基于旋轉模糊對消準則的多重聯合MUSIC解模糊方法

崔 敖 何培宇 喻偉闖 王 宏 徐自勵

(1. 四川大學電子信息學院, 四川成都 610065; 2. 中國民航局第二研究所研發中心, 四川成都 610041)

1 引言

波達方向角(Direction of Arrival, DOA)的估計性能受限于陣列的測向分辨率[1]。提高DOA估計分辨率的研究一直備受學界關注。通常,陣列的有效孔徑越大,測向分辨率越高[2]。由于陣元間距必須滿足空間采樣定理的約束(即陣元間距Δd≤0.5λ),因此傳統擴大陣列孔徑的思路是保證陣元間距小于半波長的同時增加陣元數目。相較于傳統陣列,稀疏陣列(陣元間距Δd>0.5λ)能夠使用較少陣元獲得更大的陣列孔徑,具有低成本、布陣靈活、高分辨率等優勢[3]。但由于其違背了空間采樣定理的約束,因此存在測向模糊問題[2-5]。

為解決上述問題,學界對稀疏陣列進行了深入研究,從陣列設計和算法角度提出了多種解模糊方法?；谒惴ǖ慕饽：椒ㄒ话憷昧诵盘栔械哪承┨卣髯鳛榕袛嗾鎸岲OA的判據,并需要較為復雜的運算:例如Kastinen D通過計算理論模糊集,再通過模式匹配的方法排除掉模糊角以解模糊[6];He Z等人構建了一個用于估計譜峰處信號功率的代價函數,用來識別真實峰和虛假峰,以解模糊[7]等;文獻[8-9]使用壓縮感知的方法對陣列進行虛擬插值以解模糊,這類方法不僅運算量較大,往往還需要一些先驗信息(如信號入射方向的范圍)作為插值依據。

相較于算法層面的解模糊方法,基于陣列設計的解模糊方法通常利用了稀疏均勻線陣(Sparse Uniform Linear Array, SULA)的幾何特征或陣列流形特征,具有低復雜度和處理簡便等優勢:例如He Z等通過在SULA陣元上放置不同厚度和不同折射率的介質基片,通過改變信號的等效波長以解模糊[10];Yang K等通過優化SULA各向異性的陣元朝向,以改變陣列可能產生的模糊導向矢量以解模糊[11];Hai-Lang S等通過小幅度移動稀疏陣的陣元,通過對比陣元移動前后獲得的DOA估計譜以解模糊[12];Chen T等通過限制非均勻陣列的最小陣元間距,并使用接收信號的四階累積量構建單快拍測量的稀疏信號模型以得到解模糊的DOA估計[13]。這些方法的核心思路都是改變導向矢量的性質,使其不產生模糊角,或產生的模糊角在同一坐標系下不重合。通過將陣列進行旋轉也可以改變其流形特征,文獻[14-17]利用了信源方向固定時信源相對陣列的“旋轉不變性”,通過將陣列旋轉前后的采樣數據融合處理,以提高DOA估計的精度和自由度,但并未將該技術用于稀疏陣列解模糊方法的研究。Lin M等也應用了這種思路,通過旋轉陣列,比較陣列旋轉前后獲得的DOA估計譜以解模糊[18-19]。但該方法并未深入研究陣列旋轉角度對模糊角的影響,未給出旋轉前后模糊角不重合時旋轉角所應滿足的條件。此外,該方法需要對陣列進行旋轉操作,這些問題增加了上述研究的應用難度。

基于上述原因,本文首先研究了SULA的模糊導向矢量,發現模糊角與轉動角度間的非線性關系。并從這種非線性關系出發,研究和論證了SULA旋轉前后不出現重疊模糊角時旋轉角應滿足的條件,提出了旋轉模糊對消準則。為解決實際應用中線陣一旦布好無法旋轉的問題,本文基于上述準則,提出一種稀疏X-形陣列多重聯合MUSIC方法(Multiple-Joint MUSIC, MJ-MUSIC)方法,通過構造X-形陣列來代替陣列的旋轉。該方法充分利用了陣列上的接收信號,使虛假峰相互交錯,并進一步利用提出的準則增大真實峰與虛假峰之間的差值,提高了DOA解模糊的正確率。當滿足旋轉模糊對消準則時,該方法的DOA解模糊正確率與非稀疏情況下傳統MUSIC算法的估計正確率一致。

2 SULA的模糊問題

如圖1所示,一個N陣元的ULA(Uniform Linear Array, ULA),對于DOA為θm∈(0°,180°)的入射信號(0°為陣元1處端射,90°為垂直入射,180°為陣元N處端射),該陣列對應的導向矢量為:

圖1 ULA示意圖Fig.1 Illustration of ULA geometry

(1)

假設有M個非相干的遠場窄帶信號,其到該陣列的DOA分別為{θ1,θ2,…，θM},則這些信號對該陣列的流形矩陣為:

(2)

在子空間類的DOA估計方法中,如多重信號分類(MUtiple SIgnal Classification, MUSIC)算法,通過對接收信號的自相關矩陣進行分解,得到信號子空間span(Us)與噪聲子空間span(Un)。由于入射信號導向矢量a(θm)∈span(Us)且span(Us)⊥span(Un),則可通過計算不同角度的導向矢量對噪聲子空間的性來獲得DOA估計譜[20],即:

(3)

其中,(·)H為向量或矩陣的共軛轉置。

(4)

(5)

3 旋轉模糊對消準則

假定信源位置不變,SULA以其幾何中心為軸在信源和陣列構成的平面上旋轉,轉動的角度記為φ(φ>0時順時針旋轉,φ<0時逆時針旋轉)。則陣列旋轉前后的測向角有如下線性映射關系:

θφ=θ+φ

(6)

相應地,記aφ(·)為旋轉后陣列的導向矢量,根據式(6),該導向矢量與原陣列導向矢量有如下關系:

aφ(θφ)=a(θ+φ)

(7)

(8)

其中,θm,φ為陣列旋轉后的第m個DOA。

考察一種SULA對稱旋轉的情況,即當旋轉角φ分別等于φ和-φ(φ>0°)時,根據式(1)和式(6),經過對稱旋轉的SULA的導向矢量應滿足:

(9)

其中bφ(θ)∈CN×1與導向矢量的結構類似,可表示為:

(10)

旋轉模糊對消準則:當陣元間距與信源波長的比值ρ和對稱旋轉角φ滿足:

(11)

時,有:

(12)

旋轉模糊對消準則的證明(反證法):

(13)

此外,根據假設1和式(5)、(9)可得:

(14)

其中,線性組合的復系數由式(5)所定義,為不失一般性,且與式(13)中的復系數加以區分,使用κm表示該復系數。

將式(13)代入式(14),有:

(15)

(16)

4 MJ-MUSIC方法

該稀疏X形陣兩臂上接收到的陣列信號可分別記為:

(17)

對式(17)中的兩項接收信號進行求和,有:

(18)

其中,cφ(θm)=aφ(θm,φ)+a-φ(θm,-φ),Cφ=[cφ(θ1),cφ(θ2),…,cφ(θM)],S(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]。

(19)

式(19)中的矩陣Cφ類似于式(2)的陣列流形矩陣,可將Rc進一步分解,得到其噪聲子空間span(Uc,n),同樣類似于子空間類的DOA方法,Uc,n由Rc最小的N-M個特征值所對應的特征向量構成。

(20)

因此,可推出:

(21)

可利用式(3)的方式使用cφ(θ)對噪聲子空間span(Uc,n)進行掃描,得到聯合MUSIC估計譜:

(22)

(23)

(24)

(25)

其中,Pφ(θ)和Pφ(-θ)分別為順時針和逆時針夾角方向陣列臂上得到的MUSIC估計譜。MJ-MUSIC方法的原理框圖如圖2所示。

圖2 MJ-MUSIC方法原理Fig.2 Block diagram of MJ-MUSIC method

綜上所述,MJ-MUSIC方法再次利用了旋轉模糊對消準則,對聯合MUSIC譜中的虛假峰進行了“二次減弱”,可降低譜峰檢測門限,以更靈敏,更準確地進行譜峰搜索,得到解模糊的DOA估計結果。

圖3 傳統MUSIC算法在φ不同取值時的DOA估計結果Fig.3 DOA estimated by conventional MUSIC on different φ

5 仿真驗證

實驗1兩個窄帶非相干信號分別從22°和127°入射至一個稀疏X形陣,該陣列共有7個陣元,陣元間距Δd=2.5λ?？炫臄禐?00,SNR=15 dB。實驗分別取φ=80°和φ=87°時X形陣兩臂上得到的傳統MUSIC估計譜進行對比。實驗結果如圖3所示。圖中,X-軸表示測向角,Y-軸表示MUSIC譜密度,譜峰重疊處使用虛線進行了標記。

根據旋轉模糊對消準則,當ρ=2.5時,只有當φ∈(84.26°,90°)時可確保稀疏X形陣兩臂上的模糊角在同一坐標下不互相重疊。

圖3(a)中,φ=84°∈/ (84.26°,90°),兩個MUSIC譜均存在很多譜峰,其中含有真實峰和虛假峰?？梢钥吹?當映射到同一坐標下,兩個MUSIC譜的譜峰在22°、127°和170°處均出現了重疊。而真實DOA為22°和127°,170°處的譜峰重疊是由于此時的陣列夾角φ和陣元間距ρ不滿足旋轉模糊對消準則的約束,使它們同時在170°出現了模糊。

圖3(b)中,φ=87°∈(84.26°,90°)?？梢钥吹?當映射到同一坐標下,兩個MUSIC譜的譜峰僅在22°和127°處重疊,在其他角度上都互相交錯。

上述實驗結果表明,當陣列夾角φ和陣元間距ρ滿足旋轉模糊對消準則的約束時,得到的兩個MUSIC譜不會出現相同的模糊角。

實驗2三個窄帶非相干信號分別從25°、78°和152°入射至一個稀疏X形陣,該陣列共有7個陣元,陣元間距Δd=3λ?？炫臄禐?00,SNR=20 dB。實驗分別取φ=80°和φ=87°時該稀疏X形陣上得到的聯合MUSIC估計譜和MJ-MUSIC估計譜進行對比。實驗結果如圖4所示。圖中,X-軸表示測向角,Y-軸表示譜密度,譜峰檢測門限取值為-20 dB,使用水平虛線進行標記,真實DOA使用垂直虛線進行標記。

根據旋轉模糊對消準則,當ρ=3時,只有當φ∈(85.22°,90°)時可確保稀疏X形陣兩臂上的模糊角在同一坐標下不互相重疊。

圖4 MJ-MUSIC和聯合MUSIC在φ不同取值時的DOA估計結果Fig.4 DOA estimated by MJ-MUSIC and Combined MUSIC on different φ

圖4(a)中,φ=80°∈/ (85.22°,90°)?？梢钥闯?聯合MUSIC譜和MJ-MUSIC譜除了在25°、78°和152°處有顯著高于檢測門限以上的譜峰,還有很多其他略高于譜峰檢測門限的虛假峰。這是因為此時陣列夾角φ不滿足旋轉模糊對消準則的約束,產生了互相重合的模糊角,進而影響了式(21)中聯合導向矢量cφ(θ)對噪聲子空間的非正交性。由于虛假峰的干擾,兩種方法均無法估計出正確的DOA。

圖4(b)中,φ=87°∈(85.22°,90°)?？梢钥闯?聯合MUSIC譜和MJ-MUSIC的估計譜在25°、78°和152°處有顯著高于檢測門限以上的譜峰。此外,聯合MUSIC的估計譜還在14°和148°處有略高于檢測門限的虛假峰,這些虛假峰的高度和數量均少于圖3(a)所示的結果。這是因為旋轉模糊對消準則雖然能夠保證模糊角在此時不互相重合,但由于式(24)的影響,聯合MUSIC譜在14°和148°處出現了局部極值。此時,通過譜峰搜索,可由MJ-MUSIC估計譜得到正確的DOA。

上述實驗結果表明,當陣列夾角φ和陣元間距ρ滿足旋轉模糊對消準則的約束時,MJ-MUSIC估計性能優于聯合MUSIC,可通過MJ-MUSIC估計譜得到正確的DOA。

實驗3兩個非相干窄帶信號從隨機角度入射至稀疏X形陣,入射角度服從(0°,180°)的均勻分布?？炫臄禐?00,SNR=15 dB。該稀疏X形陣共有5個陣元,陣元間距ρ=2,夾角φ以Δφ=0.1°為增量變化,變化范圍為(80°,90°)。每個夾角φ取值處進行1000次蒙特卡洛實驗,用以統計MJ-MUSIC的平均DOA估計正確率(譜峰檢測門限取值為-15 dB),以測試其解模糊的性能。同時也統計了聯合MUSIC(Combined MUSIC)、稀疏情況下MUSIC算法取重合譜峰(Overlap,文獻[18-19]方法)以及非稀疏情況下MUSIC算法(Δd=0.5λ)的平均DOA估計正確率作為參考,實驗結果如圖5所示。圖中,X-軸表示夾角φ的取值,Y-軸表示DOA估計正確率,φopt所標注的垂直虛線為旋轉模糊對消準則約束的φ取值下界。

圖5 各方法在φ不同取值時的DOA估計正確率Fig.5 DOA estimation correct rate of different methods respect to φ

從圖5可也看出,在(φopt,90°)范圍內,MJ-MUSIC方法的估計正確率最高,且在(83°,88°)范圍內略微超過了用于參考的非稀疏情況的MUSIC估計正確率,這是因為MJ-MUSIC的陣列孔徑((5-1)×2λ=8λ),高于非稀疏情況的陣列孔徑((5-1)×0.5λ=2λ),因此前者的DOA估計準確率較高;聯合MUSIC次之,這是由于其估計譜由于式(24)的影響,出現了高于檢測門限的虛假峰;Overlap方法由于會受到MUSIC分辨率、譜峰搜索誤差等因素的影響,因此正確率最低。

上述實驗結果表明,提出的旋轉模糊對消準則是有效的,基于該準則的MJ-MUSIC方法能有效解模糊。

6 結論

本文研究了SULA的模糊角與轉動角之間的關系,并根據模糊角與轉動角度間的非線性關系,提出了旋轉模糊對消準則,該準則揭示了SULA旋轉前后不出現重疊模糊角時旋轉角應滿足的條件?；诖藴蕜t,本文提出了MJ-MUSIC方法,該方法應用于稀疏X形陣列,用其夾角代替了SULA的旋轉,并進一步利用提出的準則構建了聯合MUSIC譜,使其與X形陣兩臂上得到的MUSIC相乘,得到MJ-MUSIC譜,進一步增大真實峰與虛假峰之間的差值,提高了DOA解模糊的正確率。最后,仿真結果驗證了旋轉模糊對消準則的正確性,當MJ-MUSIC滿足其約束時,該方法的DOA估計正確率與非稀疏情況下傳統MUSIC算法的DOA估計正確率一致,具有較好的操作性和有效性,可以為工程應用提供參考。