信噪比增益

(b)信干噪比增益圖9 EVD-NN法抗干擾性能

圖10是不同信干比時系統誤碼率仿真圖，其中實線代表信干比為-25 dB，虛線代表信干比為-55 dB。當信干比為-55 dB時，原始信號誤碼率約為0.75，SMI法誤碼率從0.58降到5×10-3，EVD-NN法誤碼率從0.42快速降到1×10-4;當信干比為-25 dB，原始信號誤碼率從0.59降到約0.21，SMI法誤碼率從0.58降到1.1×10-3，EVD-NN法誤碼率從0.51快速降到2×10-4。

圖10 不同信干比時誤碼率

從零陷情況、處理增益(信干噪比增益GSJNR和信噪比增益GSNR)、誤碼率三個方面對三種算法進行的分析可知，較之于傳統算法，EVD-NN法有明顯優點，但從算法流程可知，以下兩點是算法性能的關鍵，也是局限之處：

(1)獲取準確的協方差估計，完成特征分解?？炫臄瞪贂r，協方差估計不準確，算法性能顯著下降，快拍數增多，算法實時性下降，同時對工程實現的硬件要求也變高。經仿真可知，算法所需快拍數與具體的天線陣元數、信號(期望信號與干擾)總數目、信號功率有關。

3.6 仿真實驗5

圖11 快拍數不同時各特征值(從小到大排序)的收斂情況

圖12 快拍數不同時信道估計下各特征值的方差變化

圖13中第1條曲線即為傳統PI算法，第2、3、4條曲線分別代表假設期望信號對應特征值λ5、λ6、λ7時的方向圖，可以發現此時零陷基本對準強干擾，最大增益指向偏離期望方向0.2°～0.4°，具體處理增益見表2。

圖13 EVD-NN法對舍去的噪聲特征向量個數的敏感性

表2 仿真實驗5相關數據

由表2可知，Num等于4、5、6、7時，EVD-NN算法的GSJNR和GSNR比傳統PI算法(Num等于0)高，Num等于6、7時性能最佳，小于6時開始下降，Num等于5、4時，處理增益分別下降1.2 dB和2.7 dB。

綜合上述分析可得，EVD-NN算法改善了信噪比惡化現象，能較穩定地提升信干噪比增益和信噪比增益，其提升效果隨著天線陣元、干擾功率、輸入信噪比增加而提高，有利于降低誤碼率，在強干擾來向形成較深零陷；SMI算法存在信噪比惡化現象，在強干擾來向形成較深零陷，信干噪比有所改善；EVD-1算法存在信噪比惡化現象，在弱干擾來向也準確形成較深零陷，整體性能與SMI法相近，但EVD-NN算法的性能依賴于高準確度的協方差估計以及能否正確區分噪聲、非噪聲特征向量，不便于工程實現。綜上，本文提出的EVD-NN算法工作范圍更廣，具有穩定的、更高的信干噪比增益和信噪比增益，方向圖具有指向性，有較低的旁瓣，性能更好。

4 結束語

針對傳統功率倒置陣存在信噪比惡化的問題，本文分析了MMSE準則下最優權值矢量與協方差矩陣對應特征值的關系，從公式推導發現噪聲特征向量是信噪比惡化的主要原因。在此基礎上提出一種基于矩陣重組的功率倒置改進算法，通過特征值分布特點，舍去噪聲特征向量求得新的最佳權值矢量。仿真實驗表明，與傳統SMI法和相關改進算法相比，本文算法對干擾強度和噪聲強度適應范圍更廣，具有更高信號處理增益，在干信比為50 dB時，獲得信干噪比和信噪比增益比前兩種算法均高出約9.6 dB。同時，方向圖主瓣指向期望信號，有較低的旁瓣，抗干擾性更強。

但是，本文提出的EVD-NN算法有局限性，要求樣本協方差估計準確度較高。如何更有效可靠地區分噪聲、非噪聲向量，避免算法性能下降，可結合機器學習等方法進一步研究。