Bernoulli-Euler微梁振動特性的尺寸效應

周 博, 王志勇, 趙 飛, 周世琛, 薛世峰, 林英松

(1.中國石油大學(華東)儲運與建筑工程學院,山東青島 266580; 2.中國石油大學(華東)石油工程學院,山東青島 266580)

隨著國際上微機電系統的快速發展,對微結構的力學性能分析成為了國際研究的熱點。微梁在微機電系統中被廣泛應用,比如微傳感器、微驅動器和微開關。當金屬或復合材料構件的尺寸減小到微納米范圍時,其力學性能隨著幾何尺寸與特征尺寸的改變而表現出較強的尺寸效應[1-2]。經典彈性理論將物體抽象為均勻連續介質模型,忽略了材料內部微結構對其力學性能的影響,無法描述微結構的變形特點及尺寸效應。Toupin[3]提出的修正偶應力理論,在彈性體的本構關系和應變能密度中引入材料尺度參數,實現了對微結構尺寸效應的描述。Park 等[4]基于修正偶應力理論,通過材料尺度參數捕捉邊界層效應,解析求解了一個剪切問題。Armagan等[5]基于修正偶應力理論對功能梯度夾層微梁的彎曲、屈曲和自由振動進行了分析。Nguyen等[6]考慮尺寸效應和速率效應,建立了應變梯度黏塑性本構模型,描述了微米尺度金屬的時效行為。賀丹等[7]考慮彎曲剛度的尺寸效應,基于修正偶應力理論建立了適用于各種邊界條件的微尺度Euler梁模型,用于求解微尺度梁的彎曲和穩定問題。周博等[8]研究了Timoshenko 微梁的撓度、轉角和應力的尺寸效應,分析了Poisson 比對Timoshenko微梁力學行為及其尺寸效應的影響。鄭雪瑤等[9]基于修正偶應力理論推導了梁的變形能計算公式,得到了反映尺寸效應的量綱歸一化剛度公式并利用最小勢能原理研究了Euler-Bernoulli 微梁,得到了反映尺寸效應的量綱歸一化撓曲線方程和量綱歸一化最大應力方程?？禎商斓萚10]建立了微板的動力學模型,研究了正交各向異性功能梯度四邊簡支微板的自由振動行為。Zhou等[11]建立了黏彈性功能梯度(FG) Timoshenko微梁的尺寸依賴連續模型。Ke等[12-13]求解了功能梯度板的動力學問題。Karimipour等[14]研究了微環面板的尺寸依賴行為。Liang等[15]提出一種考慮泊松效應和弱非局部應變梯度彈性效應的Bernoulli-Euler梁模型。Attia等[16]研究了小尺寸對自由振動的影響。Dai等[17]提出一種非線性模型描述懸臂微梁的共振特性,并對其線性和非線性彈簧結構的定向動態響應問題進行研究。張大千等[18]對微板進行了熱穩定分析。劉建林等[19]探究了微納米尺度下線彈性懸臂梁受集中載荷作用下的大變形問題。這些關于微梁力學特性尺寸效應方面的研究,主要是針對特定截面形狀微梁結構進行的,且大多忽略了泊松系數對微梁力學行為及其尺寸效應的影響。筆者基于修正偶應力理論,推導任意截面形狀Bernoulli-Euler微梁的彎曲剛度、變形能等基本變量的偶應力理論表達式,利用Hamilton變分原理建立任意截面形狀Bernoulli-Euler微梁的偶應力理論動力微分方程。研究任意截面形狀Bernoulli-Euler微梁彎曲剛度的尺寸效應。

1 修正偶應力理論

Yang等[5]提出了修正偶應力理論。物體內的任一物質點有6個自由度,包括3個平動自由度和3個轉動自由度。3個平動自由度用位移矢量ui表示,3個轉動自由度用轉動矢量θi表示。轉動矢量和位移矢量的關系為

(1)

式中,eijk為置換張量。

描述物體自由度和變形間關系的幾何方程表示為

(2)

(3)

式中,εij和χij分別為應變張量和曲率張量。

在小變形情況下各向同性彈性材料的本構方程為

σij=λεkkδij+2Gεij,

(4)

mij=2l2Gχij.

(5)

其中

式中,σij和mij分別為應力張量和偏斜偶應力張量;λ和G為拉梅系數;l為反映尺寸效應的材料參數,稱為材料特征尺寸;E和μ分別為彈性模量和泊松系數。

彈性體的變形能可表示為

(6)

式中,Ω為彈性體體域;dV為體積微元。

2 動力學模型建立

2.1 基本變量描述

Bernoulli-Euler梁理論認為梁截面在變形后仍保持為平面,且垂直于變形后的梁軸線,只是繞截面內的某一軸線旋轉了一個角度。在計算過程中略去剪切變形,即假設只有彎曲變形,導出的應力和變形的計算公式對于細長梁是正確的。

圖1為分布載荷作用下的Bernoulli-Euler梁,x軸與梁的軸線重合,梁的截面中性軸與y軸重合,分布載荷集度為q(x,t)。

圖1 橫向載荷作用下的Bernoulli-Euler梁Fig.1 Bernoulli-Euler beam under transverse load

Bernoulli-Euler梁位移場可表示為

(7)

式中,u、v、w分別為x、y、z方向的位移分量。

將式(7)代入式(1),得到轉動分量

(8)

根據式(7)和(2),將Bernoulli-Euler梁的非零應變分量表示為

(9)

根據式(8)和(3),將Bernoulli-Euler梁的非零曲率分量表示為

(10)

將式(8)代入式(4),得到Bernoulli-Euler梁的非零應力分量,即

(11)

將式(10)代入式(5),得到Bernoulli-Euler梁的非零偏斜偶應力分量,即

(12)

將式(9)～(12)代入式(6),通過積分運算,得到Bernoulli-Euler梁的變形能,即

(13)

其中

式中,K為Bernoulli-Euler梁的偶應力理論彎曲剛度;A為梁截面面積;Iy為梁截面對其中性軸y軸的慣性矩。

Bernoulli-Euler梁的外載荷做功表示為

(14)

Bernoulli-Euler梁的動能可近似表示為

(15)

式中,ρ為梁密度。

2.2 動力微分方程

利用Hamilton原理推導Bernoulli-Euler微梁動力微分方程。Hamilton原理可描述為具有理想約束的完整系統在任一時間間隔[t0,t1]內,從初始位置到終止位置的所有可能運動中,真實運動的哈密頓作用量的變分等于零,它是一種求解動力學問題的變分原理。對于Bernoulli-Euler梁,Hamilton原理表示為

(16)

式中,δT、δU和δW分別為Bernoulli-Euler梁的動能變分、變形能變分和外力功的變分。

對Bernoulli-Euler梁的變形能方程式(13)進行變分運算,得到

(17)

對外載荷做功方程式(14)進行變分運算,得到

(18)

對Bernoulli-Euler梁的動能方程式(15)進行變分運算,得到

(19)

根據式(17)～(19),得到

δT-δU+δW=

(20)

由式(20)可知,若使Hamilton原理即式(16)對任一時間間隔[t0,t1]都成立,應滿足

(21)

式(21)為描述Bernoulli-Euler微梁的撓度、載荷集度間微分關系的動力微分方程。

3 尺寸效應

3.1 彎曲剛度比

在材料特征尺寸l=0情況下,根據式(13)中描述的Bernoulli-Euler梁的偶應力理論彎曲剛度K,得到Bernoulli-Euler梁的經典彈性理論彎曲剛度,表示為

K0=(λ+2G)Iy.

(22)

基于式(22)將偶應力理論彎曲剛度和經典彈性理論彎曲剛度的比值表示為

(23)

其中

式中,ry為截面對中性軸慣性半徑;l為材料特征尺寸。

慣性半徑ry是Bernoulli-Euler梁的重要幾何特征尺寸,在截面面積相同的情況下,截面慣性半徑越大,其慣性矩越大,彎曲剛度越大。

3.2 固有頻率比

令載荷集度函數q(x,t)=0并將其代入式(21),得到Bernoulli-Euler微梁的自由振動方程,表示為

(24)

根據分離變量法,設自由振動方程式(24)的解為

w(x,t)=[Bcos(ωt)+Csin(ωt)]Φ(x).

(25)

式中,ω為固有頻率;Φ(x)為振型函數;B、C為待定系數。

將式(25)代入式(24),經簡化整理得

(26)

其中

微分方程式(26)的通解為

Φ(x)=C1sin(βx)+C2cos(βx)+C3sinh(βx)+

C4cosh(βx).

(27)

式中,C1、C2、C3、C4為待定系數。

以簡支梁為例,其左右兩端撓度為零,彎矩為零,邊界條件可描述為

(28)

式中,L為簡支梁長度;Φ為簡支梁的振型函數。

根據式(27)和(28),可得

C2=C3=C4=0,C1sin(βL)=0.

(29)

根據式(27)和(29)可知,若Φ(x)存在非零解,必有C1≠0,因此

sin(βL)=0.

(30)

求解式(30),得

(31)

根據式(26)和式(31),得簡支梁的偶應力理論固有頻率

(32)

令材料特征尺寸l=0,根據式(32)、(22)和(23),可以得到Bernoulli-Euler簡支梁的經典彈性理論固有頻率,即

(33)

根據式(33)、(22)和(23),可以將簡支梁的偶應力理論固有頻率和經典彈性理論固有頻率的比值表示為

(34)

3.3 尺寸效應分析

圖2 不同泊松系數下彎曲剛度與慣性半徑間關系Fig.2 Relation between bending stiffness and inertial radius with different Poissons ratio

圖2為不同泊松系數時,Bernoulli-Euler梁的偶應力理論彎曲剛度與截面慣性半徑間的關系。其縱坐標為Bernoulli-Euler梁的偶應力理論彎曲剛度和經典彈性理論彎曲剛度的比值,橫坐標為截面慣性半徑與材料特征尺寸的比值。由圖2可知:當慣性半徑與材料特征尺寸比值較小時,隨著慣性半徑與材料特征尺寸比值增加,偶應力理論彎曲剛度與經典彈性理論彎曲剛度比值逐漸減小,Bernoulli-Euler微梁的彎曲剛度特性具有明顯的尺寸效應;由圖2可以看出,當慣性半徑與材料特征尺寸比值小于2時,隨著橫坐標增加,Bernoulli-Euler梁的偶應力理論彎曲剛度與經典彈性理論彎曲剛度極速下降,之后緩慢下降,并最后趨于平緩,尺寸效應變得不明顯、可以忽略;Bernoulli-Euler梁的泊松系數越小,慣性半徑對彎曲剛度的影響越大、彎曲剛度特性的尺寸效應越明顯。

圖3為不同慣性半徑與材料特征尺寸比值時,Bernoulli-Euler微梁的偶應力理論彎曲剛度和泊松系數間的關系曲線,其縱坐標為偶應力理論彎曲剛度和經典彈性理論彎曲剛度比值。由圖3可知:Bernoulli-Euler梁的偶應力理論彎曲剛度與經典彈性理論彎曲剛度比值隨著泊松系數增大而減小;慣性半徑與材料特征尺寸比值越大,泊松系數對彎曲剛度及其尺寸效應的影響越小。

圖3 不同慣性半徑下彎曲剛度與泊松系數間關系Fig.3 Relation between bending stiffness and Poissons ratio with different inertial radius

圖4為泊松系數等于0.45、截面面積相同,截面形狀分別為矩形(高寬比2)、箱形(外高寬比2,內外高比0.8,內外寬比0.8)、圓形、圓環(內外徑比0.8)時,Bernoulli-Euler微梁的偶應力理論彎曲剛度和截面面積間的關系曲線,其縱坐標為偶應力理論彎曲剛度和經典彈性理論彎曲剛度比值,橫坐標為截面面積的平方根與材料特征尺寸比值。由圖4可知:Bernoulli-Euler微梁的偶應力理論彎曲剛度與經典彈性理論彎曲剛度的比值隨著截面面積增大而減小且逐漸趨近于1;截面形狀對Bernoulli-Euler微梁的彎曲剛度及其尺寸效應有較大影響。

圖4 不同截面形狀下彎曲剛度與截面面積間關系Fig.4 Relational curves between bending stiffness and cross section area with different section shape

圖5為內外徑比為0.5的圓環截面Bernoulli-Euler微梁,在不同泊松系數時,偶應力理論彎曲剛度與截面面積間的關系曲線,其縱坐標為偶應力理論彎曲剛度與經典彈性理論彎曲剛度比值,橫坐標為橫截面面積的平方根與材料特征尺寸比值。由圖5可知:Bernoulli-Euler梁的偶應力理論彎曲剛度與經典彈性理論彎曲剛度比值隨著截面面積增大而減小且逐漸趨近于1;Bernoulli-Euler微梁的泊松系數越小,截面面積對偶應力理論彎曲剛度的影響越大、尺寸效應越明顯。

圖5 不同泊松系數下彎曲剛度與截面面積關系Fig.5 Relation between bending stiffness and cross section area with different Poissons ratio

圖6 不同泊松系數下固有頻率與慣性半徑關系Fig.6 Relation between natural frequency and inertial radius with different Poissons ratio

圖6為不同泊松系數時,Bernoulli-Euler微梁的固有頻率和截面慣性半徑間的關系曲線,其縱坐標為Bernoulli-Euler梁的偶應力理論固有頻率和經典彈性理論固有頻率比值,橫坐標為截面慣性半徑和材料特征尺寸比值。由圖6可知:當慣性半徑與材料特征尺寸比值較小時,隨著慣性半徑與材料特征尺寸比值增加,偶應力理論固有頻率與經典彈性理論固有頻率比值逐漸減小,Bernoulli-Euler梁的固有頻率特性具有明顯的尺寸效應;由圖6可以看出,當慣性半徑與材料特征尺寸比值小于2時,隨著截面慣性半徑和材料特征尺寸比值增加,Bernoulli-Euler梁的偶應力理論固有頻率與經典彈性理論固有頻率比值極速下降,之后緩慢下降,最后趨于平緩,尺寸效應變得不明顯,可以忽略;Bernoulli-Euler梁的泊松系數越小,慣性半徑對固有頻率的影響越大,固有頻率特性的尺寸效應越明顯。

圖7為不同慣性半徑與材料特征尺寸比值時,Bernoulli-Euler微梁的偶應力理論固有頻率和泊松系數間的關系曲線,其縱坐標為偶應力理論固有頻率和經典彈性理論固有頻率比值。由圖7可知:Bernoulli-Euler梁的偶應力理論固有頻率與經典彈性理論固有頻率的比值,隨著泊松系數的增加而減小;慣性半徑與材料特征尺寸比值越大,泊松系數對固有頻率的影響越小。

圖8為泊松系數等于0.2、截面面積相同,截面形狀分別為矩形(高寬比2)、箱形(外高寬比2,內外高比0.8,內外寬比0.8)、圓形、圓環(內外徑比0.8)時,Bernoulli-Euler微梁偶應力理論固有頻率和截面面積間的關系曲線,其縱坐標為偶應力理論固有頻率和經典彈性理論固有頻率的比值,橫坐標為截面面積的平方根與材料特征尺寸比值。由圖8可知:Bernoulli-Euler微梁的偶應力理論固有頻率與經典彈性理論固有頻率比值隨著截面面積增大而減小且逐漸趨近于1;截面形狀對Bernoulli-Euler微梁偶應力理論固有頻率及其尺寸效應有較大影響。

圖8 不同截面形狀下固有頻率和截面面積間關系Fig.8 Relation between natural frequency and cross section area with different section shape

圖9為圓形截面Bernoulli-Euler微梁在不同泊松系數時偶應力理論固有頻率與截面面積間的關系曲線,其縱坐標為偶應力理論固有頻率與經典彈性理論固有頻率比值,橫坐標為截面面積的平方根與材料特征尺寸比值。由圖9可知:Bernoulli-Euler梁的偶應力理論固有頻率與經典彈性理論固有頻率比值隨著截面面積增大而減小且逐漸趨于1;Bernoulli-Euler微梁的泊松系數越小,其截面面積對偶應力理論固有頻率的影響越大,尺寸效應越明顯。

4 結 論

(1)當Bernoulli-Euler微梁截面慣性半徑與材料特征尺寸比值較小時,Bernoulli-Euler微梁的偶應力理論彎曲剛度與經典彈性理論彎曲剛度的比值,隨著慣性半徑增加而減小,表現出明顯的尺寸效應;當慣性半徑與材料特征尺寸比值小于2時, Bernoulli-Euler梁的偶應力理論彎曲剛度與經典彈性理論彎曲剛度呈現極速下降趨勢,之后緩慢下降,并最后趨于平緩,尺寸效應變得不明顯并可以忽略。

(2)泊松系數是影響Bernoulli-Euler微梁動力學特性及尺寸效應的重要因素,偶應力理論彎曲剛度和偶應力理論固有頻率均隨著泊松系數增大而減小;泊松系數越小,Bernoulli-Euler偶應力理論彎曲剛度和偶應力理論固有頻率的尺寸效應越明顯。

(3)截面形狀對Bernoulli-Euler微梁的偶應力理論彎曲剛度、偶應力理論固有頻率、彎曲剛度的尺寸效應和固有頻率的尺寸效應均有明顯影響。