四川師范大學數學科學學院 (610068) 紀定春 夏逸天 周思波
伯努利不等式,在高考數學和競賽數學中具有廣泛的應用,但直接運用伯努利不等式顯得有些不太方便,需要將伯努利不等式(1+x)n≥1+nx(其中x>-1,n∈N*,當且僅當x=0時,取等.)變成xn≥nx-(n-1)(其中x>0,n∈N*,當且僅當x=1時取等.)的形式.為了使不等式“xn≥nx-(n-1)”的應用范圍更廣,考慮通過引入參數的方式將其推廣.接下來,將給出該不等式的推廣和應用.
例1 (2019年高考數學理Ⅰ卷23題)設a,b,c為正數,且滿abc=1.證明:(Ⅰ)略;(Ⅱ)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
例2 (2017年高考理科Ⅱ卷23題)已知a>0,b>0,a3+b3=2,證明:(Ⅰ)略;(Ⅱ)a+b≤2.
例5 已知正實數x,y,z滿足x2+2y2+3z2+4w2=100,求xy+xz+xw+yz+yw+zw+x+32y+83z+154w的最大值.
通過上述對伯努利不等式的推廣和應用,可以發現,引入參數能夠起到簡化運算的效果,可以將高次的冪不等式問題轉化成次數較低的冪不等式問題來解決,這極大的降低了高次不等式的證明難度.其中,對參數形式的伯努利不等式tn≥n·λn-1t-(n-1)λn,可以根據其取等號的條件“λ=t”,確定參數λ的值,進而達到恰當放縮不等式的目的.