大概念視角下高中生數學直觀想象素養培育的實踐研究

【摘 要】 直觀想象素養是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.數形結合思想是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，是高中數學學習的重要思想.筆者以“冪函數的定義與圖象”為例，在“數形結合”的大概念下探索培育高中生數學直觀想象素養.

【關鍵詞】 大概念;直觀想象素養;冪函數

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》修訂的內容和變化之一是學科核心素養與學科大概念的提出.數學學科有六大核心素養，其中直觀想象是數學抽象或數學建模的基礎;復雜的邏輯推理或數學運算中，需要用直觀想象來理清邏輯推理或數學運算的思路，將復雜問題簡單化;在進行數據分析時，將數據圖表化，再對數據進行分析和處理.因此直觀想象在數學學科核心素養體系中具有重要的地位，它與其他核心素養密不可分[1].在一線教學中筆者發現，高中生存在知識學習碎片化的問題，對知識的理解只停留在表層，較少理解知識背后的邏輯依據、思想方法等. 筆者結合教學實踐，以“冪函數的定義與圖象”為例，闡述在本節課大概念“數形結合思想”的視角下如何培養學生的直觀想象素養.

1 學科大概念對培養高中生數學直觀想象素養的意義

1.1 學科大概念的解讀

學科大概念是大概念理念在學科體系結構中的特殊表達.不同的學者對大概念有不同的理解，例如：布魯納（Bruner.J.S）提出了“一般概念”，奧蘇伯爾的“要領概念”，布魯姆的“基本概念”.其本質就是大概念，總體有三個明顯的共識：其一，大概念是抽象概括出來的概念;其二，大概念是聯系整合的概念;其三，大概念是更能廣泛遷移的概念[2].

數學學科的大概念應該是能反應數學學科的特點，體現數學學科的思想，可以為高中生數學知識的學習和遷移提供方向和思路的概念或思想.筆者認為，圍繞學科大概念的教學應使知識系統化、結構化;可將各種具體的事實、經驗、事物和概念連接與整合;能促進學習者的持久記憶、深度理解和廣泛遷移.

1.2 學科大概念對培養高中生數學直觀素養的意義

直觀想象在高中數學的其中一個表現是建立數與形的聯系，讓學生通過高中數學的學習提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力.“數形結合思想”作為本節課的大概念為促進直觀想象核心素養的落實提供了新的解決方案.將“數形結合思想”這個學科大概念滲透在教學和課程中，形成透過現象看本質的學科大概念與課程能力，實現真實情境下學科知識的遷移與運用，指向核心素養的深度落實，真正發揮教學的育人功能，力求在課堂教學中落實立德樹人的目標.

2 以“冪函數的定義與圖象”為例解析直觀想象素養的培育

2.1 教材分析及學情分析

本節課是滬教版新教材高一第一學期必修一第四章《冪函數、指數函數與對數函數》的第一課時，主要內容是冪函數的定義與圖象.本節課是在上一章的基礎上，通過固定等式ab=c中三個量中的一個量，研究另兩個量的相互關系和變化規律，定義其中一種最基本的、應用較為廣泛的冪函數.新教材將冪函數，指數函數與對數函數安排在“一般函數”之前，因此冪函數的地位與作用發生了很大的變化.冪函數作為高中階段學生接觸的第一類具體的初等函數，起到了初高中函數概念的過渡與銜接的作用. 將冪函數作為載體，讓學生體會“用函數圖象和代數運算的方法研究函數”是研究函數性質的重要方法，為指數函數、對數函數的研究，以及下一章引入一般函數的概念、性質和應用奠定基礎.本節從生活中具體實例抽象出冪函數的概念，然后選擇三個具有代表性的指數所對應的冪函數，用描點法作出它們的大致圖象;再抽象出冪函數在第一象限的圖象特征，為下一節用代數方法研究冪函數的性質做鋪墊.通過對冪函數的學習引導學生經歷由具體實例和初中學習的函數抽象出一般函數的概念，體現了由具體到抽象、由特殊到一般的原則.

本節課的授課對象是高一學生，本班學生雖然大部分的學習態度是端正的，但是學生的數學底子薄，數學思維能力有所欠缺，認知結構不太健全，對函數的學習以及作圖產生畏懼感，擔心學不好，不會歸納總結，思維比較固定等，這些都可能對本節課的教學產生影響.

2.2 教學目標

1.經歷冪函數定義的形成過程，體驗從特殊到一般的思想方法，能用準確的數學語言達;

2.經歷作出具體的冪函數圖象的過程，利用數形結合思想探究冪函數在第一象限的圖象的特征;

3.通過本節課的學習可以滲透數形結合的數學思想，培養學生歸納、概括能力，提升學生的數學抽象、直觀想象等方面的核心素養，對體會數學的應用價值，將數形結合思想應用到研究其他函數中有重要的作用.

2.3 教學過程

2.3.1 情境建模，引入新課

情境：2020年的春天注定令我們難忘，一場來勢洶洶的新冠肺炎疫情打破了庚子年春節的寧靜.新冠病毒肆虐的艱難時刻，鐘南山院士、無數醫務人員、全國各地黨員干部、普通群眾紛紛走到前線，直面病毒、主動請戰;各地防疫物資第一時間運輸到武漢并且僅用十幾天時間相繼建成火神山、雷神山和十幾座方艙醫院，安置數以萬計的病人住院，創造了一個又一個奇跡.假設我們是武漢抗疫保障團隊，要準備抗疫場地、設施、物資等，在準備中有如下問題需要同學們思考：

問題1：如果某志愿者參加口罩的生產，每分鐘可以生產一只口罩，那么他生產的口罩數y（只）和時間x（分鐘）之間有何關系？

問題2：如果新建的方艙醫院占地為正方形，且邊長為x，那么方艙醫院的占地面積y=？

問題3：如果新建隔離室為正方體且棱長為x，那么該隔離室的體積y= ？

問題4：如果方艙醫院正方形場地的面積為x，那么正方形的邊長y= ？

問題5：如果防疫物資運送車輛x秒內行進1千米，那么車輛的平均速度y= ？（千米/秒）

師：能否列出這幾個函數解析式？

探究1：以上問題中的函數解析式具有什么共同特征？

生2：底數在變，指數不變.

生3：系數為1，形式一樣，都是冪的形式.

師：函數解析式具有的共同特征有：①系數為1且是冪的形式;②指數為常數，固定不變;③自變量位于底數位置.

師：同學們總結的非常好，希望同學們的成績以及獲得的知識可以像函數y=x3的圖象一樣一直上升而且上升的速度很快.圖象特征具體的證明我們將在下一節課學習.

設計意圖 利用學生的自主探究完成冪函數圖象與圖象特征的梳理，一方面提高學生參與度，另一方面引導學生學會透過圖象研究函數圖象特征的方法.注重信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果.讓學生體會重要的數學結論往往都是“看”出來的.學生學會“看”圖象、從而大膽猜想、深入探索.會“看”需要直觀想象素養，建立數與形的聯系，以形助數、以數思形，運用數形結合的思想方法，實現形與數的相互轉化.

2.3.5 學生參與課堂小結，落實直觀想象素養評價

本節課主要講了哪些內容？用到了哪些數學思想方法？

學生小結：

（1）本節課通過實例自己歸納總結出幾個函數解析式所具有的共同特征，然后引入冪函數的定義.

（2）通過例1和例2加深對冪函數的定義內涵和外延的理解.

（3）通過例3和例4學會作冪函數的圖象，并通過圖象總結冪函數的圖象特征.用到數形結合，分類討論，類比的數學思想.

設計意圖 學生小結有利于其整體把握知識點、理解數學思想方法、形成歸納與概括能力.在教師指導下，學生對課堂所學內容的總結是對直觀想象素養培育的檢測，能有效檢驗學生是否在一定程度上已將知識轉化為技能，讓學生成為課堂真正的受益者.

3 結語

大概念是落實數學核心素養的依據.本節課以“數形結合思想”為大概念，對提升學生的直觀想象素養發揮了不可替代的作用.學生在今后的學習中，將研究冪函數的方法和思想遷移到研究指數函數，對數函數以及一般函數上，將看似不同的函數，零散的知識串聯起來，可以使數學的學習更加系統化、結構化.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 李松林.以大概念為核心的整合性教學[J].課程·教材·教法，2020：56-61.

[3] Bruner J S，Lufburrow R A.The Process of Education[M].Harvard University Press，1960.

[4] 余文森.論學科核心素養形成的機制[J].課程·教材·教法，2018，38（1）：4-11.

[5] 李剛，呂立杰.落實學科核心素養：圍繞學科大概念的課程轉化設計[J].教育發展研究，2020：15-16.

[6] 邵超友，崔允漷.指向核心素養的教學方案設計：大觀念的視角[J].全球教育展望，2017，46（6）：11-19.

作者簡介 徐利花（1986—），女，碩士研究生，籍貫：山西大同，中教一級，研究方向：數學學科教學研究.