基于自適應多通道交互式多模型的高超聲速滑翔飛行器跟蹤方法

張君彪， 熊家軍， 蘭旭輝， 李凡， 陳新， 席秋實

(1.空軍預警學院 預警情報系， 湖北 武漢 430000； 2.95980部隊， 湖北 襄陽 441000)

0 引言

隨著高超聲速技術的發展，臨近空間高超聲速滑翔飛行器(HGV)已逐步由概念論證進入實際部署階段，其憑借強大的縱深穿透能力、精確打擊能力、侵徹貫穿能力，成為世界各軍事大國競爭博弈的焦點，打破了傳統的戰略攻防平衡體系。對HGV的預警偵察、穩定跟蹤、攔截防御將是各國面臨的新挑戰。因此，對HGV跟蹤理論及技術進行深入研究成為了迫切需求。

對HGV進行跟蹤實質上是機動目標跟蹤問題，主要包括機動模型和濾波算法[1-3]。機動模型是對系統狀態發展趨勢的預測，根據建模機理不同，通常分為運動學模型和動力學模型[4-5]。運動學模型通常是對加速度進行不同的機動統計建模，屬于經典的跟蹤模型，可用于絕大部分機動目標的跟蹤，主要包括勻速模型、勻加速模型、當前統計模型、Singer模型、Jerk模型等[6]。運動學模型的優點是適應性強，不需要太多先驗信息，缺點是不能準確描述目標運動機理，跟蹤效果對系統參數設置較為敏感。為建立更適合HGV的運動學模型，文獻[7]對HGV的加速度進行周期性相關假設，提出正弦波自相關模型，保持了較高的跟蹤穩定性和精度；文獻[8]對HGV縱向上的機動特性進行研究，假設HGV在縱向上的加速度同時具備周期性與衰減性，提出衰減振蕩自相關模型，對HGV在縱向上的機動具有較高跟蹤精度。動力學模型通常從目標受力角度出發，對目標未知氣動力進行建模，物理含義清晰，系統模型匹配時跟蹤精度高，但需要較多先驗信息，且適應性較差。文獻[9]對HGV氣動參數進行分析，利用轉彎力參數與爬升力參數的耦合關系建立動力學模型，實現模型與機動狀態的自適應匹配。文獻[10]分析了氣動加速度的變化規律，分別對阻力加速度、爬升力加速度、轉彎力加速度進行建模，提高了跟蹤精度。文獻[11]建立HGV的氣動參數“基準模型”和“偏差模型”，提高了加速度的估計精度。但單個模型難以較好實時匹配復雜機動或強機動目標，交互式多模型(IMM)算法由于具有多個模型，基本可以覆蓋目標所有機動模式，能較好地解決這一問題，已廣泛應用于目標跟蹤領域[12-16]。在IMM算法中，轉移概率矩陣通過直接影響內部模型之間的切換速度和交互效率，從而對跟蹤的穩定性和精度產生重要影響。傳統IMM算法中轉移概率矩陣通常依據先驗信息設定，內部元素是固定常數，無法根據后驗信息實時調整，容易造成跟蹤精度下降。針對這一問題，很多學者提出利用后驗信息對轉移概率矩陣進行實時修正以增強算法性能的方法。文獻[17]提出一種利用模型概率的變化趨勢修正轉移概率矩陣的方法，并利用似然函數值判斷模型是否發生跳轉，提高了模型的切換速度和匹配模型的概率。文獻[18]定義了一種模型誤差壓縮率，并將其推廣至3個及以上模型的多模型系統中，實現轉移概率矩陣的自適應調整。

為提高HGV跟蹤穩定性和精度，現有公開文獻中大多單純采用多個運動學模型的交互或者多個動力學模型的交互作為跟蹤模型，鮮有將運動學模型和動力學模型作為模型集進行交互的跟蹤算法，沒有充分發揮運動學模型與動力學模型各自的優勢和特點。本文結合運動學建模適應性強和動力學建模匹配程度高的特點，分別建立HGV運動學模型和動力學模型作為模型集，并推導模型概率變化的過程，提出一種利用模型似然函數值實時修正轉移概率矩陣的方法，提高匹配模型的切換效率，并利用殘差邊緣分布描述濾波模型在x軸、y軸和z軸3個不同維度與目標運動的匹配程度，改善傳統IMM算法忽略不同維度估計殘差差異的問題，提高跟蹤精度。最后通過仿真實驗驗證本文算法的有效性。

1 跟蹤模型構建

1.1 目標機動特性分析

假設大地模型為均勻圓球體，忽略地球自轉影響，在半速度坐標系(VTC)中描述HGV滑翔段的運動方程[19-20]為

(1)

式中：r、λ、φ、v、θ、σ分別表示HGV的地心距、經度、緯度、速度、速度傾角及方位角；υ表示傾側角；g為重力加速度；aD、aL分別為阻力加速度、升力加速度，

(2)

ρ為大氣密度，α表示攻角，CL(α)、CD(α)分別為升力系數和阻力系數，S為目標等效截面積，m為目標質量。

HGV在臨近空間進行滑翔時，主要受氣動阻力、氣動升力和重力的影響，氣動阻力與速度方向始終相反，僅改變速度的大小，而氣動升力與速度方向垂直，僅改變速度的方向，重力方向始終指向地心，既能改變速度大小又能改變速度方向。當HGV縱向平面受力達到平衡時，飛行器進行平衡滑翔，當其縱向受力不滿足平衡條件時，便處于跳躍滑翔狀態。當HGV進行跳躍滑翔時，目標狀態量具有類周期的變化特性[21-22]。目標在上升階段，由于重力和阻力，向上的速度逐漸減小直至為0 m/s. 此時目標處于最高點并開始下降，下降過程中空氣密度逐漸增大，所受阻力逐漸增大，當阻力增大到大于重力時目標開始向下減速，直至速度為0 m/s，此時目標處于最低點并開始上升，由此完成一個周期的運動。

1.2 運動學跟蹤模型構建

由于HGV跳躍滑翔時狀態量的變化具有類周期特性，將加速度建模為正弦波自相關時間函數：

(3)

(4)

對應的狀態方程如下：

(5)

(6)

(7)

則(5)式可以寫成以下形式：

(8)

設采樣間隔為T，對(8)式進行離散化：

Xx(k+1)=F(T,ω0)Xx(k)+W(k)，

(9)

式中：k為時刻；F(T,ω0)為狀態轉移矩陣；W(k)為k時刻的過程噪聲。

1.3 動力學跟蹤模型構建

HGV滑翔段的加速度矢量表達式為

a=g+aa-ωe×(ωe×r)-ωe×v，

(10)

式中：a為目標加速度矢量；g為重力加速度矢量；aa為氣動加速度矢量；ωe為地球自轉角速度(實際計算中可忽略)矢量；r為地心距矢量；v為目標速度矢量。由(10)式可以看出，氣動加速度aa是影響飛行器運動的重要因素。

在VTC中，HGV氣動加速度可以表示為

(11)

根據坐標系轉換關系，在東北天坐標系(ENU)中，aa可以表示為

(12)

(13)

1.3.1 氣動加速度建模

根據1.1節分析可知，HGV在無動力滑翔過程中，氣動加速度隨目標的跳躍呈現類周期性變化。根據以上分析對阻力加速度、升力加速度及傾側角進行建模。將阻力加速度aD和升力加速度aL建模為正弦波形式。而傾側角一般較小，且容易發生符號翻轉，這里對傾側角正弦值Sυ=sinυ進行建模，假設其為指數衰減形式。

1.3.1.1 阻力加速度和升力加速度建模

將阻力加速度建模為正弦波形式，則其自相關時間函數為

(14)

(15)

其連續時間狀態方程為

(16)

由于升力加速度具有與阻力加速度相類似的變化特性，同樣將其建模為正弦波形式，建模方法同阻力加速度。

1.3.1.2 傾側角建模

為避免傾側角翻轉帶來的正負值影響，這里對傾側角正弦值進行1階Markov建模，其自相關函數為

(17)

(18)

式中：wυ(t)為傾側角正弦值對應的零均值高斯白噪聲。

1.3.2 動力學模型狀態方程

(19)

式中：w為高斯過程噪聲。

非線性方程f(X)可以表示為ENU下的fENU(X)和VTC下的fVTC(X)：

(20)

(21)

式中：η為地球引力常數；B0為雷達所處地理緯度；Re為地球等效半徑；ax,ENU、ay,ENU、az,ENU為氣動加速度在ENU中的分量。

設采樣間隔為T，對(19)式進行離散化，可得

(22)

式中：F(X(k))為f(X(k))關于X(k)的雅克比矩陣。

2 自適應多通道IMM算法

2.1 IMM算法

IMM算法通常包含多個模型，能較好地適應目標的不同機動模式，并對目標狀態進行有效跟蹤，避免單模型匹配程度低、跟蹤誤差不穩定的缺點，尤其在復雜機動或強機動中效果明顯。IMM算法以遞推方式進行，具體過程如下：

步驟1輸入交互。設j(k-1|k-1)和j(k-1|k-1)分別為k-1時刻模型j對應的狀態估計和協方差，模型j的概率為μj(k-1)，Pij為模型i到模型j的轉移概率，模型總個數為u.狀態輸入交互為

(23)

0j(k-1|k-1)=

j(k-1|k-1)][i(k-1|k-1)-
j(k-1|k-1)]Tμij(k-1)，

(24)

步驟2Kalman濾波。根據步驟1所求出的0j(k-1|k-1)和0j(k-1|k-1)，利用k時刻的量測z(k)作為濾波輸入[23]，求出模型j在k時刻對應的狀態估計矩陣j(k|k)及協方差矩陣j(k|k)。

步驟3模型概率更新。IMM算法中模型j對應的似然函數為

(25)

式中：n為k時刻對目標的測量次數；νj(k)和Sj(k)分別為模型j在k時刻對應的濾波殘差和新息協方差矩陣。

模型后驗概率為

(26)

步驟4輸出交互。

(27)

(k|k)=

[j(k|k)-(k|k)]T}，

(28)

2.2 自適應轉移概率矩陣

傳統IMM算法假定系統模型切換符合Markov過程，即

P{Mk=Mj|Mk-1=Mi}=Pij,i,j=1,2,…,u，

(29)

式中：Mk-1和Mk分別為k-1時刻和k時刻的系統模型。傳統IMM算法中，轉移概率Pij是根據一定的先驗信息預先給定的，且在跟蹤過程中是不變的。

首先，對IMM算法中模型概率取值的變化情況進行分析，為減少復雜度，這里以兩個模型集的IMM算法為例，則k時刻模型1和模型2的概率值之比可以表示為

(30)

而在任意時刻，模型概率值和轉移概率矩陣都應滿足以下關系式：

(31)

結合(30)式和(31)式，可以推導得到

(32)

由此可以看出，IMM算法當前時刻的模型概率值與似然函數值、前一時刻的模型概率值和轉移概率矩陣直接相關。其中，似然函數值是根據濾波殘差和新息協方差矩陣計算出來的，反映了模型與系統的匹配程度，其比值大小直接決定了模型概率值的變化趨勢，而后面的I部分可以理解為是對似然函數值之比的一個“調節器”，起到了放大或縮小似然函數比值倍數的調節作用，決定了模型的切換效率。在假設似然函數值相等的情況下對公式后面的Ⅰ部分進行研究，假設前一時刻的模型概率值不變，當前時刻模型概率值的比值隨轉移概率矩陣主對角線元素的變化如圖1所示。

圖1 模型概率比值與轉移概率矩陣對角元素關系Fig.1 Relationship between model probability ratio and diagonal elements of transition probability matrix

由圖1可以看出：前一時刻的模型概率值確定的情況下，模型概率的變化與轉移概率矩陣緊密相關，轉移概率矩陣中第i行主對角線元素越大，其他模型向該模型轉移的概率越大；不論前一時刻模型概率值如何取值，轉移概率矩陣對模型轉移的影響在趨勢上是相同的。這是因為HGV的高機動性和不確定性，使得傳統IMM算法在跟蹤前預先設定較為合適的轉移概率矩陣尤為困難，因此，若預先設定的轉移概率矩陣中的元素在HGV跟蹤過程中仍然保持固定不變，則難以適應目標跟蹤過程中的復雜變化，難以對模型概率值的變化進行及時準確引導，進而影響跟蹤精度和穩定性。

為解決這一問題，本文提出一種利用模型似然函數值對轉移概率矩陣進行調整的方法。由(25)式可以看出，似然函數值包含了濾波殘差和新息協方差等信息，既能反映模型估計值與量測值之間的差異信息，又較殘差更為穩定，可以直接體現模型與系統的匹配程度，決定模型概率值的變化趨勢。具體計算過程如下：

(33)

(34)

P′ij(k)=φij(k)Pij(k-1)，

(35)

但是，本文修正方式可能導致轉移概率矩陣中某些值越來越大，另一些值越來越小。當模型發生切換時，上述情況會導致切換速度變慢，甚至無法切換。因此，需要對轉移概率矩陣中的元素值進行限定，以保持良好的性能，設定兩個閾值M和N(取值范圍均在0～1之間)，并做出如下修改：

若主對角線元素Pii(k)

(36)

若非主對角線元素Pij(k)

2.3 多通道濾波

HGV跟蹤屬于三維跟蹤，而傳統IMM算法忽略了目標不同維度之間殘差的差異，在求解模型更新概率時進行了無差別化處理，求得的模型似然函數值不能體現真實情況，導致跟蹤誤差變大[24]。若考慮模型在不同維度上的濾波差異，采用殘差聯合分布在不同方向上分別計算模型可能性，有利于增加模型的匹配程度，進而減小濾波誤差。

這里采用殘差邊緣分布描述不同方向模型的可能性，則模型j在x軸維度的似然函數為

(37)

同理可以計算出模型j在y軸維度和z軸維度的似然函數，將其替代(25)式在不同方向上更新似然函數。

3 仿真實驗

為驗證本文算法的性能，設計兩種不同攻角、傾側角控制模式下的HGV典型機動軌跡，并與文獻[10]中所提動力學模型、文獻[7]中所提運動學模型、本文跟蹤模型+常規IMM濾波3種算法進行對比分析。共設置兩種典型控制律下的飛行器機動場景：場景1中飛行器采用零傾側角模式，攻角建模為速度的相關函數模式；場景2中飛行器采用固定攻角模式，傾側角為周期翻轉模式。圖2所示為HGV典型機動軌跡。

圖2 HGV典型機動軌跡Fig.2 Typical maneuver trajectory of HGV

從圖2中可以看出：場景1對應的機動軌跡1中目標縱向上進行跳躍滑翔，但其跳躍幅度和周期隨攻角變化進行調整，橫向上無機動；場景2對應的機動軌跡2中目標縱向上進行跳躍滑翔，橫向上進行蛇形機動。這兩種典型機動軌跡可用于驗證本文算法在不同機動模式下的跟蹤性能。圖3所示為典型控制模式。

圖3 典型控制模式Fig.3 Typical control mode

假設目標由發射器助推至50 km高度后釋放，并按預設模式進行機動。觀測雷達采樣間隔為0.1 s，方位角和俯仰角誤差為0.15°，距離誤差為200 m，雷達所在地理坐標為[12°，0.5°，1 km]，目標始終在雷達探測范圍之內且雷達探測過程中無地面遮擋。

設置4種算法分別在兩種機動場景中進行跟蹤，比較跟蹤精度和穩定性。文獻[10]中所提動力學模型為算法1(衰減系數為1/300，機動振蕩頻率為0.06 rad/s)；文獻[7]中所提運動學模型為算法2(角速率為0.05)；本文跟蹤模型+常規IMM濾波為算法3(模型參數同前面算法，初始轉移概率矩陣為[0.2 0.8；0.8 0.2])；本文算法模型參數同前面算法，初始轉移概率矩陣為[0.2 0.8；0.8 0.2]。交互式多模型中模型的初始化概率均為0.5. 仿真過程中其余參數的設置如下：修正速率γ為0.8，兩個閾值M和N分別設定為0.7和0.05，共進行100次蒙特卡洛仿真。

3.1 實驗1

利用各算法對軌跡1進行跟蹤，得到位置和速度的均方根誤差(RMSE)分別如圖4～圖8所示。由圖4～圖8可以看出：算法1為動力學模型，適應性較差，因此在0～150 s之間一直在進行初始化的適應性調整，誤差波動較大，150 s后逐漸進入穩定跟蹤階段，誤差較??；算法2為運動學模型，適應性較強，100 s后已經基本達到穩定狀態，但其穩定后跟蹤精度略低于算法1；算法3精度基本保持在算法1和算法2之間，初始跟蹤階段誤差波動小于算法1，穩定跟蹤階段跟蹤精度高于算法2，較好地發揮了動力學模型和運動學模型各自的優勢；本文算法既考慮了轉移概率矩陣的實時調整又考慮了不同維度上模型概率更新的差異，因此其跟蹤性能優于其他3種算法，濾波收斂速度快，穩定跟蹤后誤差小。

圖4 x軸位置RMSEFig.4 Position RMSE in x direction

圖5 y軸位置RMSEFig.5 Position RMSE in y direction

圖6 z軸位置RMSEFig.6 Position RMSE in z direction

圖7 實驗1中總位置RMSEFig.7 Total position RMSE in Experiment 1

圖8 實驗1中總速度RMSEFig.8 Total velocity RMSE in Experiment 1

算法3中的模型更新概率如圖9所示。由圖9可以看出：前期初始跟蹤階段，運動學跟蹤模型由于適應性較強，濾波收斂速度快，誤差波動幅度較小，屬于匹配模型；后期穩定跟蹤階段，動力學模型由于精度高，屬于匹配模型。

圖9 實驗1中算法3模型概率Fig.9 Model probability of Algorithm 3 in Experiment 1

本文算法不僅結合了運動學模型和動力學模型的優勢，還考慮了目標在不同維度上運動形式及機動強度的差異，在3個坐標維度上分別進行模型的匹配優化，其各維度的模型更新概率如圖10所示。從圖10中可以看出，由于目標在各維度上的機動情況不同，各維度的模型更新概率也各有差別，且圖4～圖6所反映的算法1和算法2在不同方向上的跟蹤誤差與各維度上的模型更新概率基本是對應的，與目標真實機動情況更為接近，因此跟蹤效果優于其他3種算法。

圖10 實驗1中本文算法模型概率Fig.10 Model probability of the proposed algorithm in Experiment 1

3.2 實驗2

利用各算法對軌跡2進行跟蹤，得到位置RMSE和速度RMSE分別如圖11和圖12所示。由圖11和圖12可以看出：算法1收斂速度慢，但后期穩定跟蹤精度較高；算法2收斂速度快，但后期穩定跟蹤精度較差；算法3跟蹤精度和收斂速度基本介于前兩者之間；本文算法具有良好的適應性，保持了穩定的跟蹤性能，總體跟蹤誤差低于其他算法。

圖11 實驗2中總位置RMSEFig.11 Total position RMSE in Experiment 2

圖12 實驗2中總速度RMSEFig.12 Total velocity RMSE in Experiment 2

算法3中的模型更新概率如圖13所示。本文算法在各維度上的模型更新概率如圖14所示。由圖13可以看出，由于軌跡2設定的傾側角為周期翻轉模式，在橫向上進行蛇形機動，導致動力學跟蹤模型在橫向上難以達到較好的穩定狀態。從圖14中可知：x軸和y軸方向上，運動學跟蹤模型始終為匹配模型；z軸方向上，動力學模型在跟蹤穩定后成為匹配模型。

圖13 實驗2中算法3模型概率Fig.13 Model probability of Algorithm 3 in Experiment 2

圖14 實驗2中本文算法模型概率Fig.14 Model probability of the proposed algorithm in Experiment 2

通過實驗1和實驗2的仿真結果可以看出：本文由運動學模型和動力學模型所組成的模型集能夠較好覆蓋HGV的機動模式，所提的自適應多通道IMM算法是對傳統IMM算法的擴展，增強了匹配模型所占的概率，具有自適應調節的能力；本文算法整體收斂速度較快，穩定跟蹤誤差較小，跟蹤精度較高，整體性能優于其他3種算法。

4 結論

本文針對HGV跟蹤問題提出一種自適應多通道的IMM跟蹤算法。通過設計調節因子和修正速率，實現了模型似然函數值對轉移概率矩陣的自適應調整；利用殘差邊緣分布描述濾波模型在x軸、y軸和z軸3個不同維度與目標運動的匹配程度，實現了似然函數和模型概率的一一對應。通過對典型控制律下的HGV軌跡進行跟蹤實驗，得出以下主要結論：

1)對于HGV這類高機動目標，充分利用運動學跟蹤模型適應性強和動力學跟蹤模型精度高的特點，建立IMM模型集進行跟蹤是有效的，并且盡可能提高IMM模型集中匹配模型所占的概率，有利于提高跟蹤精度。

2)通過似然函數值調整IMM的轉移概率矩陣，在一定程度上可以提高IMM濾波算法中匹配模型所占的概率，從而提高IMM的性能。因此，相同模型集下，對轉移概率矩陣進行自適應調整的IMM濾波算法跟蹤性能要優于常規IMM濾波算法。

3)HGV跟蹤屬于三維跟蹤問題，充分考慮其各維度機動情況的差異，并在各維度分別進行模型的優化匹配，更接近目標真實機動情況，能夠有效降低跟蹤誤差，提高算法穩定性和精度。