基于隱函數導數法的雙基弧形陣列SAR二維頻譜及成像算法

黃平平 李 凱 徐 偉 譚維賢 高志奇

(1. 內蒙古工業大學信息工程學院, 內蒙古呼和浩特 010051;2. 內蒙古自治區雷達技術與應用重點實驗室, 內蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

合成孔徑雷達(Synthetic aperture radar, SAR)由于其全天時、全天候工作的能力,在軍事和民用領域得到了廣泛的應用[1]。但是,傳統的線性陣列雷達只能對陣列單元前方區域進行單一視角觀測,不能對大視角大場景區域進行感知。針對其在廣域觀測中的不足,一種基于弧形陣列天線的SAR成像系統被提出,與線性陣列成像方式相比,其具有大視角的觀測能力[2-9]?；⌒侮嚵蠸AR(Arc array SAR)通過在方位向上沿圓弧向布置的天線陣元實現了弧形孔徑合成,其指向沿圓弧逐漸移動,既能實現孔徑合成,又能擴大陣列向成像觀測范圍。但是,傳統的單基弧形陣列SAR的發射機與接收機被放置在同一平臺,這不僅使雷達很容易于被探測到,也影響了其目標探測與識別的能力。

雙基SAR(Bistatic SAR)克服了傳統單基SAR的不足,在這種模式下,雷達的發射機和接收機被安置在兩個不同的平臺,減少了接受機和發射機系統復雜度,設備安裝也更為簡單,還能提供更多目標雙基地反射率中包含的附加信息[10-18]。雙基弧形陣列SAR(Arc array bistatic SAR)是一種新的機載高分辨率陣列雷達成像模式,其繼承了弧形陣列SAR與雙基SAR的優點,在實現平臺周圍全方位快速觀測,大視場高分辨率成像的同時,減小了接收機被發現的概率,大大提高了被動接收雷達的戰場生存能力。而且,多角度多方位的觀測提供了觀測目標的更多的信息,使雙基弧形陣列SAR具備了三維成像的能力[19-21]。

但是,由于雙基弧形陣列SAR天線特殊的圓弧型構造的影響,常規的用于線性陣列的成像方法無法滿足成像要求,而在成像算法的設計過程中,其駐定相位點也無法用傳統的駐定相位原理來解析出,因此其回波信號的二維頻譜也無法得到。文獻[22]將斜距模型進行二階泰勒級數展開,所引入的誤差較大,會對成像結果產生影響,因此需要尋找一種新的適用于雙基弧形陣列SAR的頻譜推導方法。本文引入了隱函數導數(Derivatives of an Implicit Function, DIF)的思想,將駐定相位點當作多普勒頻率(方位頻率)的隱函數,通過對該隱函數進行求導得到駐定相位點關于多普勒頻率的各階導數表達式,然后在方位頻率為零處將駐定相位點展開成距離頻率的泰勒級數,進而求解出該駐相點,這樣一來,就可以直接運用駐定相位原理來推導出其二維頻譜表達式。

本文內容結構安排如下,第2節首先詳細介紹了雙基弧形陣列SAR的天線結構、基本工作原理、成像幾何與回波信號模型,然后引入隱函數思想推導出了的雙基弧形陣列SAR回波信號的二維頻譜,第3節基于求出的二維頻譜提出了一種適用于雙基弧形陣列SAR的成像處理方法;第4節通過點目標的仿真驗證了提出的成像處理方法的有效性;第5節對本文進行了總結。

2 雙基弧形陣列SAR

2.1 成像幾何

雙基弧形陣列SAR作為一種新型的機載SAR觀測系統,它采用了一種廣域圓環的波束掃描方式,具有更大的觀測區域,加快了雷達獲取場景信息的速度。其中,無源的弧形陣列接收天線是該系統中最重要的組成部分,它關系到整個成像系統能否實現全方位的快速成像。無源弧形陣列天線的結構如圖1所示,“AB”代表無源接收天線單元,多個天線單元沿著圓弧均勻排列,每個天線單元之間的角度間隔被設置為ΔθInterval,弧形陣列天線的半徑為Rr,θs是弧形陣列天線的合成孔徑角度,θa代表沿著天線陣列方向的方位向波束寬度,Nr是天線陣列中被用來合成孔徑的天線單元的數量。在雙基弧形陣列SAR系統中,無源弧形陣列天線利用微波開關控制天線單元,使其指向沿圓弧逐漸移動,既能實現孔徑合成,又擴大了陣列向成像觀測范圍,另外,與現有線性陣列SAR相比,雙基弧形陣列SAR天線采用剛性基線結構,很大程度上降低了飛機機身震顫對天線的影響,有利于系統的實現[5]。

圖1 無源弧形陣列接收天線的結構Fig.1 Configuration of arc array antenna

雙基弧形陣列SAR簡化后的工作模式如圖2所示。直升機接收平臺向固定在靜止平臺上的發射機發送請求信號,然后,發射機向目標區域發射高功率線性調頻(LFM)信號,接著,無源弧形陣列接收天線用高速微波開關控制天線上各個天線單元的開/關,沿圓弧逐漸移動,實現孔徑合成,從而控制回波信號的接收。雙基弧形陣列SAR的發射機可以被放置在遠離目標區域的地方,這樣就降低了其在戰場上被打擊的概率,而無源接收機被安裝在直升機的腹部,這樣可以做到接收平臺的完全無源,也就不會因為發射無線電信號而被探測到。同時,利用時間和頻率標準在兩個平臺之間的連續傳輸,實現了雙基地平臺的同步。此外,因為發射斜距地變化幾乎不會對雙基弧形陣列SAR的方位向分辨率產生影響,所以雙基弧形陣列SAR可以被應用到自主緊急著陸、物資空投、末端制導與動目標探測等領域[15-18]。

圖2 雙基弧形陣列SAR工作模式示意圖Fig.2 The work mode of arc array BiSAR

雙基弧形陣列SAR的成像幾何如圖3所示。圖中數學符號定義如表1所示。

圖3 雙基弧形陣列SAR成像幾何Fig.3 The imaging geometry of arc array BiSAR

表1 數學符號定義

2.2 信號模型

設發射機與接收機之間的雙基瞬時斜距為Rb(ξ),利用余弦定理可以得到以下關系:

(1)

則Rb(ξ)的精確表達式為:

(2)

Rb(ξ)可被展開為泰勒級數得:

Rb(ξ)=B0+B1ξ+B2ξ2+B3ξ3+B4ξ4+…

(3)

其中,BN,N=0,1,2,...是泰勒級數的系數。

設發射機發射線性調頻(LFM)信號,脈沖寬度為Ts,調頻率為K,解調至基帶后,點目標的回波信號可表示為:

ss(tτ,ξ)=σmar(tτ-Rb(ξ)/c)aa(ξ)·
exp{jπK[tτ-Rb(ξ)/c]2}·exp(-j 2π/λ·Rb(ξ))

(4)

其中,σm是散射系數,ar(·)和aa(·)分別為雷達(LFM)信號的距離向包絡和方位向包絡,c為光速,λ為中心頻率所對應的波長。

2.3 基于隱函數導數法的二維頻譜

將式(4)所示的回波信號變換到距離頻域-方位時域,得:

(5)

其中,fc為載頻,fτ為距離向頻率,Ar(fτ)代表距離頻率包絡?？梢娫谑?2)斜距公式中存在根號下三角函數形式的表達式,給雙基弧形陣列SAR回波信號的二維頻譜推導帶來了較大的困難,很難用駐定相位原理來精確求解其二維頻譜。下面將結合隱函數導數法來解決這一問題。對式(5)作FFT,得

(6)

其中,

(7)

其中,fa是方位頻率。對θ(fτ,ξ)關于ξ求導得:

(8)

駐定相位點ξ0滿足dθ(fτ,ξ)/dξ|ξ=ξ0=0,經過移項整理可得:

(9)

令fχ為:

(10)

利用駐定相位點ξ0,二維頻譜的相位項可以表示為:

(11)

可以看出,此駐相點ξ0的解析表達式不能通過代數的方法精確得到。但是顯然,ξ0是fχ的一個隱函數,可以代數方法來得到。將ξ0在fχ=0處展開為泰勒級數,可以得到:

(12)

(13)

(14)

則其導數可被表示為:

(15)

(16)

由cosx=1-x2/2+x2/24+…和rm?rr,式(16)可被進一步近似為以下多項式:

(17)

(18)

其中,μ=ωrrrm(ω3/6q1/2+ω3rrrm/2q3/2),ε=ω2rrrm/6q1/2,則可以解出[24]:

(19)

3 基于隱函數導數法的成像算法

3.1 成像算法

(20)

(21)

由式(12)可解出:

(22)

(23)

將式(22)和式(23)帶入到式(11)可得:

θ(fr,fa)≈φaz+φrcm+φsrc+φres

(24)

(25)

其中,φac與方位向調頻有關,φrcm與距離徙動有關,φsrc代表距離和方位向的耦合相位,而φrcm則是雙基弧形陣列SAR中殘余的高階指數項。根據之前的分析,首先雷達回波信號需要在二維頻域中去除耦合相位項和殘余相位項,然后在距離多普勒域完成距離徙動項校正,校正距離徙動之后,同一距離單元的所有點目標會有相同的方位向調頻率。接著完成方位脈沖壓縮,對信號做方位IFFT得到最終的聚焦信號。

具體的算法流程如下:

2)對距離徙動項φrcm、耦合相位項φsrc和殘余相位項φres進行補償,補償函數為:

(26)

3)然后將柱坐標系下的二維頻譜插值變換到直角坐標系,坐標映射關系如下:

(27)

其中,(xt,yt,zt),(xr,yr,zr),(xm,ym,zm)分別為靜止發射機位置坐標Pt,弧形陣列天線等效采樣點位置坐標Pr,地面上任意點目標位置坐標Pm在直角坐標系下的坐標。

4)沿距離向對信號進行逆傅里葉變換,將數據變換到距離多普勒域,然后構造濾波器H2(fa)通過方位向壓縮去除φaz,濾波器表達式為:

H2(fa)=exp{-jφaz}

(28)

5)沿方位向進行逆傅里葉變換,完成最終的信號聚焦。至此完成了整個雙基弧形陣列SAR成像算法,流程圖如圖4所示。

圖4 成像算法流程圖Fig.4 The flowchart of imaging algorithm

3.2 成像分辨率分析

對于線性調頻信號的雙基弧形陣列SAR,其瞬時方位頻率為:

fa=?{arg[ss(tτ,ξ)]}/?ξ=2πrrcosαsin(ωξ)/λ=
2πrrcosαsin(θr-θm)/λ

(29)

則雙基弧形陣列SAR的方位向角分辨率可表示為[2,9]:

(30)

其中,rr為天線半徑,λ是信號的波長,θs是方位合成孔徑的角度,hr為天線平臺高度。

與單基弧形陣列SAR不同的是,在雙基模式中,由于接收平臺和發射平臺被安裝在不同的兩個地方,所以,瞬時雙基斜距和包括兩個不同的方向上的距離[2,12]。因此,本文將直接考慮雙基弧形陣列SAR的地距分辨率,其表達式為:

(31)

其中,Br是信號的帶寬,

(32)

(33)

4 仿真實驗

4.1 相位誤差分析

不同于傳統的線性陣列SAR模式,由于特殊的圓弧形天線結構和工作方式,雙基弧形陣列SAR的方位向分辨率與方位合成孔徑角度的大小有關[2,9],由式(2)知方位合成孔徑角度的越大,斜距中的余弦項展開要求的階次越高,而當忽略級數中的高階項所引入的相位誤差小于π/4時,那么其對成像結果的影響也就可以忽略不計。文獻[22]方法引入的相位誤差三維圖如圖5(a)所示,以方位向角度為橫坐標的二維圖如圖5(b)所示,其中虛線為π/4。選取特定目標點(600,0°),具體系統參數選擇見表2所示,可見點目標斜距在進行二階泰勒級數展開時,為了獲得聚焦質量較好的目標點,方位合成孔徑角度的取值范圍需在-19°到+19°內;而本文方法在進行雙基斜距展開時將泰勒級數展開到四階,相位誤差如圖6所示,可見其相位誤差遠小于π/4,同時這也說明在對雙基弧形陣列SAR斜距進行泰勒級數展開時,四階近似已經能夠滿足成像的要求,同時在圖6(a)與圖6(b)中運用級數反演法(Method of Series Reversion, MSR)[23]與本文隱函數導數法(DIF)所引入的相位誤差進行了對比,可以看出因二者均將斜距展開到了四階,故所引入的相位誤差相差很小,說明二者方法所求的頻譜精度相當,但需要說明的是,本文隱函數導數法比級數反演法適用于更多的特殊方程的近似求解,級數反演法將駐相點在多普勒中心處展開,就推導思路來說,二者是完全不一樣的,若方程中存在耦合,那么級數反演法就失去了作用,而隱函數導數法仍然適用,在以后的對更多構型的雙基弧形陣列SAR的研究中,隱函數導數法將具有很大優勢[24-27]。

表2 仿真參數

圖5 二階斜距近似相位誤差圖Fig.5 Phase error of range quadratic approximation

圖6 本文方法相位誤差Fig.6 Phase error of the proposed method

4.2 成像結果

為了驗證本文提出方法的成像效果,下面分別采用本文推導的方法與文獻[22]中所述的子孔徑劃分成像算法進行點目標成像仿真對比,仿真參數選擇如表2所示。在仿真實驗中,設置了一個點陣目標場景,其位置如圖7所示。采用本文的成像處理算法對點目標回波進行仿真驗證,其聚焦圖像如圖8所示,選取目標區域中P1(200,25°),P2(250,0°),P3(300,-25°)三個點目標做進一步分析,其等高線圖如圖9所示,并給出了所對應的方位向和距離向響應脈沖,可以看出,不同距離和角度處的3個點目標都得到了很好的聚焦效果。同樣,運用文獻[22]算法對點P1進行成像并對結果作對比,從圖10中可以看出,在雙基弧形陣列SAR模式下,斜距的二階次近似已經無法表征足夠的相位變化信息,進而造成點目標的聚焦效果下降,難以滿足成像的要求。而本文提的算法在進行級數展開時將雙基斜距近似到四階,推導得到的二維頻譜中能夠體現出更多的斜距變化信息,因而提高了成像質量,獲得了更高的圖像精確度,聚焦效果較好。

圖7 點目標位置分布Fig.7 The positions of point target

圖8 點目標成像結果Fig.8 Point target imaging results

為了更進一步對成像結果進行分析,由表3給出了點目標P1、P2和P3的具體的測量參數,其中,PSLR和ISLR分別表示峰值旁瓣比和積分旁瓣比。P1、P2和P3距離(地距)向分辨率的理論值分別為0.556 m、0.497 m和0.432 m,沿方位(陣列)向角分辨率的理論值分別為0.928°、0.752°和0.637°,由表中的數據可以看出,各點成像性能測量參數值與理論分析基本吻合,可見本文提出的基于隱函數導數法的雙基弧形陣列SAR成像算法的有效性。

圖9 點目標的等高線與脈沖響應圖Fig.9 The contour and impulse response of point target

圖10 采用傳統子孔徑方法P1的等高線與脈沖響應圖Fig.10 The contour and impulse response of P1using sub-aperture partition

表3 點目標測量參數

5 結論

雙基弧形陣列SAR成像模式具有觀測范圍廣且不易被偵測的優點,可用于直升機的著陸、偵察、搜救和起飛等領域。但由于雙基弧形陣列SAR特殊的弧形陣列天線結構的影響,其回波信號的二維頻譜表達式很難用傳統的駐定相位原理來推導。為了解決這一問題,本文引入隱函數導數法,求解出了回波信號的二維頻譜的駐定相位點,然后通過代數運算,得到了雙基弧形陣列SAR的二維頻譜。在此頻譜基礎上,本文研究了一種適用于雙基弧形陣列SAR的成像方法,文中給出了該算法完整的推導過程,最后通過不同點目標的仿真驗證了提出的算法的有效性。