考慮慣性力矩與剪切變形的曲梁面內自由振動微分方程的建立

張智超，宋郁民

（上海工程技術大學 城市軌道交通學院,上海 201620）

曲梁在土木、機械、交通運輸等領域均有應用，因此曲梁的力學特性近年來被學者們廣泛研究.針對曲梁的靜力學研究，目前已發展得較為成熟.同時，近幾十年來工程中的動力學計算逐漸受到人們重視，因此學者們開始關注曲梁的動力特性研究[1?4].

在直梁條件下，根據Timoshenko 理論目前已建立系統的考慮慣性力矩與剪切變形影響下的振動微分方程得知，對于細長梁而言，慣性力矩與剪切變形的影響可以忽略不計.然而對于深梁，即高跨比較大的梁而言，忽略二者則會導致計算結果誤差較大.考慮到直梁條件下建立的計入慣性力矩與剪切變形影響下的振動微分方程，而曲梁是直梁的一般情況，因此本研究將二者影響考慮至曲梁振動微分方程的建立之中.

針對曲梁動力學研究，宋郁民等[5?6]在Euler梁模型下，即不考慮慣性力矩與剪切變形條件下的圓弧曲梁振動微分方程的推導，同時采用假定振型函數的方法對上述微分方程進行求解.基于上述研究，本研究在已有的Euler 梁曲梁模型下依據Timoshenko 理論[7]，計入慣性力矩與剪切變形，建立曲梁面內自由振動微分方程，推導并整理完成曲梁面內橫向彎曲自由振動微分方程、面內軸向自由振動微分方程.方程未計入阻尼影響，且具有一般性，具體邊界條件隨梁的固定形式不同而不同.

參考直梁條件下振動微分方程，曲梁振動微分方程推導需建立幾何變形協調方程與內力平衡方程，通過結構變形與內力關系將二者聯立.本研究中，符號定義如下：m為 單位長度的質量；Jm為轉動慣量；ρ為單位體積的質量；J為截面極慣性矩；E為楊氏模量；I為截面慣性矩.

1 坐標系及正方向規定

1.1 坐標系規定

曲梁平面圖如圖1 所示.取圓弧微段AB，其圓心角為dα，坐標系采用三維空間直角坐標系.x軸為圓弧切線方向，對應位移為u；y軸為指向圓心圓弧法線方向，對應位移為v；z軸為鉛垂向下圓弧法線方向，對應位移為w.

圖1 曲梁平面圖Fig.1 Plan of the curved beam

1.2 正方向規定

參考材料力學，對內力與變形正方向做如下規定：

1）軸力與軸向變形以受拉為正；

2）轉矩與扭轉角采用右手法則，即右手拇指指向離開截面時，四指方向為正；

3）剪力以所選梁段任意一點的矩為順時針轉向時為正，彎矩以使曲梁內側（面外變形）、下側（面外變形）受拉為正；

4）與正向彎矩使曲梁變形方向一致，面內撓度（v）以指向圓心方向為正，面外撓度（w）以垂直向下為正；

5）與正向彎矩使曲梁變形方向一致，曲率平面內彎曲應變（繞z軸的κz）以使曲梁內側受拉為正，面外彎曲應變（繞y軸的 κy）以使曲梁下側受拉為正.

2 曲梁幾何變形協調方程

2.1 不計剪切變形曲梁幾何變形協調方程

不計剪切變形曲梁幾何變形協調方程[8]為

式中：εx為面內—軸向應變；κz為面內—繞z軸曲率（曲梁面內橫向彎曲）；κy為面外—繞y軸曲率（曲梁面外橫向彎曲）；κx為面外—繞x軸曲率（曲梁面外縱向扭轉）；φ為扭轉角.

2.2 計入剪切變形曲梁幾何變形協調方程

式中：γ為剪切角；y為彎曲撓度；為撓曲線傾角；θ為截面彎曲轉角；G為剪切模量；A為截面面積；k為考慮截面上剪應力分布不均勻的修正系數.因式(1)不再適用，根據式(2)對式(1)進行調整，得到計入剪切變形曲梁幾何變形協調方程為

式中：γy為y方向剪切角，γz為z方向剪切角.根據式(2)可得y軸、z軸方向剪力為

觀察式(4)可得，計入剪切變形對面內與面外彎曲變形方程造成影響.觀察式面外—繞x軸曲率，倘若為直梁，則計入剪切變形并不會影響扭轉變形方程，由于曲梁中彎扭耦合（即彎曲與扭轉變形相互影響），因此計入剪切變形后間接影響了扭轉變形幾何協調方程.

3 曲梁內力平衡方程

曲梁微段內力圖如圖2 所示，圓心角為dα.

圖2 曲梁微段內力圖Fig.2 Graph of curved beam segment internal force

在x軸與y軸方向，微段兩端的內力均不在同一3 維坐標系內.因此需統一坐標系，即將左端內力進行坐標變換，再建立內力平衡方程.坐標變換矩陣S為

通過上述矩陣將微段左端點內力進行坐標變換，使其與右端點內力坐標系相統一.具體步驟為左端內力行向量右乘坐標變換矩陣，由于曲梁微段圓心角dα極小，因此在計算時有cosdα≈1，sindα ≈dα，可得坐標變換后內力行向量為

式中：T為繞x軸扭轉扭矩；My為繞y軸彎曲彎矩（面外橫向彎曲彎矩）；Mz為繞z軸彎曲彎矩（面內橫向彎曲彎矩）；N為x軸方向軸力.

根據坐標變換后內力行向量與微段右端內力列出曲梁內力平衡方程，其中，慣性力與慣性力矩方向同結構動力學保持一致，根據是否計入慣性力矩得出如下結果.

1) 不計慣性力矩曲梁內力平衡方程

化簡得

式中：m為單位長度的質量.

化簡得

4 曲梁面內振動微分方程推導

4.1 面內橫向彎曲振動微分方程推導

考慮慣性力矩與剪切變形時建立面內橫向彎曲振動微分方程，需聯立內力平衡方程可得

材料力學中內力與變形關系為

式中：E為楊氏模量.

將式(4)代入上式（為方便后續計算，幾何變形協調方程取至彎曲轉角θ），得

聯立方程需剪切角 γ、撓度y（此小節撓度為v）、截面彎曲轉角 θ三者關系式及剪切角 γ與剪力Q關系式.將式(3)代入式(2)后，兩端對x求一階導數，得

撓度為v，轉角為 θz，剪力為Qy時，經整理可得

將內力平衡方程即式(7)代入式(14)，可得

將式(11)代入式(15)，可得

式(8)兩端對x求一階導數，可得

將式(7)代入式(17)，得

將式(11)、式(12)代入式(18)，可得

將式(16)代入式(19)，可得

整理得曲梁面內橫向彎曲振動微分方程為

4.2 面內軸向振動微分方程推導

式(22)兩端對x求一階導數，可得

將式(23)代入式(24)，可得

將式(11)代入式(25)，得

整理得曲梁面內軸向振動微分方程為

5 方程退化特例

由于直梁為曲梁特殊情況，Euler 梁為Timoshenko 梁特殊情況，因此可通過參數調整進行方程退化.

1）當曲梁半徑趨向于 ∞時，曲梁振動微分方程與直梁振動方程一致.此時將式(21)中曲梁半徑R設置為 ∞，公式為

式(21)退化為Timoshenko 梁條件下直梁橫向彎曲振動微分方程[7]，即式(28)，從而初步驗證了方程的正確性.

同理，將式(27)中半徑R設置為 ∞，公式為

式(27)退化為直梁軸向振動微分方程[7]，即式(29)，從而初步驗證了方程的正確性.

2）當曲梁剪切模量G趨向于 ∞，曲梁轉動慣量ρIz設置為0 時，方程將不考慮剪切變形與慣性力矩的影響.Timoshenko 梁條件下曲梁振動微分方程將與Euler 梁條件下曲梁振動方程相一致.因此將式（21）中剪切模量G設置為 ∞，曲梁轉動慣量ρIz設置為0，方程式為

式(21)退化為Euler 梁條件下曲梁面內橫向彎曲振動微分方程[5]，即式(30)，從而初步驗證了方程的正確性.

6 結語

1)參考直梁推導過程，推導建立了曲梁在計入慣性力矩與剪切變形后的面內自由振動微分方程，包括曲梁面內橫向彎曲振動微分方程、面內軸向振動微分方程.

2)在直梁的條件下，計入慣性力矩與剪切變形只會對橫向彎曲振動造成影響.而在曲梁的條件下，由于面內軸彎耦合，從而導致慣性力矩與剪切變形對于面內軸向振動也產生間接影響.

3)通過參數調整，經過方程退化初步驗證了方程的正確性.