何雪晴,韋煜明
(廣西師范大學 數學與統計學院,廣西 桂林 541000)
(1)
其中S(t)為t時刻的易感者數,I(t)為t時刻的染病者數,R(t)為t時刻染病者恢復數,μ為出生率和死亡率,p是成功接種者的比例(經常接種疫苗可降低易感者的出生率),m是受感染父母的后代中易感個體的比例,n是受感染父母的后代中也患病的比例,m+n=1,γ為恢復率,λ為免疫喪失率.
易知模型(1)的確定性模型為
(2)
證明模型(1)中的系數是局部Lipschitz連續的,故在[0,τε)上存在唯一的局部解,τε是爆破時刻.下證τε=∞ a.s..令ε0>0使得S0>ε0,I0>ε0,R0>ε0.對任意正數ε≤ε0,定義停時τε:
τε=inf{t∈[0,τε):S(t)≤ε或I(t)≤ε},
V(S(t),I(t),R(t))=-lnS(t)-lnI(t)-lnR(t).
顯然V是正定的.由It公式,有
其中
于是
p+2μ+γ+λ+β+σ2∶=C,
所以
(3)
對式(3)兩邊從0到τε∧T積分并取期望,得到
EV(S(τε∧T),I(τε∧T),R(τε∧T))≤V(S0,I0,R0)+CT.
(4)
令Ωε={τε∧T},對?ε≤ε1,則P(Ωε)>δ.即,對?ω∈Ωε,S(τε,ω),I(τε,ω),R(τε,ω)中至少有一個等于ε,所以
V(S(τε,ω),I(τε,ω),R(τε,ω))≥-lnε.
(5)
由(4),(5)可得
V(S0,I0,R0)+CT≥E[IΩεV(S(τε∧T),I(τε∧T),R(τε∧T))]=
P(Ωε)V(S(τε),I(τε),R(τε))>-δlnε,
其中IΩε是Ωε的示性函數.令ε→0,則有
∞>V(S0,I0,R0)+CT=∞,
故τ0=∞ a.s.,引理2.1得證.
根據引理2.1,可設一個正不變集Γ,對任意初始值(S0,I0,R0)∈Γ,
由此可給出如下引理.
引理2.2 令(S(t),I(t),R(t))是模型(1)的解,(S0,I0,R0)∈Γ,則
其中k為有限常數.再由Borel-Cantelli引理[13],對幾乎所有的ω∈Ω,可以得到
P(Ωε)≥1-ε,t≥T(ω),ω∈Ωε,
因此
故引理2.2得證.
本節給出疾病幾乎必然滅絕的一個充分條件.令
證明設(S(t),I(t),R(t))是模型(2)的解,初值(S0,I0,R0)∈Γ.對模型(2)的第二個等式利用It公式得
(6)
對式(6)兩邊從0到t積分,有
(nμ-γ-μ)t+M(t)+lnI(0),
(7)
(8)
對式(8)兩邊同時除以t,得
(9)
(10)
進而有
(11)
對式(11)兩邊同時取上極限得
綜上所述,定理3.1得證.
證明對模型(1)中的第三個等式的兩邊進行從0到t積分,并且同時除以t得到
(12)
由S(t)+I(t)+R(t)=1,可知〈S(t)〉+〈I(t)〉+〈R(t)〉=1,從而
又由(6)可知
(13)
對式(13)兩端從0到t進行積分,并且同時除以t有
故
(14)
又因為R(t),I(t)≤1,故有
所以由式(12)可知
對式(14)兩端同時取下極限,得到
因此定理4.1得證.
為了驗證得出的結果,下面通過使用 Euler Maruyama(EM)方法[13],對模型(1)和(2)進行數值模擬.為了驗證得出的結果,取g(I)=0.001,初始值為(S0,I0,R0)=(0.7,0.5.0.3).當σ=0時,對應確定性模型(2)選取β=0.07,γ=0.113,m=0.04,n=0.96,μ=0.008,P=0.001,λ=0.002,α=0.001,則R0≈0.56<1,無病平衡點E*是全局漸近穩定的,如圖1;若β=0.15,則R0≈1.60>1,地方病平衡點E*是全局漸近穩定的,如圖2.
圖 1 圖 2
圖 3 圖 4
圖 5