基于綜合難度系數模型的高考數學試題評價研究
——以2019和2020年高考理科數學全國Ⅱ卷為例

四川師范大學數學科學學院(610000) 徐思迪 張 紅

一、引言

2014年《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》的頒布,標志著新一輪考試招生制度改革全面啟動[1].隨著高考改革的逐步深化,社會各界對教育不斷重視,大眾對高考也愈發關注.在2019年6月《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》中強調要深化考試命題改革,提高命題質量,優化考試內容,科學設置試題難度[2].《2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱》及《2020年普通高等學校招生全國統一考試大綱》明確提出數學應用問題難度要符合考生的水平,兼顧試題的基礎性、綜合性和應用性[3].

數學高考難度一直以來是教師、學生、家長關注的焦點,數學高考也是數學課程的重要組成部分,直接反映數學課程的內容,成為教學的導向.同時也是評價學生獲得數學知識的指標.數學高考題的質量不但影響著數學課程的質量及水平,而且也是影響數學教育質量的重要因素.因此,對于高考試題的難度分析,有助于優化試卷內容,科學設置試題,提高命題質量;也能幫助一線教師更透徹地分析試卷,明晰高考試卷的變化趨勢,提高教學質量.

筆者借助綜合難度系數模型以2019 和2020年高考理科數學全國Ⅱ卷為研究對象,通過科學統計和分析,在技術層面對試卷做出較為科學的解析以供參考.

二、綜合難度系數模型

綜合難度系數模型來源于Nohara(2001)提交給美國國家教育統計中心的工作報告,報告中對NAEP2000、TIMSSR、PISA2000 進行比較, 首次提出了總體難度(Overall difficulty)的概念[4].其中涉及“擴展性問題”、“實際背景”、“運算”、“多步推理”四個難度因素[5].國內學者鮑建生通過對平均難度的不足進行分析.以Nohara(2001)模型作為藍本,根據我國具體特點進行調整, 保留原模型的“背景”、“運算”、“推理”三個因素,取消“題型”因素,用“知識含量”、“探究”取而代之,在這一模型下各因素的劃分如表1 所示[6].

表1:難度因素劃分水平)高考文科數學全國卷選填題考查狀況分布

為了對每個因素的難度水平進行量化,研究者須對不同難度因素中的不同水平賦予一定的權重系數,對不同的水平由低到高按照1,2,3,4 進行賦值,作為權重.如“知識含量”有三個水平,它們的權重分別為1,2,3,再根據具體情況對試題的各個難度因素進行編碼,最后利用下列模型進行計算:

其中,di依次分別表示“探究”“背景”“運算”“知識含量”和“推理”五個難度因素上的取值;dij為第i個難度因素的第j個水平的權重(依水平分別取1,2,3,....) ;nij表示這組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數,它的總和等于這組題目的總數n[7].根據統計分析結果得到綜合難度系數雷達圖.

綜合難度系數模型是一種利用等級權重來測量和比較難度的研究方法,在教材比較中運用的較為廣泛,如鮑建生學者對中英兩國初中數學期望課程的難度比較研究,給我國數學課程改革提供有價值的參考建議.朱婭梅利用綜合難度系數模型對中美初中數學教材綜合難度做比較研究,總結出中國教材可以從美國教材編寫中得到的啟示.然而綜合難度系數模型在試卷難度的比較分析中應用較少,與綜合難度系數模型相關的試卷分析有: 張玉環等人運用綜合難度模型從國際視野中審視中國高考,并提出新高考的命題建議;鄧振江通過綜合難度系數模型對2015-2016年數學試題進行分析對2017年的備考提出建議;武小鵬等人根據高考數學試題,對綜合難度系數模型進行改進,在原模型中加入思維方式和有無參數,并對各因素的水平按照高考題目做詳細的界定和準確的劃分,使得模型與高考試卷更加切合.

本研究保留鮑建生的綜合難度系數模型中的“推理”、“知識含量”兩個因素, 在“運算”因素上, 由于數學試題基本涉及到運算,有數值和符號等不同的運算形式,故將鮑建生提出的“無運算”“數值運算”、“簡單符號運算”及“復雜符號運算”四個水平劃分為“無運算”、“簡單數值運算”、“復雜數值運算”“簡單符號運算”“復雜符號運算”五層水平.在“是否含參”因素上完全采用武小鵬等人的劃分,將“是否含參”劃分為“無參數”和“有參數”兩個水平.由于試卷中解答題分值占比較高,同時,一道數學解答題包含多個小問題,然后,不同的小問題之間有的相互聯系,有的單獨成立, 則會出現遞進的梯度形式.因此, 對于解答題, 增加“梯度”因素.將“梯度”因素劃分為兩個水平分別為“問題單獨成立”“問題間互相關聯”.

依據上述模型對是否含參、運算水平、推理能力、知識含量、認知水平、梯度六大因素進行編碼,以下圖表為不同因素不同水平的內涵及權重[7]如表2 所示,這里將選用調整后的模型對2019 和2020年高考理科數學全國Ⅱ卷進行分析.

表2:綜合難度系數模型各因素權重及內涵

復雜推理32 2推理涉及復雜關系的解析和多種變化,一般在3 步以上知識含量4單個知識點41 1圍繞一個單元展開,不涉及跨章節和跨學科的知識兩個知識點42 2根據學科單元,涉及不同的兩個知識參與大于等于3 個43 3包括3 個及以上的知識點,可能涉及到跨章節和跨學科知識認知水平5理解51 1涉及到數學概念或者原理的理解運用52 2能夠將數學概念或原理應用到具體的情境中分析53 3在復雜環境中找到問題解決路徑,并對結果進行解釋梯度6問題互不干擾61 1解答題各小問題互不干擾,獨立設置問題間互相關聯62 2解答題各小問題相互關聯,有一定的梯度

三、2019-2020年高考理科數學全國Ⅱ卷統計分析

本研究選取了2019 和2020年高考理科數學全國Ⅱ卷為研究對象,基于更改后的模型對試卷從“是否含參”、“運算水平”、“推理”、“知識含量”、“認知水平”、“梯度”這六個因素進行分析.

根據表1、表2 的定義對2019、2020年兩套試題進行賦值編碼.例如2020 高考理科試題全國Ⅱ卷第6 題、第10 題,2019年高考理科試題全國Ⅱ卷第8 題、第10 題,可編碼如下:

例1(2020 高考全國Ⅱ卷理科第6 題) 數列{an}中,a1= 2,am+n=aman, 若ak+1+ak+2+···+ak+10=215?25,則k=

A.2 B.3 C.4 D.5

此題屬于有參數、簡單符號計算、簡單推理、知識含量有兩個知識點、運用類試題.

例2(2020年高考全國Ⅱ卷理科第10 題)已知?ABC的面積為的等邊三角形,且其頂點都在球O的球面上,若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為

此題屬于無參數、復雜數值計算、復雜推理,知識含量三個及以上,分析水平的試題.

例3(2019年高考全國Ⅱ卷理科第8 題) 若拋物線y2= 2px(p ＞0)的焦點是橢圓= 1 的一個焦點,則p=

A.2 B.3 C.4 D.5

此題屬于有參數、簡單符號運算、簡單推理、知識點為三個以上、運用水平的試題.

例4(2019年高考全國Ⅱ卷理科第20 題) 已知函數f(x)=lnx ?

(1)討論f(x)的單調性, 并證明f(x)有且僅有兩個零點;

(2)設x0是f(x)的一個零點, 證明曲線y= lnx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

此題屬于有參數、簡單符號運算、復雜推理、知識含量三個以上、分析水平、問題單獨成立互不干擾的試題.

上述例題可根據表2 中的各因素權重編碼表如下所示:

表3:例題難度系數編碼表

按照表2 中的編碼的各因素權重與內涵對2019年和2020年的兩套高考試卷進行了編碼,其中綜合難度系數按照公式(1)計算得到.最終形成原編碼數據表(略),通過計算統計得到表4.

表4:2019 和2020年高考理科數學全國Ⅱ卷綜合統計

認知水平理解5 10 16.67%31.25%2.13 2.13運用16 8 53.33%25.00%分析9 14 30.00%43.75%梯度問題互不干擾3 4 42.86%57.14%1.57 1.43問題相互聯系4 3 57.14%42.86%綜合難度系數11.46 11.59

四、各難度因素的特征分析

根據表4 的統計結果,下面將以2019年和2020年高考理科數學全國Ⅱ卷的不同難度因素水平進行比較分析,以此為基礎對高考考察的側重點進行說明,最后利用綜合難度模型雷達圖做整體分析.

1.是否含參因素

根據統計表4, 按照是否含參因素中“無參數”、“有參數”兩個水平各自所占的百分比繪制折線圖如圖1 所示.

圖1

在是否含參因素方面, 2019 和2020年無參數題目占比分別為56.67%、53.13%.有參數題目占比為43.44% 和46.87%.參數作為數學學科符號考察的方面,在高考題目中層出不窮.就這兩年的試題而言,2020年有參數的題目數量多于2019年的題目數量.說明2020年高考理解相對抽象,題目難度加大.

2.運算水平因素

根據統計表4,按照無運算、簡單數值運算、復雜數值運算、簡單符號運算、復雜符號運算五種水平各自所占的百分比繪制折線圖如圖2 所示.

從上圖可知,高考試題對于運算的考查較為全面,從無運算到復雜符號運算均有所涉及到的題目.就試題各自比例而言,2019年簡單數值運算考查相對較多,2020年的考查較為均勻,比例相當.體現出高考試題對能力考查兼顧試題的基礎性、綜合性和應用性[3].也體現出不同學生有不同的能力發展的理念[8].就這兩年的試題而言,在運算難度因素方面,2020年的試題對考生的運算水平要求相對較高,計算難度偏大.

圖2

3.推理能力因素

統計顯示,2019年和2020年全國高考理科全國Ⅱ卷.按照簡單推理、復雜推理兩個水平按照所占百分比例繪制折線圖如圖3 所示.

圖3

在推理因素方面,2019 和2020年在簡單推理題目占比分別為66.67%、43.75%.復雜推理題目占比分別為33.33%、56.25%.從試題分布來看對于推理論證能力和抽象能力的考查貫穿于全卷, 說明推理能力是高考試卷能力考察的重點,并強調高考試題具有科學性、嚴謹性、抽象性的特點,這與全國統一考試大綱相互呼應[3].就這兩年試卷而言,2020年復雜推理方面的題目數量多于簡單推理題目數量,復雜推理題目比例遠高于2019年的比例.說明2020年的試題對學生的推理能力要求更嚴,標準更高.

4、知識含量因素根據統計表4,按照知識含量的三個水平,按照所占百分比例繪制出折線圖,如圖4 所示.

從統計表和圖4 中,我們可以看到,高考試卷在知識含量方面,多以三個及以上的知識點為主,體現出高考試卷知識點考察的綜合性.對于數學知識點的考察,既全面又突出重點.從試題分布方面來說,解答題主要是多個知識點的結合.對于高中教師說,在教學中應注重學生知識的遷移,關注不同章節不同學科多個知識點的聯系和應用.在原有知識的基礎上進一步加深拓展,逐級深化.就這兩套試卷比較而言,知識含量基本相當,沒有明顯的差別.

圖4

5.認知水平因素

根據統計表4,對認知水平因素方面的理解、運用、分析三個水平各自所占百分比例繪制折線圖如圖5 所示.

圖5

從上圖可知,兩套試卷在認知水平上都很注重理解、運用、分析這三個方面,不同認知水平的在試題中均有涉及,一定程度上體現了高考在認知因素考查上的全面性.從全卷試題分布來看,分析類題目多以解答題為主,選擇題與填空題主要是理解與運用類,體現出高考試題的層次性.就試卷比較而言,2019年和2020年的試卷對于認知因素側重不同,在分析水平的考察上,2020年明顯高于2019年,對學生在復雜問題情境中尋找到解答途徑的能力要求更高.因此,就認知水平方面,2020年的試卷難度明顯高于2019年試卷.

6.梯度因素

梯度因素的統計結果見圖6 所示.

由圖6 可以看出,2019年和2020年全國高考理科全國Ⅱ卷在“梯度”因素方面存在著明顯的差異,2019年的解答題中體現著“問題互不干擾”層次的題目比例低于2020年的試題,但,2019年屬于“問題間相互聯系”水平的題目所占比例高于2020年的試題,約高出14.28%.從梯度因素方面來看,2019年試題在解答題方面較2020年,小問題之間的關聯更大,對學生的提出了更高的要求.

圖6

7.綜合難度系數分析

根據“是否含參”、“運算”“推理”、“知識含量”、“認知水平”、“梯度”這6 個因素在試題中的分布,為了進一步考察兩卷的難度,對2019年和2020年全國高考理科數學全國Ⅱ卷不同因素不同水平的題目進行統計.利用綜合難度系數計算公式(1)計算出各個因素的加權平均,得到以下結果如表5.

根據上表得到綜合難度綜合難度雷達圖,如圖7 所示.

圖7

根據圖7 和表5,兩套試題在是否含參、認知水平、運算水平、知識含量、推理能力、梯度這六個因素中,程度相當.在一定程度上, 說明了高考試題在考察數學基礎知識的基礎上,不僅注重數學方法的考察同時也注重考察數學能力,并呈現出在基本能力考察上的穩定性和一致性.在表5 中,可以看出2020年的總難度系數為11.59,2019年總難度系數為11.46.在雷達圖的整體態勢來看,2019年的考題在六個因素上,相對平衡; 在2020年的試卷上,強調考察學生的運算水平.因此,就兩套試題而言,2020年試題在部分因素難度系數相對較大,難度相對較高.

需要說明的是,2019年和2020年的試題在試題數量和分值上有差異,分析可能會出現一些偏差.由于不同學生數學學習能力有差異性,針對同一試題,對于不同學生難度也不盡相同,因此綜合難度系數只是一個理論值.

五、結論與啟示

根據分析結果,我們發現,2020年高考理科數學全國Ⅱ卷的難度較2019年穩中求變,難度略有升高.兩份試卷突出考察學生的運算能力,并且知識綜合性較強.綜合分析圖表得到高考試題的以下特點.

(一)具有穩定性和全面性

在高考試卷中,對于是否含參、運算、推理、知識含量、認知水平、梯度方面的難度系數中趨于穩定,在卷面布局方面均以22 道必做題與1 道選做題組成,說明試卷布局穩定.在解答題方面以高中數學課程重點章節為主要考察對象,如三角函數、數列、函數、解析幾何、立體幾何,說明考察要點穩定.在客觀題部分,考查基礎知識的基礎上,注重數學思想方法、數學能力的考查.從試卷總體來說,試題兼顧了基礎性和綜合性.從知識含量角度來看,內容分布均衡,問題多樣化,既全面又突出重點,對于支撐學科知識體系的重要內容占有重要的比例,同時知識考察內容豐富而全面,具備全面性的特征.

(二)運算性與抽象性并舉

運算求解能力是思維能力和運算技能的結合[1].統計數據表明,高考數學試題在“運算”因素的考察上,不僅有傳統的簡單數值運算,也有相當數量的符號運算.在客觀題方面,數值運算居多,解答題方面多以符號運算與復雜數值運算為主.這充分說明高考試卷突出考察學生運算能力.就兩套試卷而言,2019年和2020年的試卷在運算因素上,2020年試題計算量增多,對學生運算能力要求更高,試卷難度更大.

在推理因素方面,不僅有清晰的簡單邏輯推理也有復雜的邏輯推理.符合課程標準中的讓不同學生有不同的發展的要求.2020年試卷在推理因素上的難度系數明顯高于2019年,這說明試卷對學生的邏輯推理能力有更高的標準.因此,高考試卷一定會考察學生的基礎運算能力,還會要求學生根據問題條件從大量的數據中抽選出有用信息,進行合理的推斷、分析,選擇快捷的運算途徑,最終得出結果.高中教師在日常教學工作中,要注重對學生推理、歸納、總結的能力的培養,讓學生習慣于對數學公式進行推導,體會數學的公理化體系.

(三)兼顧綜合性和系統性

數學學科的系統性和嚴密性決定了數學知識之間深刻的內在聯系,包括各部分知識的縱向聯系和橫向聯系[3].解答題方面尤其注重在知識網絡的交匯點處設計試題,對知識點進行綜合考察,使得對數學基礎知識的考察達到必要的深度.試題不但系統性地考察學生的數學思想、邏輯推理、運算能力,而且讓學生洞察到數學學科的美麗與全貌,因而,高考試題中的綜合性和系統性特點不容小覷.

基于以上研究,建議命題者在優化試題結構,科學合理命題的同時,充分利用綜合難度系數模型對試卷做難度預測,并對每個題目進行深層次的分析與評價,準確把握試卷難度,從而使考題設置科學合理,努力實現考察數學綜合素養的要求.