僅利用磁場幅度信息進行井間電磁反演成像的方法及可行性研究

魏寶君, 谷靖雯, 任臣, 黨 峰, 劉 健

(1.中國石油大學(華東)理學院,山東青島 266580; 2.中國石油集團測井有限公司,陜西西安 710077)

井間電磁成像技術通過將井間測量的電磁信號進行反演成像以獲得井間地層電導率的分布,從而最終獲得油氣藏在井間區域的分布狀況[1]。由于測量數據信息量的限制,一般采用軸對稱二維模型對實際測量數據進行井周或井間電磁成像[2-4]。文獻[5]分析了采用軸對稱二維地層模型對實際地層井間電磁測量數據進行成像的可行性、精確性及影響因素。需要指出的是,上述成像方法均是基于每一組測量磁場的全部信息,既包括磁場的幅度信息也包括其相位信息(或者是包括磁場的實部和虛部信息)。但在井間距較大的情況下,磁場相位的準確測量比較困難,而準確測量磁場的幅度則相對比較容易。若能實現僅利用磁場的幅度信息進行井間電磁一維反演和二維成像,則可以大大降低井間電磁測量現場實施的難度。筆者基于水平層狀地層的Green函數[6]和軸對稱二維地層模型的積分方程[7]研究僅利用磁場的幅度對井間電導率分布進行反演和成像的方法,并分析上述方法的可行性及精確性。

1 基本理論

由于所采用的頻率較低,在利用接收線圈處總磁場的幅度進行井間電磁一維反演和二維成像時忽略位移電流的影響并假設地層是非磁性的,其磁導率取真空中的數值μ0。由于井間電磁的測量范圍較大,故將發射線圈視為磁偶極子并假設發射源隨時間的變化關系為exp(iωt),其中ω為角頻率。圖1給出了水平層狀井間地層模型和軸對稱二維井間地層模型的簡圖,在進行反演成像時采用圓柱坐標系。利用總磁場的幅度進行井間電磁一維反演時可采用圖1(a)的模型,經反演得到每一層的電導率值。利用總磁場的幅度在發射—接收剖面進行井間電磁二維成像時可采用圖1(b)的模型,經成像得到電導率在發射—接收剖面的分布。

1.1 水平層狀地層的Green函數

利用水平層狀地層的Green函數可計算該類地層模型中置于發射井的軸向磁偶極子源在接收井任意深度處產生的磁場的軸向分量。設水平層狀地層共有n+1層,地層編號從0到n,每層地層的層界面位置垂向坐標為z0,z1,…,zn-1,每層地層的電導率為σ0,σ1,…,σn。設源點rT(rT=(ρT,zT))在第j層,則任意第l層中場點rR(rR=(ρR,zR))處的Green函數[6-7]可表示為

(1)

其中

圖1 井間地層模型簡圖Fig.1 Schematic configuration of cross-hole formation model

接收線圈處的磁矢勢A(只有方位角φ方向的分量)為

A(rR,rT)=μ0NTIΓ(rR,rT).

(2)

式中,NT為發射線圈匝數;I為發射電流強度。

由式(2)得到接收線圈處磁感應強度軸向分量的幅度為

(3)

1.2 計算軸對稱二維井間地層模型電磁場的積分方程

對于軸對稱二維井間地層模型,電導率異常體相對于發射井呈軸對稱分布,背景地層為水平層狀地層,可采用積分方程進行數值模擬。由于模型具有軸對稱性,所有場量均只是徑向坐標ρ和軸向坐標z的函數,與方位角坐標φ無關,計算區域為發射—接收剖面。

接收井中接收線圈處磁感應強度的軸向分量可表示為如下積分方程[7]的形式:

Bz(rR,rT)=Bbz(rR,rT)-

(4)

式中,D為發射—接收剖面包含電導率異常體的積分區域;Δσ(r′)=σ(r′)-σb(r′)為異常體與背景地層電導率之差;Bbz(rR,rT)為層狀背景地層中發射線圈在接收線圈處產生的磁感應強度的軸向分量,可由式(3)得到。式(4)稱為數據方程,若積分區域內的總磁失勢A(r′,rT)已知,離散后由該式可獲得接收線圈處磁感應強度的軸向分量。

在積分區域D內,總磁失勢A(r,rT)滿足如下積分方程:

(5)

式中,Ab為磁矢勢的背景值,可由式(2)得到。式(5)稱為目標方程,是計算積分區域內總磁失勢分布的第二類Fredholm積分方程,經離散后可采用穩定型雙共軛梯度(BCGS)方法進行迭代求解[8-10]。

1.3 井間電磁場幅度一維反演方法

在利用磁場幅度進行井間電磁一維反演時,先設定各水平層狀地層界面的位置并固定,則發射源在接收線圈處產生的磁場幅度的改變僅取決于水平層狀地層電導率的變化。設各層電導率有一個小的增量Δσl(l=0,1,…,n),則由式(3)可得到接收線圈磁感應強度軸向分量幅度的相應改變量為

(6)

考慮到井間電磁測量所有的發射—接收組合,式(6)用矩陣形式表示為

M1·Σ1=Δ|B|.

(7)

其中

Σ1=(Δσ0,Δσ1,…,Δσn)T,

Δ|B|=(Δ|B1|, Δ|B2|,…,Δ|Bm|)T,

(8)

1.4 井間電磁場幅度二維成像方法

在利用總磁場幅度進行井間電磁二維成像的過程中,仍假設所采集到的數據點的總數目為m,并假設成像區域D被離散為N個相同單元,每個單元內的磁失勢和地層電參數均恒定,則由式(4)的離散形式得到接收線圈處磁感應強度軸向分量的幅度為

(9)

在成像過程中保持背景地層電導率σbj不變,設各小成像單元電導率σj有一個小的增量Δσj(j=1,2,…,N),則接收線圈磁感應強度幅度的相應改變量為

(10)

考慮到井間電磁測量所有的發射—接收組合,式(10)用矩陣形式表示為

M2·Σ2=Δ|B|.

(11)

其中

Σ2=(Δσ1,Δσ2,…,ΔσN)T,

(12)

式(7)和式(11)表達形式相同,可統一表示為M·Σ=Δ|B|。由于信息量數目大于未知量數目,該式屬于超定方程組,其求解采用正則化最小二乘法[6-7]。令下列誤差函數取極小值:

(13)

式中,η為正則化因子。式(13)的極小值等價于下面線性方程組:

(MTM+ηI)·Σ=MTΔ|B|.

(14)

在求解式(14)時,為便于使η取初始值,將矩陣MTM的對角線元素作歸一化處理。

利用磁場幅度進行井間電磁一維反演或二維成像的具體方法可統一表述如下:

在一維反演或二維成像過程中,對每一層或每個單元的電導率σl的取值范圍進行約束,即σmin≤σl≤σmax。對于正則化因子η的取值可采用動態調整的辦法,即η可從一個較大數值(如10.0或100.0)開始,隨著迭代次數的增加逐步減小,當減小到一個很小的數值范圍內(如0.01～0.001)時即可保持不變。

2 井間電磁場幅度一維反演舉例

模型1為一個7層的一維地層模型,地層參數見圖2,地層電導率的最大對比度為100∶1。取發射頻率取f=500 Hz,發射井中單位磁偶極子發射源的垂向發射范圍和接收井中接收線圈的垂向接收范圍均為1.5～101.5 m。在反演時采用10層地層反演模型,每一層電導率的下限值設定為σmin=0.001 S·m-1、上限值設定為σmax=5.0 S·m-1。首先取發射源和接收線圈的垂向間隔均為5 m,則發射點和接收點數目均為21,發射—接收之間共有21×21=441種組合。在這種組合下進行3種情況的反演:先利用接收線圈磁感應強度的實部和虛部的全部信息進行反演,反演方法見文獻[6];再僅利用磁感應強度的幅度信息進行反演;最后給磁感應強度的幅度信息施加2%的隨機誤差并利用有誤差的數據進行反演。然后取發射源和接收線圈的垂向間隔均為2.5 m,則發射—接收之間共有41×41=1 681種組合,信息量接近前者的4倍。在這種組合下進行兩種情況的反演:先利用磁感應強度的幅度信息進行反演;再給幅度信息施加2%的隨機誤差并利用有誤差的數據進行反演。表1給出了反演模型的層界面位置、每層電導率的真實值及迭代初始估計值、上述5種情況下迭代40次后電導率的一維反演結果。圖3給出了5種反演過程迭代誤差e隨迭代次數k的變化關系。

圖2 井間地層模型1Fig.2 Cross-hole formation model 1

圖3 模型1迭代誤差與迭代次數的關系Fig.3 Relationship between iteration error and iteration number for formation model 1

由表1第5列數據可以看出,由于同時利用磁感應強度的實部和虛部信號進行反演時相互獨立的信息量大、信息更全面,因而反演結果最好、與實際模型參數值最為接近。當在相同發射—接收組合情況下僅采用磁場幅度信息進行反演時,由于信息量僅是全信息的一半,反演效果要差,這可以從第6列的數據看出。與實際模型的電導率值相比,第6列針對低導層(或高阻層)的反演結果誤差較大,如編號為第2、第5和第7的層,而對高導層的反演結果與實際模型參數值接近。由第7列的數據可以看出,當對有隨機誤差的幅度信息進行反演時,反演效果最差,尤其是對編號為第4和第5的兩個緊鄰地層,出現了反演結果顯示的地層特性與真實地層特性相反的情況。需要指出的是,在獲得其他各列數據時正則化因子η的初始值均取為10.0,而后逐漸減小至0.001;而在獲得第7列數據時η的初始值則取為100.0且使其減小速度放緩,此時反演結果穩定,迭代誤差隨迭代次數的變化亦較平緩(圖3),若將η的初始值取為10.0則會出現迭代過程不穩定的現象,反演結果更差?？梢?在對有誤差的數據進行反演時,為了得到穩定的結果應適當增加正則化因子η的初始值且放緩其減小速度,此時由于η減小至最小值的速度變慢可增加迭代次數。由表1第8列的數據可以看出,由于發射—接收組合數增加為原來的近4倍,反演效果總體要優于第6列的數據,尤其是對第7層電導率值的反演結果。盡管在此組合下幅度信息量大大增加,但由于缺少相位信息,反演效果仍不如第5列數據。由表1第9列的數據可以看出,盡管幅度信息存在2%的誤差,但其數據與第8列數據相差不大,反演效果遠高于第7列的數據,與實際模型參數值亦較為接近?？梢?只要幅度信息量足夠大,即便存在一定程度的誤差,仍不影響反演質量,反演結果仍能清晰地給出高阻層和低阻層分布,反演結果可以接受。由該反演實例可以看出，只要數據量足夠,僅利用磁感應強度的幅度信息對井間電磁場進行一維反演是可行的。

表1 模型1的反演結果

分析圖3可以發現:對于理想情況下沒有隨機誤差的數據,反演過程中迭代誤差可達到最小約10-5的量級;而對有隨機誤差的數據,反演過程中的迭代誤差最小可達到0.02,恰等于給幅度信息施加的誤差。在利用實測數據進行反演時可根據這一規律推測原始測量數據的誤差。圖3還顯示了正則化因子η不同的初始值和減小速度對迭代誤差變化的影響。對于信息量豐富或測量誤差小的數據,η的初始值可以小一些,減小速度可以快一些,此時迭代誤差隨迭代次數的增加可以快速減小而后趨于穩定,如在反演得到第5、6、8、9列數據時正則化因子η的初始值均取為10.0且均以0.6的比例減小到0.001。對于信息量少或測量誤差較大的數據,η的初始值可以大一些,減小速度可以慢一些,此時迭代誤差隨迭代次數的增加緩慢減小而后趨于穩定,如在反演得到第7列數據時正則化因子η的初始值取為100.0且以0.8的比例減小到0.001,對于這種情況在必要時可以增加迭代次數。對比圖3第1、第2和第4組數據的誤差曲線可以看出,迭代穩定后第1組數據反演效果最好但誤差較另外兩組要大,這主要是因為第1組數據的誤差反映的是實、虛部(或幅度和相位)數據的整體與給定信息的吻合程度,而另兩組數據反映的僅是幅度的吻合程度,相對而言更容易達到,至于相位的吻合程度則無法判斷(由于反演時沒有利用相位信息,從反演結果看相位的誤差要遠大于幅度的誤差)。

3 井間電磁場幅度二維成像舉例

由于利用二維井間電磁成像技術主要是獲得發射—接收剖面高阻油氣藏分布狀況,故在利用井間電磁場幅度進行二維成像模擬時僅針對井間存在低電導率(高電阻率)異常體的情況進行分析。模型2為一個在垂直方向含兩個低電導率異常體的軸對稱二維地層模型,背景層為均質地層,該模型地層參數見圖4,發射源所采用頻率為1 kHz。該模型成像范圍設定為橫向20～180 m、垂向-50～50 m,每個成像單元的尺寸為5 m×5 m,成像單元總數目共計為640個。成像時取各單元電導率的初始估計值均為0.4 S·m-1,每個成像單元電導率的下限值設定為σmin=0.001 S·m-1、上限值設定為σmax=5.0 S·m-1,固定發射線圈和接收線圈的垂向探測范圍均為-75～75 m。正則化因子η的初始值取為10.0,在此后迭代過程中逐漸減小至0.001。

首先將垂向探測間隔均設定為5 m,則發射點和接收點個數均為31,信息量數目為31×31=961,信息量數目大于未知量(成像單元)數目。利用這些信息進行3種形式的成像:利用散射磁場精確的實部和虛部信息進行成像;利用總磁場精確的幅度信息進行成像;利用含2%隨機誤差的總磁場幅度信息進行成像。然后將垂向探測間隔減小為3 m,則發射點和接收點個數均為51,信息量數目為51×51=2 601,信息量數目遠大于前者。利用這些信息進行兩種形式的成像:利用總磁場精確的幅度信息進行成像;利用含2%隨機誤差的總磁場幅度信息進行成像。圖5給出了上述5種情況下的成像結果及成像過程迭代誤差e隨迭代次數k的變化關系。

圖4 井間地層模型2Fig.4 Cross-hole formation model 2

由于第1種成像所利用的信息完全是由電導率異常體產生的散射磁場,而不是背景層信息和電導率異常體信息混合在一起的總磁場,并且采用的是精確的實部和虛部散射磁場信息,因此體現電導率異常體信息的數據最為豐富和準確,使得圖5(a)的成像質量最好。與其他幾種成像過程相比,盡管第1種成像迭代誤差(僅是散射場的誤差)的極限值并不是最小的,但兩個低電導率異常體的位置、范圍和電導率數值均得到了較為準確的呈現。第2種成像所利用的信息既包含背景層又包含電導率異常體貢獻的總磁場,體現電導率異常體的信息在其中只占一定比例,又由于采用的僅是總磁場的幅度信息,信息量較第1種成像過程大大減少,因而圖5(b)的成像質量低于圖5(a)。尤其是圖5(b)給出的異常體的電導率與模型的實際電導率存在差別,并沒有達到模型給出的低電導率。但由圖5(b)可以定性看出成像結果確實為低電導率異常體,并且由該成像結果亦能獲得電導率異常體的位置和大致范圍。第3種成像所利用的信息是含有誤差的總磁場的幅度信息,信息量既少又不準確,因而圖5(c)的成像效果最差。對比圖5(c)與原模型可以看出:在原模型電導率異常體位置處經成像亦獲得了低電導率異常體分布,只不過由成像獲得的異常體的形狀與實際異常體的形狀存在較大差別;在靠近接收井處亦出現了低電導率異常體分布,這是實際模型中所沒有的。第4、第5種成像由于將垂向探測間隔加密,信息量加大,因而圖5(d)的成像質量要優于圖5(b),圖5(e)的成像質量要優于圖5(c)。盡管第5種成像所采用的總磁場的幅度含有誤差,但由于信息量大,圖5(e)在靠近接收井處出現的低電導率異常體分布范圍大大減小,電導率值更接近于背景值,由圖5(e)仍能得到模型中兩個低電導率異常體的位置和范圍。通過分析圖5可以發現,只要信息量達到未知量數目的4倍以上,測量數據的誤差較小,可以僅利用總磁場的幅度進行井間電磁二維成像。另外,由于地層模型和信息量均是上下對稱的,所以圖5各種成像結果均相對于z=0 m處上下對稱。

圖5 模型2成像結果Fig.5 Imaging results for formation model 2

分析圖5(f)可以發現,利用總磁場精確幅度信息的第2種和第4種成像過程的迭代誤差隨迭代次數的變化規律相似,并且迭代誤差的極限值最小。利用散射磁場精確實部和虛部信息的第1種成像過程迭代誤差的極限值次之。利用有誤差總磁場信息的第3種和第5種成像過程的迭代誤差隨迭代次數的變化規律亦相似,并且迭代誤差的最小極限值均為0.02,等于給幅度信息施加的誤差。需要指出的是,第1種成像的迭代誤差僅針對散射場而言,并不涉及到背景地層產生的背景磁場，而其他4種成像的迭代誤差則是針對總磁場的,既包含背景地層產生的背景磁場又包含電導率異常體產生的散射場。盡管第2種和第4種成像過程迭代誤差的極限值最小,但由于背景磁場和散射磁場均含有誤差,所以成像質量不如第1種成像過程。

模型3較模型2復雜,是含有4個低電導率異常體的軸對稱二維地層模型,地層參數見圖6,所采用頻率仍為1 kHz。成像范圍、成像單元尺寸、每個成像單元電導率的上下限值、垂向探測范圍、測量方式均與模型2相同,各單元電導率的初始估計值均設定為0.5 S·m-1?？紤]到該模型復雜,將正則化因子η的初始值取為100.0,在此后迭代過程中逐漸緩慢減小至0.001。圖7給出了與模型2相同方式的5種情況下的成像結果及成像過程迭代誤差e隨迭代次數k的變化關系。

圖6 井間地層模型3Fig.6 Cross-hole formation model 3

圖7 模型3成像結果Fig.7 Imaging results for formation model 3

由于該模型電導率異常體數目多,每個異常體的尺寸較小,4個異常體的總尺寸之和亦遠小于模型2兩個異常體的尺寸之和(該模型4個異常體的總剖面面積為400 m2,而模型2兩個異常體的總剖面面積為1 600 m2),因而成像難度增大。盡管模型復雜,由圖7(a)可以看出,利用由電導率異常體產生的散射磁場精確的實部和虛部信息仍可以準確地獲得4個低電導率異常體的位置和范圍。當然由于異常體尺寸較小,散射場較弱,成像得到的異常體的最低電導率值略高于模型數值,而由圖7(b)～(e)的成像結果可以看出,利用幅度成像的效果則大大降低。

在圖7(b)和(d)中,距離接收井較近的兩個異常體在成像后更加靠近接收井,位置上出現了平移,而距離發射井較近的兩個異常體在垂向上則更加靠近,并且在它們的上下兩端對稱出現了兩個低電導率異常體成像分布。對比發現:圖7(d)對4個異常體成像后給出的電導率值低于圖7(b),更接近于模型值,成像質量優于圖7(b);而由圖7(c)只能得到距離接收井較近的兩個異常體的成像,并且成像位置均向接收井平移,距離發射井較近的兩個異常體并沒有得到成像分布,該圖成像效果與原模型差距最大,無法得到較為理想的異常體分布。圖7(e)的成像效果接近于圖7(d),可見只要數據量充分,總磁場的幅度是否含有較小的誤差對成像質量并沒有產生實質性的影響,影響幅度成像質量的主要是地層的復雜程度。

4 井間電磁場幅度一維、二維聯合反演成像舉例

在對井間測量數據進行成像時亦可以采用聯合反演成像的方法,先結合單井測量資料信息確定地層邊界位置并進行一維反演,給出井間電參數的一維分布,然后以一維反演結果作為初始值進行二維成像,獲得電參數在發射—接收剖面的分布。模型4就是一個在9層背景地層中沿垂直方向含有兩個低電導率異常體的軸對稱二維井間地層模型,該模型地層參數見圖8,所采用頻率為2 kHz。在反演成像時固定發射源和接收線圈的垂向范圍均為-75～75 m,垂向探測間隔為3 m,信息量總數目為2 601,正則化因子η的初始值取為100.0,而后逐漸減小至0.001。在反演成像時假設背景地層的層界面位置已知,將數值模擬的磁場幅度作為測量數據進行一維反演,獲得電導率的一維分布,一維反演結果見表2。以一維反演結果作為初始值,在此基礎上再次將數值模擬的磁場幅度作為測量數據進行二維成像。成像時橫向范圍為20～180 m、垂向范圍為-52.5～52.5 m,每個成像單元的尺寸為5 m×5 m,成像單元總數目共計為32×21=672個,成像結果見圖9。

圖8 井間地層模型4Fig.8 Cross-hole formation model 4

圖9 模型4成像結果Fig.9 Imaging results for formation model 4

表2 模型4一維反演結果

由表2可以看出,經過一維反演預處理,反演結果已經能正確地顯示出高導層和低導層的分布狀況,尤其是沒有異常體存在的幾個高導層的電導率反演結果與模型值已經很接近。由圖9可以看出,成像后地層的高低電導率分布非常明顯。對含有低電導率異常體的兩個地層,由于異常體電導率0.01 S·m-1與其鄰近低導層的電導率0.05 S·m-1接近,成像顯示電導率異常體所在區域與其鄰近低導層連通,均為油氣儲集區域。該模型利用總磁場幅度分別通過一維反演和二維成像使地層電參數分布得到了較準確的呈現。

5 結 論

(1) 僅利用磁場的幅度信息對井間電磁場進行一維反演時,只要幅度信息量足夠大,即使測量數據存在一定程度的誤差,反演結果仍能較清晰地給出井間高阻層和低阻層的一維分布,反演結果可以接受,反演方法可行。

(2) 僅利用總磁場的幅度信息在發射—接收剖面對井間電磁場進行二維成像時,對于異常體分布較簡單的地層而言,只要數據量充分、測量數據誤差較小,可以獲得可接受的成像結果。影響成像質量的主要因素是井間異常體分布的復雜程度,異常體在井間的分布越復雜,成像效果越差。

(3) 只要信息量足夠,僅利用總磁場幅度信息對井間電磁場進行聯合反演成像可以較準確地獲得地層電導率在發射—接收剖面的分布。在進行聯合反演成像時,先利用總磁場幅度進行一維反演,獲得井間電參數的一維分布。然后以一維反演結果作為初始值,利用總磁場幅度進行二維成像,最終獲得電參數在發射—接收剖面的分布。