變步長搜索的計算全息圖編碼方法

邱宏偉，金春水 ，于 杰，劉 鈺，張海濤,2，王麗萍，孫詩壯

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100039）

1 引言

計算全息圖（CGH）作為非球面零位補償檢測的關鍵器件，被廣泛應用于非球面檢測[1-4]。與傳統的Dall[5]和Offner[6]補償器不同，CGH 是一種衍射光學元件，它利用光的衍射效應生成與被檢非球面面形匹配良好的非球面波前，從而實現非球面的零位檢測。高精度CGH 編碼是實現高精度非球面檢測的關鍵之一。

計算全息編碼是指將CGH 相位轉換為刻蝕設備可識別的量化位置數據[7]。由于刻蝕設備只能以折線的方式進行刻蝕，因此需將光滑條紋離散成多邊形。為了保證編碼精度，通常采用高密度采樣逼近理想曲線，從而實現高精度編碼。然而，高密度采樣意味著編碼數據量巨大，導致刻蝕設備內存負擔加大，大大增加了刻蝕時間[8]。因此，需要選擇合適的方法對CGH 進行編碼。

目前，常用的CGH 編碼方法有迂回相位編碼法、修正離軸參考光編碼法、相位輪廓測量術及計算全息干涉編碼法等[9]。其中，迂回相位編碼法需近似取值，因此總會引入相位誤差，且迂回相位編碼方法實現非常困難，不利于產生非球面波。修正離軸參考光編碼法由于需要與參考光進行疊加運算，因此增加了計算量。另外，這些方法要實現高精度編碼都會使得編碼數據量巨大。

針對迂回相位編碼不利于產生非球面波的缺點，Jiao Fan 等提出逐點追跡法進行計算。雖然該方法能很好地控制誤差，但求解過程太過復雜[10]。

為了克服上述問題，Ma Jun 等人提出了一種在不同徑向位置選擇不同采樣密度的方法來近似計算全息圖條紋，但是該方法對于曲率連續變化的條紋近似效果并不理想[11]。

針對迂回相位編碼、修正離軸參考光以及計算全息干涉等編碼方法存在的編碼精度與編碼數據量之間的矛盾，本文提出了一種變步長CGH編碼方法。該方法根據編碼精度的需求可以簡單便捷地選擇采樣步長，以最小的編碼數據量實現高精度編碼。該編碼方法還具有能夠減輕刻蝕設備內存負擔以及降低CGH 制作時間成本等優點。

2 編碼原理

假設CGH 產生的波前相位函數表示為Φ(x,y)，并令：

其中N為整數，m為衍射級次。函數Φ(x,y)的編碼過程如圖1 所示。由圖1 可知，CGH 的編碼過程可分為兩步：首先，解算式（1）得到等相位曲線分布，如圖1(a)所示；然后，將得到的各等相位曲線離散采樣，實現量化編碼，如圖1(b)所示。

圖1 CGH 編碼過程。（a）由相位輪廓干涉圖計算相位函數；（b）條紋編碼成多邊形Fig.1 CGH encoding process.(a)Wavefront phase function calculated by phase contour interferograms;(b)encoding the fringes into polygons

傳統的CGH 編碼方法采用增大采樣密度的方式來提高編碼精度。然而，這一方式雖可提高精度，但相應的編碼數據量將急劇增加。為了減少編碼數據量，同時最大程度地提高編碼精度，本文提出基于相位分布梯度大小選擇采樣密度的方式來實現目標。編碼過程如下：

（1）根據被測非球面設計CGH，并計算相位分布Φ(x,y)；

（2）計算Φ(x,y)的梯度分布；

（3）根據Φ(x,y)的梯度分布情況動態選擇采樣步長進行編碼，并保存數據；

（4）將數據轉換為GDS II 或OASIS 等刻蝕機器可讀格式。

CGH 的相位函數表示為Φ(x,y)，那么其在二維矢量場的梯度為：

其中Φx=[?Φ(x,y)/?x],Φy=[?Φ(x,y)/?y]。

等相位曲線離散采樣過程如圖2 所示，在這一過程中，會不可避免地導致實際條紋與理想條紋產生偏差，根據前人的分析，編碼誤差與波長、衍射級次及編碼偏差成正比，與局部條紋周期成反比[12]。因此，引起的局部波前誤差?WRMS(x,y)可表示為：

其中，λ為波長，S(x,y)為局部條紋周期，δ(x,y)為實際條紋與理想條紋的偏差。

圖2 理想條紋數值化示意圖Fig.2 The digitization process of ideal fringe

為達到滿足使用需求的編碼精度，需要減小編碼的局部偏差δ(x,y)。局部偏差δ(x,y)與編碼采樣步長L(x,y)的幾何關系如圖3 所示。

圖3 編碼采樣步長與編碼偏差幾何關系圖Fig.3 Geometric relationship between encoding sampling step and encoding deviation

由圖3 可知兩者滿足以下關系

其中R=1/c，σ=δ(x,y)/S(x,y)。

根據采樣頻率與采樣步長的關系，采樣頻率γ(x,y)可表示為：

其中，c=1/R。根據Wenrui Cai 的分析，采樣頻率γ(x,y)可表示為[11]：

通過上述分析，建立了采樣步長與編碼誤差之間的聯系。為動態選擇編碼步長，需先確定編碼所需達到的精度。根據式（7）可得：

至此，便可根據編碼需求動態選擇編碼步長進行編碼。由于刻蝕機器只能識別特定格式的文件，因此需將編碼數據轉為GDSⅡ格式文件[13-14]。

3 仿真過程

對一高次非球面設計了零位補償CGH，非球面可表示為：

式中Z為非球面矢高，K為二次曲面常數，A1、A2為高次項系數，ρ為非球面徑向坐標，C為非球面頂點曲率。非球面的具體參數如表1 所示。

表1 非球面參數Tab.1 Parameters of the aspheric lens

在計算全息圖的設計階段，必須考慮以下4 個方面：衍射雜光的分離與去除、降低條紋密度、限制CGH 口徑以及約束投影畸變。為提高CGH的設計效率，建立了CGH 設計模型[5]。該模型綜合考慮了上述4 方面，將非球面參數代入模型，得出CGH 在光路中的位置與所需加載的載頻量（其中CGH 口徑為63 mm），利用等光程原理計算CGH 相位，相位分布如圖4（彩圖見期刊電子版）所示。對相位梯度進行求解，結果如圖5（彩圖見期刊電子版）所示。

圖4 CGH 相位分布示意圖Fig.4 Phase distribution of the CGH

圖5 CGH 相位函數梯度分布Fig.5 Gradient distribution of the CGH phase function

根據第2 節所述的編碼原理以及編碼精度要求，將編碼誤差容限設為0.03 nm，編寫程序對CGH進行編碼，結果如圖6（彩圖見期刊電子版）所示。編碼后的最小條紋間距為11μm，最大條紋間距為480μm。完成上述過程后，利用傳統編程方法對同一CGH 進行編碼，其數據量高達160 GB，本文所提出的方法數據量僅為3 GB，且相較于傳統方法，其計算時間大大縮短，僅為16 小時。

圖6 CGH 條紋分布示意圖Fig.6 Fringe distribution of CGH

4 實驗與分析

為驗證本文所述的CGH 編碼方法，設計了對比實驗進行驗證。所有元件加工完成后，對非球面進行檢測。由于檢測系統誤差主要為CGH基底誤差，因此，為了避免CGH 基底對檢測產生的影響，利用零級衍射光對CGH 的基底誤差進行標定，標定光路如圖7 所示（圖中虛線框代表將CGH 從標定光路取出的過程，TF(Transmission Flat)、RF(Reference Flat)為平面標準具），基底誤差標定結果為：PV=24.361 nm，RMS=2.059 nm，如圖8（彩圖見期刊電子版）所示。

圖7 標定光路示意圖Fig.7 Schematic diagram of calibration optical path of the CGH substrate error

圖8 CGH 基底誤差Fig.8 CGH substrate error

完成CGH 基底誤差標定后，利用如圖9 所示的光路對非球面進行檢測，非球面鏡實物如圖10 所示。實驗過程中，通過觀察干涉條紋實現各元件的對準。為了驗證CGH 法檢測非球面的可信度，本文使用零位補償器對非球面進行檢測，兩者的檢測結果如圖11（彩圖見期刊電子版）所示。從圖11 可以看出，零位補償鏡的檢測結果如下：PV 值為18.067 nm，RMS 值為3.645 nm，CGH的檢測結果如下：PV 值為15.304 nm，RMS 值為3.142 nm，兩者RMS 數值僅相差0.503 nm。將CGH檢測結果與補償鏡檢測結果進行點對點做差，結果如圖12 所示。

圖9 非球面檢測裝置光路圖Fig.9 Optical path of the aspheric detection installation

圖10 被檢非球面鏡Fig.10 Tested aspheric mirror

圖11 兩種方法的非球面檢測結果對比Fig.11 The test results of the aspheric mirror by proprosed method and zero compensator

圖12 CGH 與補償鏡檢測結果對比Fig.12 Comparison of test results of CGH and null lens compensator

由圖12 可以看出，CGH 法與補償器法的檢測結果相減后RMS 值為1.291 nm，各項Zernike系數差值均在0.002λ(λ=632.8 nm)以內，表明本文提出的CGH 編碼方法能夠實現非球面高精度編碼。

5 結論

本文提出了一種基于CGH 相位梯度動態選擇步長的編碼方法，該方法能夠有效解決傳統編碼方法的編碼精度與編碼數據量存在矛盾的問題，且能夠滿足非球面高精度檢測的需求。本文設計、編碼并制作了CGH 檢測非球面，檢測結果為3.142 nm（RMS）。為驗證CGH 檢測非球面結果的可靠性，本文將零位補償鏡對非球面的檢測結果與CGH 檢測結果進行對比，補償鏡檢測結果為3.645 nm（RMS）。對CGH 和補償鏡的檢測結果進行點對點做差，RMS 為1.291 nm，且各Zernike 項的差值都小于等于0.002λ，說明了該編碼方法可滿足非球面高精度檢測的需求。