借助經典模型 模擬試題命制

福建省德化第一中學(362500) 吳志鵬

高考試卷中有許多經典題目,這些題目之所以能夠成為“經典”,在于其能夠成為后續教與學的好幫手,為后續的教與學起到良好的示范作用,不僅如此,經典的高考試題對于試題的命制也有著很好的啟發作用, 為命制試題提供依據,命題教師能夠更好地體會經典試題的靈魂與精髓,從中提取模型,熟練掌握命題的原則和技巧,進行試題的命制嘗試,本文以2016年全國卷II 文、理科填空題的第12 題為例,談談如何借助經典高考試題模擬命制高中數學試題.

一、模擬試題命制的程序

借助經典的高考試題進行試題的模擬命制,首先要對高考試題進行詳細的解讀,了解其考查的主要知識點和相關知識點,理解其所蘊含的數學思想、方法,以及核心素養;其次要弄清高考試題的命制手法, 為試題命制提供依據和思路,如下文的引例1、2 首先是利用兩個中心對稱圖象的交點來設計和命制試題;其次要對試題進行改造與變式,把對稱這個特征融入到相應的函數或問題情境之中,對試題的條件或結論進行變更;最后要對所設計的問題進行驗證、完善以保證其科學性與思想性,同時進行難度預測,最終形成符合相關要求的試題.

二、借助經典,提取模型

引例1(2016年高考全國II 卷理科第12 題)已知函數f(x) (x ∈R)滿足f(?x) = 2?f(x),若函數y=與y=f(x)圖像的交點為(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym), 則=( ).

A.0 B.mC.2mD.4m

解函數f(x)(x ∈R)的圖象與函數y=的圖象均為中心對稱圖形,且對稱中心均為(0,1),則兩圖象相應的交點也會關于點(0,1)對稱且對稱中心不在函數圖象上,所以交點必為偶數個, 則m為偶數, 有×0 = 0,0+m=m.

引例2(2016年高考全國II 卷文科第12 題)已知函數f(x)(x ∈R)滿足f(x)=f(2?x),若函數y=|x2?2x?3|與y=f(x)圖像的交點為(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym),則=( ).

A.0 B.mC.2mD.4m

解因為函數y=f(x) 的圖像關于直線x= 1 對稱,y=|x2?2x ?3|=|(x ?1)2?4|, 其圖像關于直線x= 1 對稱.所以它們圖像的交點也關于直線x= 1 對稱.當m為偶數時,=m; 當m為奇數時,+1=m.故選B.

對比引例1 和2 的兩道試題,不難發現試題均給出兩個具有自對稱圖象的函數,其中引例1 給出了兩個具有相同對稱中心的函數, 引例2 則給出兩個具有相同對稱軸的函數,兩個函數圖象相交,結合交點的對稱性,求各個交點橫(縱)坐標和,兩個試題的命制有著“異曲同工”之妙.學生若能熟練從兩類函數(抽象與具體函數)中提取函數圖象的對稱特征,解決問題也就能夠“水到渠成”.同樣的,這樣的一個經典高考試題也給我們平時的數學試題的命制提供一種可借鑒的模型,即構建“兩個具有對稱性的函數圖象相交,求其交點的橫(縱)坐標和”.有了這樣的一個數學模型,我們即可動手實施試題的模擬命制.

三、改造模型,命制試題

1 基本函數模型的選擇

由于試題緣自于兩個具有對稱性(中心對稱、軸對稱)函數的圖象的交點,命制試題可選擇從基本函數的模型入手.

(1) 具體的函數模型關于原點成中心對稱的的一些函數(奇函數)如:f(x) =x,f(x) =x3,f(x) =,f(x) =sinx,f(x)=tanx,關于y軸對稱的函數(偶函數)如:f(x)=x2,f(x)=cosx,f(x)=|x|,f(x)=ln|x|,f(x)=e|x|等.

(2) 抽象的函數模型若函數y=f(x)的定義域為R,且滿足條件f(a+x) =f(b ?x),則函數y=f(x)的圖象關于直線x=對稱,反之亦然.若函數y=f(x)的定義域為R, 且滿足條件:f(a+x)+f(b ?x) = 2c, 則函數y=f(x)的圖象關于點成中心對稱,反之亦然.

2 基本函數模型的改造

對所選取的基本模型進行加工、處理,變換模型的呈現形式,以考查學生直觀想象、數學建模、數學抽象、數學運算等核心素養, 通過改造還可以更好地調整試題的難度系數,以使得試題的命制更科學、合理.以下我們通過構造(1,2)為對稱中心的函數進行說明.

(1) 直接改造由一些具有對稱性的函數圖象經過平移、伸縮和對稱等變換, 其對稱性保持不變這一性質, 所以可通過這樣的一種方式對一些具有對稱性的基本函數作一定的改造: 將奇函數y=圖象向右平移一個單位, 再向上平移兩個單位得y=此時, 所給的函數f(x) =的圖象便是關于點(1,2)成中心對稱.又如選取奇函數y=x3作為基本函數, 通過同樣的平移變換則可得函數y= (x ?1)3+2 =x3?3x2+3x+1,這樣函數f(x) =x3?3x2+3x+1 圖象的對稱中心也是點(1,2).對于抽象函數, 也可利用平移、伸縮等手段對相關模型進行加工、改造.如函數y=f(x)的定義域為R,且滿足f(a+x)+f(b ?x) = 2c, 則函數y=f(x) 的圖象關于點成中心對稱, 反之亦然.我們可作如下改造: 函數y=f(x+1) 關于點(0,2)成中心對稱或是函數y=f(x+1)?2 是一個奇函數;或函數y=f(x)的定義域為R,且滿足條件:f(1+x)+f(1?x) = 4.這樣的改造也是可以獲得函數y=f(x)圖象關于點(1,2)成中心對稱.

(2) 間接改造為使改造后的模型的一種條件更為隱蔽,更好地考查學生的某些方面的核心素養,如運算素養,我們可通過運算公式f(x)+f(2?x)=4 完成模型的改造,如:已知函數為f(x) =此時函數y=f(x)的圖象也關于點(1,2)中心對稱.

3 搭建特定模型,命制試題

完成基本模型的改造之后,我們必須將改造過的兩個函數模型有機地結合在一起、置入背景,融模型于特定的背景之中,搭建出特定的模型,以便更好的對所命制的試題進行科學、合理的呈現,如:

(1) 移植變換構建模型把改造后的基本函數模型移植到經典的高考試題所構建的數學模型之中,這樣就能高效地命制出試題.

選取兩個具體函數模塊進行組合

例1函數y=的圖象與函數y=sinπ(x?1)+2(?2 ≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于( )

A.2 B.4 C.6 D.8

命題思路本題選擇了兩個以(1,2)為對稱中心的具體函數組合命制試題,考查學生轉化函數,奇、偶函數圖象的變換,以及利用對稱性進行求值等知識.

解函數y=的圖象是奇函數y=的圖象向右平移1 個單位再向上平移2 個單位得到的, 圖象關于點(1,2)對稱.函數y= sinπ(x ?1)+2 的圖象是由函數y= sinπx的圖象向右平移1 個單位再向上平移2 個單位得到, 因而函數y= sinπ(x ?1) + 2 的圖象關于點(1,2) 對稱.作草圖可知函數y=的圖象與函數y= sinπ(x ?1)+2(?2 ≤x≤4)的圖象交點共有2 對,每一對交點關于點(1,2)成中心對稱,橫坐標之和為2,故所有交點的橫坐標之和等于4.選B.

例2(將一個抽象函數與一個具體函數進行組合)已知函數f(x)(x ∈R)滿足f(1?x)+f(1+x)=4,若函數y=與y=f(x) 圖像的交點為(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym),則=( ).

A.0 B.mC.2mD.3m

命題思路本題給出了一個有對稱中心的抽象函數和一個具有相同對稱中心的具體函數,結合交點的對稱性求各個交點橫坐標與縱坐標的和,若能熟練從兩類函數(抽象與具體函數)挖掘圖象的對稱特征,則可以順利求解.

解題目所給的抽象函數與具體函數均有對稱中心(1,2), 則相應的交點也會關于點(1,2) 對稱, 所以×4 = 2m, 則=m+2m=3m.選擇D.

例3(對兩個抽象函數加以組合)已知函數f(x)(x ∈R)滿足f(1?x)+f(1+x) = 4,若函數y=g(x ?1)+2 是一個奇函數,函數y=g(x)與y=f(x)圖像的交點分別為(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym),則m∑i=1(xi+yi)=( ).

A.0 B.mC.2mD.3m

命題思路本題給出了兩個有相同對稱中心的抽象函數,求各個交點橫坐標與縱坐標的和,若能熟練從兩個抽象函數尋找出圖象的對稱特征,則可順利求解.(解法同例2,過程從略.)

(2) 逆向變換構建模型把問題的條件和結論進行逆向轉換,由果到因,進行思考與命制試題.

例4已知函數f(x) =x3?3x2+ 3x+ 1, 函數y=g(x+ 1) 關于點(0,2) 成中心對稱, 若函數f(x) =x3?3x2+3x+1 與y=g(x)圖像的交點橫坐標和為3,則兩個函數圖象交點的個數值為( )

A.1 B.2 C.3 D.4

命題思路本題給出了有相同對稱中心的一個抽象函數和一個具體函數,通過逆向變換,把兩對稱函數函數的圖象交點的橫(縱)坐標值的和,判斷兩函數圖象交點的個數或轉化成求函數零點的個數或轉化求解方程的根的個數等問題.建構模型即給出交點縱坐標的和,求交點的個數.

解由于三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a ?=0)的圖象的對稱中心為這點恰為三次函數的拐點(凹凸分界點).本題利用三次函數對稱特征構造出對稱中心為(1,2)的函數,y=g(x)的對稱中心也是(1,2),交點橫坐標和為3,說明兩函數圖象有三個交點,其中對稱中心也是兩函數圖象的一個交點.

(3) 類似變換構建模型通過類比知識內容、遷移解題思路、方法等變換構建相似的模型,命制試題進行考查.

例5已知函數f(x) =x2?2x+ae|x?1|有唯一零點,則a=( ),

命題思路將具有對稱中心的函數變換為軸對稱函數的進行對稱函數模型的構造,并利用其函數圖象交點的對稱性進行問題的設計、命制試題,利用類似變換,構建模型,命制試題也是教師平時命題常用的一種手法.

解令g(x) =x2?2x,h(x) =ae|x?1|, 則 函 數f(x) =g(x) +h(x).由于函數g(x)、h(x) 的圖象均關于直線x=1 成軸對稱,因而函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱.又因為函數y=f(x)有唯一零點,所以必有f(1)=0,解得a=1,所以選D.

(4) 弱(強)化條件構建模型加強條件與弱化條件是利用模型命制試題常用的兩種方法,通過弱(強)化題目所給的條件增加或降低試題的難度,使它適合不同層次的學生.

例6設函數f(x) = (x ?1)2sin(x ?1) + 2 在區間[?1,3]上的最大值和最小值分別為M,m,試確定M+m的值.

命題思路把兩個具有對稱中心的函數的交點改造成為一個有對稱中心的函數圖象在某個對稱區間的最大值與最小值的和,通過弱化條件進行試題的改造,有時也可收到意想不到的效果.

解因為函數f(x) = (x ?1)2sin(x ?1)+2 的圖象可以看作是函數g(x)=x2·sinx的圖象向右平移1 個單位,再向上平移2 個單位而得到的,由于g(x)是奇函數,關于原點成中心對稱,所以f(x)的圖象關于點(1,2)成中心對稱,圖象的最高點與最低點也關于點(1,2)對稱,所以M+m=4.

例7已知函數為f(x)=的值為( )

A.2019 B.2020 C.4039 D.4040

命題思路給定一具有對稱中心(1,1)的函數,把兩個函數弱化為一個函數,通過對結論的設計,利用對稱的性質進行求解計算,通過條件弱化進行試題的改造,所以這些更見教師命制試題的功底和能力.

解因為f(x)+f(2?x) = 2,其圖象關于點(1,1)成中心對稱,即f(x)+f(2?x)=2,從而有

所以

故選C.

四、加強驗證,完善試題

科學性和思想性是評價試題命制好壞的一個很重要標準.試題的科學性要求試題合理、完整,經得起“推敲”,做到零失誤.在命題過程中,除了要保證文字、符號、標點和圖表準確無誤之外,更要從不同角度運用邏輯推理的方法進行多次推理、演算,以保證結論的存在性和正確性.盡最大可能地保證試題命制的科學性,杜絕技術性錯誤的產生.試題思想性則是一道題目是否能夠成為經典之作,是否具有一定的啟示性,是否成為“好題”的關鍵.為此,要求命題者要給試題注入數學思想,讓數學思想溶解于試題的情境中.如本文所羅列的高考試題和其變式問題,其函數解析式均具有對稱的特征,融入了對稱的數學思想,而使得試題的意境優美而富有活力.顯然借助經典的高考試題是試題命制作的一種手段,也是高效的.試題模擬命制完成之前,可借助學生和同行的解答以保證試題的完整性和科學性,不出現漏洞;也可以借助說題這種教研形式進行試題的深度研究,以達到數學思想性的要求.

試題的命制方法有很多,“經典”的高考試題是教師平時命制試題的“源泉”,充分提取高考試題的模型,通過植入變換、逆向變換、類似變換、數形變換、幾何變換、弱(強)化條件等方法進行試題的命制嘗試,充分體驗高考經典試題的命制手法,靈活模擬試題的命制,應該成為教師教學的一項基本功,也一定會為教師的教育教學帶來良好的收益.