考慮壓-彎-扭耦合作用的開口截面桿件非線性靜力模型

趙 云 丁 敏 韓盛柏 曹瓊瓊，2 蔣秀根*

(1.中國農業大學 水利與土木工程學院，北京 100083；2.鐵總服務有限公司，北京 100844)

溫室是現代農業生產中應用最為廣泛的設施之一[1]。檁條是日光溫室、連棟塑料溫室、文洛型溫室等溫室結構中的縱向支撐構件，其受力變形情況比較復雜：一方面承受屋面重力荷載，產生彎曲及扭轉位移；另一方面承受縱向風荷載，產生軸壓變形；同時，由于雨水、雪水及溫室室內高溫高濕條件下大量水蒸汽上升形成的冷凝水均需集收及排出，溫室內部檁條及檐口處天溝一般采用開口截面，以便集水排水，而開口截面桿件在壓彎扭共同作用下存在復雜的翹曲扭轉；另外，溫室結構中的檁條通常為長細比較大的實腹開口截面直梁[2]，其截面形心與剪切中心常不重合，縱向失穩現象嚴重。作為溫室結構中除主拱架之外最重要的結構構件[3]，檁條的強度及穩定安全性對溫室結構整體安全性及穩定性分析具有重要意義。

目前對溫室結構的研究多從溫室光照、溫度、濕度等環境因子角度出發，對溫室結構力學性能的研究相對較少，溫室結構設計及分析缺少完整和系統的行業及國家標準。已有研究大都選擇利用ANSYS等有限元分析軟件，在考慮特定影響因素的前提下，通過建模計算對溫室結構在正常使用條件及典型災害下的承載力情況進行分析[4-8]。然而，對于溫室結構穩定承載力的研究多以整體結構為研究對象，對單個構件的受力變形特征及失穩分析的研究很少。因此，提供一個能夠用于壓彎扭組合荷載條件下，檁條幾何非線性內力、變形、分岔失穩及極值點失穩的通用分析計算模型十分必要。

對溫室結構中開口截面檁條，可按壓-彎-扭耦合作用桿件進行內力、位移及穩定分析。對于壓彎扭耦合作用桿件，已有研究在考慮特定影響因素的前提下提出了基于不同假定及側重點的分析理論,對壓彎扭耦合作用桿件的受力、位移及變形的基本特征進行闡述并給出失穩荷載等關鍵數據的計算方法[9-16]。然而，對于壓彎扭耦合作用桿件的研究至今沒有完善的理論體系，已有研究提出的分析理論及計算模型未綜合考慮翹曲、大位移及剪切變形影響，勢必對分析的準確性及模型計算精度、計算效率和普適性存在一定影響。

本研究旨在建立考慮壓彎和壓扭二階效應的壓彎扭桿件非線性靜力分析模型，為溫室結構中開口截面檁條的靜力位移和內力以及壓彎、壓扭和彎扭穩定性分析提供依據。

1 基本模型與原理

1.1 模型參數與基本假定

按照右手螺旋法則建立三維坐標系(圖1)：原點為桿件左截面形心，桿件軸線為x軸，向右為正；y軸垂直于桿件軸線，向上為正；z軸服從右手螺旋法則，向前為正。

桿件所受外荷載包括y方向分布力qy，x和z方向分布力矩mx及mz，外荷載與坐標軸方向一致為正；內力包括x方向軸力N、扭矩T，y方向豎向剪力Vy及法向彎矩Mz，z方向豎向彎矩My，當截面外法線方向與坐標軸正向一致時，截面內力與坐標方向一致為正，當截面外法線方向與坐標軸正向相反時，截面內力與坐標方向相反為正；初始內力包括x方向初始軸力N0及初始扭矩T0，y方向豎向初始剪力Vy0及法向初始彎矩Mz0，z方向豎向初始彎矩My0，方向定義與內力相同。

桿件位移包括x方向扭轉角θx；y方向撓度v，豎向彎曲軸線轉角φz，豎向彎曲截面轉角θz，豎向剪切截面轉角γz；z方向撓度w。桿件變形包括x方向扭率κx及y方向豎向彎曲曲率κz。桿件位移及變形方向均為與坐標軸一致為正。

Mz,Vy,T分別為桿件左端法向彎矩、豎向剪力及扭矩；Mz+dMz,Vy+dVy,T+dT分別為桿件右端法向彎矩，豎向剪力及扭矩；mx及mz為x、z方向分布力矩；qy為y方向分布力。

本研究中公式的推導過程基于以下假定：

1)將研究對象視為Timoshenko細長桿，即認為軸線轉角為截面轉角與剪切角之和。

2)采用Volasov約束扭轉模型的基本理論[17]對桿件進行扭轉分析，即認為桿件發生翹曲扭轉時，截面剪應力及正應力同時存在。

3)采用Wanger翹曲模型的基本理論[18]對桿件進行翹曲分析，即認為桿件彎曲和扭轉使得截面各點線位移不同，對應的縱向纖維合力不變、轉角不同。

4)截面及桿件的壓縮、彎曲、剪切及扭轉均服從線彈性模型特征。

5)小變形，小轉角：位移的高次微量為零；同時，對于截面角位移θ，存在sinθ=θ，cosθ=1，tanθ=θ

6)大位移，變形獨立：位移對桿件的平衡條件造成影響，產生二階內力；在計算二階內力時，將初始內力參數看成是與變形無關的常數。

1.2 基本方程與控制方程

壓彎扭桿件的位移控制方程以平衡方程、物理方程及幾何方程為基礎建立，為進行微段隔離體平衡分析建立平衡方程，需對微段二階內力進行分析與計算。

1.2.1微段二階內力原理

在軸壓力、彎矩及扭矩耦合作用下，考慮大位移因素，初內力將產生二階內力，其原理為：

1)微段截面上，撓度增量及扭轉角增量使截面各點產生線位移增量，截面線位移增量導致微段縱向纖維出現轉動增量。

2)微段各纖維的初應力為初內力在截面上的應力之和，包括初始正應力和初始剪應力，而且無論纖維如何轉動，初始應力合力大小及方向保持不變。

3)微段上，由于纖維發生了轉動，盡管纖維上應力總量不變，但纖維發生了切向及法向方向上的應力調整，調整前后的應力差值即為應力增量，應力增量包括初始正應力引起的正應力增量和剪應力增量、初始剪應力引起的正應力增量和剪應力增量。初應力產生的截面二階應力見圖2。

4)微段二階內力即為應力增量在截面上對應的積分。根據產生原理，微段二階內力的計算步驟為：首先對截面點位移進行分析，得到對應微段纖維傾角；然后計算初內力下的截面應力，并進行應力分解，進而求出應力增量；最后將應力增量在截面上進行積分運算，得到對應的微段二階內力。

σ0為初始正應力；τ0為初始剪應力；dx，dφz，dv分別為微段長度、微段軸線轉角及微段撓度增量。

1.2.2截面點位移分析

1.2.3微段二階內力計算

根據二階內力產生原理，結合截面點位移分析結果，將應力增量在截面上積分，可得微段二階內力為：

式中：dΔN,dΔVy及dΔT分別為微段二階軸力，微段二階剪力及微段二階彎矩；τz及τy分別為z方向及y方向剪應力；σN,σMz及σMy分別為軸力、y方向彎矩及z方向彎矩產生的正應力。

1.2.4平衡方程

通過對微段進行平衡分析，建立考慮二階內力的壓彎扭桿件平衡方程。

微段豎向受力合為0，有Vy+dVy+dΔVy+qydx-Vy=0，進一步可寫出豎向力平衡方程為：

(1)

(2)

微段軸向受力合為0，有T+dT+dΔT+mxdx-T=0，進一步可寫出扭矩平衡方程為：

(3)

1.2.5幾何方程及物理方程

幾何方程為：

(4)

物理方程為：

(5)

式中：GId為圣維南抗扭剛度；E1Iw為約束扭轉剛度；EIz為y方向彎曲剛度；GA/μ為剪切剛度。

1.2.6位移控制方程

綜合平衡方程、物理方程及幾何方程，式(1)～(5)，可以得到關于扭轉角與撓度的壓彎扭桿件位移控制方程為：

(6)

(7)

2 位移、變形與內力

2.1 位移

2.1.1位移控制方程的簡化

位移控制方程為關于扭轉角與撓度的4階微分方程，由于不同結構的自由度數不同，為求解微分方程，需保證結構自由度數、微分方程階數、微分方程通解項數、微分常系數數及邊界條件數統一。因此，在不同結構下，需首先對位移控制方程進行階數變換及消元變換。

1)自由扭轉(E1Iw=0，GId≠0)。位移控制方程式(6)和式(7)為：

(8)

(9)

2)翹曲扭轉(E1Iw≠0，GId≠0)。若My0-N0zs≠0，位移控制方程式(6)和式(7)為：

(10)

(11)

若My0-N0zs=0，位移控制方程式(6)和式(7)為：

(12)

(13)

2.1.2位移表達式

對簡化后的位移控制方程式(8)～(13)進行求解，可以得到位移表達式的一般格式。求解式(8)及式(9)，可得自由扭轉時扭轉角和撓度表達式的一般格式。

當N0≠0時：

當N0=0時：

求解式(10)及式(11)，可得翹曲扭轉且My0-N0zs≠0時扭轉角和撓度表達式的一般格式。

當N0≠0時：

當N0=0時：

式中：

求解式(12)及式(13)，可得翹曲扭轉且My0-N0zs=0時扭轉角和撓度表達式的一般格式。

當N0≠0時：

當N0=0時：

特征根可分為實根、虛根、零根及重根，不同類型特征根對應位移表達式中的不同格式項，組合后可得到不同適用條件下扭轉角及撓度表達式通解部分的簡化格式，位移通解的簡化格式見表1。

以扭轉角和撓度表達式為基礎，結合壓彎扭桿件幾何方程式(4)及物理方程式(5)，即可得到豎向軸線轉角φz、豎向截面彎曲轉角θz、豎向截面剪切轉角γz的表達式。

表1 位移通解簡化格式

2.2 變形及內力

以扭轉角和撓度表達式為基礎，結合壓彎扭桿件幾何方程式(4)及物理方程式(5)，即可得到扭率κx、翹曲率κ′x、豎向彎曲曲率κz及扭矩T、彎矩Mz、剪力Vy、雙力矩B的表達式。

3 應用與算例

3.1 計算步驟

采用本研究提出的壓彎扭桿件非線性靜力計算模型進行計算時，首先需明確桿件邊界條件，將其代入壓彎扭桿件位移、變形及內力表達式，求出位移常系數；然后將位移常系數反代入壓彎扭桿件位移、變形及內力表達式，得到對應的物理量方程；最后求出桿件任意位置的位移、變形及內力值。

3.1.1邊界條件

壓彎扭桿件的邊界條件與支座形式直接相關，以鉸支座為例，在桿件兩端支座x=0和x=l處，邊界條件為：扭轉角為零，即θx(0)=θx(l)=0；撓度為零，即v(0)=v(l)=0；雙力矩為零，即B(0)=B(l)=0；豎向彎曲曲率為零，即κz(0)=κz(l)=0。

3.1.2位移常系數求解

根據截面位移表達式及邊界條件，可以得到壓彎扭桿件位移常系數的定解方程為：

Ac+δq=δe

(14)

式中：A為依據各類邊界條件，由桿件特定位置截面各物理量方程的基函數所組成的矩陣；δq為對應特解向量；δe為對應各特定位置截面物理量向量；c為位移常系數矩陣。

由方程式(14)，可得位移常系數的計算公式為：

c=A-1δe-A-1δq

(15)

3.2 算例分析

本研究中，將溫室結構中開口截面檁條抽象為壓-彎-扭耦合作用桿件，因而此處選取典型非完全對稱開口截面桿件，采用本研究提出的計算模型計算其在5種不同荷載工況下的位移、變形及內力，并與文獻[11]中的解析解進行比較，以驗算本研究提出計算模型的適用性及準確性。

由表3可見，采用本研究提出的壓彎扭桿件靜力計算模型，當忽略剪切變形時，在5種荷載工況下，桿件變形、位移及內力計算結果與文獻[11]中解析解完全相同(相對誤差為0)。

考慮剪切變形時，與文獻[11]中解析解相比：工況1，支座扭率減少10.19%，跨中扭轉角減少5.12%，左支座扭矩增加0.73%，說明在集中扭矩荷載工況下，剪切變形不可忽略；工況2，支座扭率增加11.64%，跨中扭轉角增加13.52%，左支座扭矩減少2.47%，說明在分布扭矩荷載工況下，剪切變形不可忽略；工況3，支座扭率、跨中扭轉角及左支座扭矩變化量均在0.005%以下，說明在壓扭荷載工況下，剪切變形可以忽略；工況4，左右支座扭率分別減少2.60%及3.89%，跨中扭轉角減少5.72%，左支座扭矩增加3.31%，說明在彎扭荷載工況下，剪切變形不可忽略；工況5，除右支座扭率增加0.002%外，其余位移結果與文獻解析解完全相同，說明在壓彎扭荷載工況下，剪切變形可以忽略。5種荷載工況下，壓扭及壓彎扭荷載工況下的變形、位移及內力計算可忽略剪切變形影響，而集中扭矩、分布扭矩、彎扭荷載工況下的變形、位移及內力計算則不可忽略剪切變形影響。

計算結果表明，本研究得到的壓彎扭桿件非線性靜力計算模型可用于溫室結構中開口截面檁條在任意荷載工況組合條件下的變形、內力及位移計算。同時，與文獻[11]相比，本研究計算模型考慮了剪切變形的影響，計算結果更為精確合理。

表2 桿件承受的荷載工況

表3 不同荷載工況下桿件內力、變形及位移計算結果Table 3 Calculation results of internal force, deformation and deflection of the bar under different load cases

4 結束語

1)本研究在分析壓彎扭桿件二階內力的基礎上，考慮了壓-彎-扭耦合作用、約束翹曲、剪切變形等因素，建立了桿件微段隔離體平衡方程，結合幾何方程及物理方程，推導出關于扭轉角和撓度的位移控制方程，獲得了壓彎扭桿件非線性內力、位移及變形計算模型，并給出其計算步驟。

2)本研究提出的壓彎扭桿件靜力計算模型可適用于溫室結構中開口截面檁條在任意荷載工況組合條件下的變形、位移及內力計算，計算結果準確可靠。

3)在溫室結構開口截面檁條變形、位移及內力計算中，剪切變形的影響不可忽略。