合數母數素數母數在自然數中的分布圖和應用

（內蒙古包頭鐵路公安處 內蒙古·包頭 014040）

0 引言

本文簡要介紹了母數論的思想。并在論文1①的基礎上，再向讀者介紹一種用圖象法或說網絡法，網盡勾股數的方法。同時告訴讀者幾種新的判定奇素數和合數的方法。通過論文1讀者了解了母數的概念后，這篇論文3將在母數論的層面，描繪出素數母數合數母數在自然數中的分布圖（也叫勾股數網絡圖）。

這個圖反映了素數母數合數母數在自然數中的分布規律。只要首先掌握了合數母數在自然數中的分布規律，對素數母數的認識就一目了然了，進而求解素數，合數在自然數中的分布規律也迎刃而解了。

列舉了網絡圖的3個應用：（1）判定奇素數和奇合數；（2）分解奇合數；（3）求網絡勾股數②…指出網絡圖象魔方一樣變化多樣，遠不止這三個用途。有興趣的讀者自可根據母數論思路去挖掘尋覓。

1 母數的定義和用途

定義1：我們把n叫做奇數2n+1的母數（n∈N），顯然n和2n+1是一一對應的。

定義2：有奇合數M=2d+1，母數d叫做合數母數。d∈D（D是所有合數母數d的集合）。

定義3：有奇素數P=2p′+1，母數p叫做素數母數。p∈E（E是所有素數母數p的集合）。

由定義1、2、3有推論：d是合數母數，2d+1一定是奇合數。p是素數母數，2p+1一定是奇素數。

有了上面的定義，反過來，我們有時把奇數2n+1叫做其母數n的子數。顯然，子數等同于奇數。就是說任何奇數或說子數2n+1都有一個母數n（后面的論文中要用到子數的概念）。

這樣我們就會建立起子數（奇數2n+1）與其母數n，奇合數(2d+1)與其合數母數d，素數（2p+1）與其素數母數p′一一對應的關系：

由此，我們可以按照合數母數在自然數中存在的特殊規律編織出一個能夠網盡合數母數留下素數母數的網絡之篩。同時，這個嚴密的網絡之篩，同樣能網盡勾股數。

2 素數母數合數母數在自然數中的分布圖（也叫勾股數網絡圖）

我們討論母數方程：d=x+y+2xy （x，y∈N，d∈D）

這是一個關于合數母數d的二元二次不定方程。合數母數d是由x，y在正整數范圍內取值多少來確定的。我們知道解方程求X，Y的正整數解較難，反過來x，y取正整數求d易。讀者在論文2③中已經見到過這種合數母數方程。

這種情況下，我們可以把合數母數d的變化拓展為一個依賴于（x，y）的函數。

定義：Zh（x，y）=x+y+2xy x，y∈N）為合數母數函數，它是一個關于x，y的二次函數。

這個函數的定義域我們只限定在正整數范圍內取值：有x，y∈N 所以，

值域：D=｛d（x，y）∣Zh（x，y）=x+y+2xy d（ x，y）∈D｝

或 D=｛d∣d=Zh（x，y） d∈D｝

在 d=x+y+2xy 中，∵ d=x+（2x+1）y （x，y∈N）

我們依次?。?/p>

｛y=1，x=1；｛y=1，x=2；｛y=1，x=3；……｛y=1，x=i

｛y=2，x=1；｛y=2，x=2；｛y=2，x=3；，……｛y=2，x=i

……

｛y=n，x=1，｛y=n，x=2；｛y=n，x=3；……，i｝

把每次得到的d=Zh（x，y）的合數母數值，分別標在下面的直角坐標系xOy中。d落在對應的坐標交點d（x，y）上。定義這樣的正整數格子點叫合數母數點，用d或d（x，y）來表示。這樣我們就會得到圖1所示的《素數母數合數母數在自然數中的分布圖》也即是勾股數網絡圖。

圖1

3 素數母數合數母數分布圖（勾股數網絡圖）的特點

圖1告訴我們：

（1）在x或y軸上的0和正整數點就是我們熟悉的自然數也就是我們現在介紹的母數！可見母數是披著自然數的外衣在顯示自己的存在?；蛘f自然數既有正整數的性質，同時包容有母數的性質。

在母數論層面，我們把X或Y軸叫作母數軸，母數披著自然數的外衣繼承了自然數的正整數性自然數的母數性。并使它們生來就有從骨子里糾纏在一起，同時和而不同地包容一體和諧相處④。例如在X軸上，任意取出一個數4。首先我們可以認定正整數4是一個偶數，可作序數也可作為基數，是它正整數性的體現；同時，4也是一個合數母數，是奇數9的或說是子數9的母數，而且是一個合數母數。這是它母數性的體現…自然數的正整數性或自然數的母數性，它們會在具體應用中自然地一一區分開來。

（2）可以看到，根據 Zh（x，y）=x+y+2xy 或 d=x+（2x+1）y（x，y∈N）取的合數母數點，只要x，y取得足夠多，≤一個充分大數的合數母數或說表示合數母數的點，無一例外地落在Oxy平面Ⅰ象限內部（有興趣的讀者不妨用反證法證明一下）。

就是說，合數母數d組成的集合D，落在xOy象限內部。同時要注意到，這些合數母數點完全包含在兩個邊界x，y軸上。無容置疑，這些合數母數確定的是自然數的一部分。例如圖I中X軸上圈出的數…

（3）大家都已熟悉等差數列的通項公式是：

an=a1+（n1）d′或 an=（a1d′）+nd′（這里 d′是公差）

在圖1中，我們可以規定 y=0，1，2，3，，i…，依次作為第0組，第1組，第2組，第3組，…第i組等差數列的序數。在圖中i=a1d′，這樣x成了對應等差數列的項數n或者說是公差d′的個數。

我們會看到合數母數完全包含在：

序數：x=0，1，2，3，4，…，ii=a1d′

公差：d′=1，3，5，7，9，…，2i+1

首項：a1=1，4，7，10，…，3i+1 或 A1=4，12，24，…，2n2+2n

末項：an≤N的i組等差數列內。（若充分大的正整數N已知）

（4）需要重點指出的是所有等差數列的序數即首項i，公差2i+1，和第一項3i+1或中數2i2+2i都是相互一一對應的關系，反過來也一樣。例如：i=3是第3組等差數列，第一項a1=3i+1=10，公差d′=2i+1=7…等等。

（5）在函數Zh（x，y）=x+y+2xy（x，y∈N）中，x，y互換位置函數值不變，是對稱函數。反映在圖1中，合數母數d關于x=y對稱。在應用中，用第一項依次為4，7，10…，3i+1，第一項還是用4，12，24，…，2i2+2i的等差數列求解合數母數的個數其結果是一樣的。只不過用前者，把由于對稱而重復的合數母數，包含在i組等差數列內，用后者已把重復對稱的合數母數預先篩去罷了。

（6）我們可以把落在x=y上的合數母數A定義作“中數”。當x=y=n時，中數An=2n(n+1)，它的數學定義是一個奇數（即子數）的母數n和其繼數乘積的2倍叫做該奇數母數n的“中數”。如2n(n+1)是奇數（也叫子數）2n+1母數n的“中數”。簡言之，每一個子數必定對應一個母數；每一個母數必定對應一個中數。前面也說過它們都是相互一一對應的關系。

顯然，在 x=y=n 時，當取 n=0，1，2，3 ，4，…n 時，對應的中數分別是：

0，4，12 ，24，40…2n（n+1）….這個合數母數列我們把它叫作中數列需要指出的是，0雖也是母數，也是中數，但不是合數母數，后面的論文進一步論述。在圖1中，為了醒目，把除了0以外的中數用粗黑體字標出，并紅斜線貫穿。

通過對稱性，我們可以把圖1中，紅色對角線和Y軸相夾的與另一側和X軸相互對稱的合數母數全部篩去（圖中用＝號劃去的數）…

4 合數母數分布圖（勾股數網絡圖）的應用

4.1 直觀地判定素數和奇合數

（1）在母數論中，把圖1的橫坐標X軸稱作母數軸。母數軸是由任意奇數2n+1的母數 n組成的。我們可以任意找一個數n，如果n在合數母數分布圖1的象限以內，2n+1就是奇合數。如果n不在分布圖內，2n+1就是素數。例如，15的母數是7，7顯然在合數母數分布圖中是合數母數，∴15就是合數。11的母數是5，5不在合數母數分布圖中是素數母數，∴11就是素數…顯然，我們是先把15，11視作正整數而且是一個奇數，然后根據定義找到它們的母數7和5，進而在分布圖中進行比較…同時直觀地顯示出了：在母數軸中，自然數的正整數性和自然數的母數性交融一體包容一身的二象性質。

在圖1中，還可以把母數軸上的母數和象限內的母數比較著看。例如，4，7，17它們同時在母數軸上和象限內都存在，∴它們是合數母數，由定義它們對應的子數或說奇數9，15，35 自然都是奇合數。而 1，2，3，…8，9…14…只在母數軸上存在，∴都是素數母數，它們對應的數 3，5，7，…17，19，…29…自然是素數…

（2）圖1中取x=y右上方的合數母數點（含x=y上的點），即x=y和母數軸相夾的合數母數點（不含母數軸上的點）。如果，所取的合數母數是唯一的，即是所取圖中沒有重復出現的母數。那么，這樣的合數母數的坐標點，就是素數母數 p′。

例如，4（1，1），7（1，2），17（2，3），…，d（x，y）等?！?對應的x，y的坐標點分別都是素數母數p′，∴2p＇+1是素數。如上2×1+1=3；2×2+1=5；2×3+1=7 ，…對應都是素數。

4.2 分解奇合數

在合數母數分布圖中任找一個合數母數d（x，y），橫坐標x，縱坐標y的值，就是這個合數母數所對應的奇合數的兩個奇數因子的母數。

例如，已知奇數15的母數是7，又知7的坐標7(1，2)；∴15= （2×1+1）（2×2+1）=3×5 ；又如，有奇數 45，知母數 22（1，7），∴45=3×15；同時有22（2，4），∴45=5×9，其中 7（1，2）；4(1，1)∴對應有 15=3×5；9=3×3；∴45=3×3×5…等等。

4.3 求勾股數

前面說過用分布圖求勾股數時，把分布圖圖1叫作勾股數網絡圖。因為它像網絡一樣，能網盡我們想要的勾股數。正如圖1中，用紅線把落在圖中所示的直角三角形三個頂點的合數母數點連接起來。這樣在xOy平面內的每一個合數母數點d（不含X，Y軸），都在不同的直角三角形的三個頂點上。直角三角形兩個銳角頂點的合數母數分別是中數A1和A2。

因為勾股數出自平面幾何的直角三角形，在圖1中我們示用的R t△A1-d-A2來演示，如何使用論文1的勾股基本定理，求出我們需要的勾股數。

4.3.1 求基本勾股數

最便捷的是，從母數軸X上取任意母數，每一個母數都可以確定一個子數。以這個子數為勾，就可以求出由它的母數確定的基本勾股數。

步驟如下：例如第一步，我們取帶圈的④⑦兩個合數母數，它們對應的子數必然是奇合數9和15。分別以9和15為勾；第二步，順著以④⑦為首項為序數的兩個直列等差數列，在X=Y軸即中數軸上找到4和7的中數40和112；第三步，根據基本勾股定理的公式Z1弦分別為股+1即41和113。這就很直接直截了當地寫出所求的基本勾股數分別為9，40，41和15，112，113。

我們也可以在圖標的R t△4-7-12中：∵74=3，以3為勾；3的母數為1，找到1的中數是4，以4為股；4+1=5，以5為弦；∴3，4，5（中數+1），為所求勾股數；

同理：在R t△12-17-24 中：∵1712=5，∴5 的母數為 2，找到2的中數12為股，弦=中數+1=13，∴5，12，13為所求勾股數；

同理：在R t△A1-d-A2中，我們只要依中數從小到大的順序，取和中數差一位的合數母數d畫出R t△，∵dA1=d＇（公差），這個公差對應的公式正是2n+1，∵d＇=2n+1，∴我們有論文1的勾股基本定理作保證：任意一個大于1的奇數（勾）的平方與該奇數母數對應的“中數”（股）的平方和，等于此“中數”后繼數的平方。表示作：

來保證我們這樣做的正確性。這樣，在網絡圖中可以簡單準確地求出基本勾股數。

4.3.2 求基本勾股數的倍數勾股數

求這樣的勾股數，一般只要原勾股數各項，同時乘以一個整數倍數就可以了。但這里說的是從圖1的網絡圖中，也可以求出它們：

例如，在Rt△4-10-24 中：∵104=6 ，6=2（倍數）×3（公差d′），3 的母數是 1，1 的中數是 4，∴ 由 3 為勾有 3，4，5.

∴3×2，4×2，（4+1）×2 即 6，8，10 為所求勾股數。

同理在R t△12-27-60 中：∵27 12=15 ，15=5×3 ∴5×3，12×3，（12+1）×3

又有 15=3×5 ∴4×5，5×5，（5+1）×3

即 15，36，39 和 15，20，25 都為所求勾股數…可見可以網盡倍數勾股數。

4.3.3 求網絡勾股數

用網絡圖除了能求出前兩種勾股數外，還能求出網絡勾股數。在網絡圖中取x=y右上方的任一個合數母數d，以合數母數d確定的奇合數2d+1為勾，以三角形兩頂點的兩個中數之差A2A1為股，那么，兩個中數之和的繼數即A1+A2+1一定是弦。利用這種方法在網絡圖中可以網盡第三種勾股數。

例如在Rt△4-7-12 中：勾為 2×7+1=15，股為 124=8，弦為4+12+1=17

∴15，8，17為所求網絡勾股數。

又如在R t△12-22-40 中：勾為 2×22+1=45，股為40 12=28，弦為 12+40+1=53

∴45，28，53為所求網絡勾股數。

在R t△4-22-112 中：勾為 2×22+1=45，股為 1124=108，弦為4+112+1=117

∴45，108，117為所求的倍數勾股數，各項除以9，得一組基本勾股數 5，12，13…

網絡圖所演示的求網絡勾股數的正確性，也是由論文1勾股基本定理系2。取任意兩組不相等的基本勾股數，a1，b1，c1和 a2，b2，c2可組成新的勾股數：a1a2，│b2b1│，b2+c1來保證的⑤，

∵c2=b2+1，a1a2=2n+1?！郻2+c1=b1+b2+1

實際上，用網絡圖求勾股數的原理是：運用合數母數分布圖，把論文1的勾股基本定理重新更直觀的演示了一遍…

5 結束語

最后，需要指出的是，我們依賴的合數母數函數Zh（x，y）=x+y+2xy，它是一個關于x、y的二次函數。當且僅當x，y在正整數范圍內取值時，才有合數母數方程d=x+y+2xy。當x，y的定義域擴展到實數時，二次函數的幾何意義是空間曲面。我們利用這一點，會演繹出：母數方程n=x+y+2xy無正整數解時n就是素數母數。在網絡圖I中我們已經清楚地看到了這一點。

所以，合數母數d應該是空間曲面上的正整數點，在xOy平面上的投影。反映了合數母數d和變量x，y在空間曲面的結構邏輯中的純數量關系。

而這些空間曲面結構邏輯和數量關系的抽象，正是同時包含加法和乘法的最優也是最簡化的模式2n+1分解時的產物！它們是形成母數論抑或說網絡數論的根據。至于網絡圖I中用紅線標出的Rt△只是用來演示如何用母數理論求勾股數的。所以，那些圖標邊長與圖上R t△實際邊長是相悖的，因為它們不在一個平面內。但它卻能從母數的層面準確地把握住了平面幾何中的勾股數。

在圖I內，合數母數d（x，y）至少有兩個正整數解x和y，這恰恰同時是合數母數 d對應構造的奇合數2d+1所分解的至少兩個奇因數的母數！在整個分解過程中，我們既看到了也感覺到了自然數的正整數性又同時看到了感覺到了自然數的母數性。隨著母數的推廣應用，我們會逐步體會到母數的包容性，母數的糾纏性，母數的創造性…母數的性質必然折射出更廣義的哲學思想。例如，包容就應該升華為廣泛的哲學概念，這是后話。

為了區別以往用初等數論和平面幾何的方法求解合數、素數、勾股數的方法，我們能否把用母數理論求解素數合數及勾股數的方法叫作母數論或網絡數論。

另一方面，自然用這種方法求出的勾股數叫網絡勾股數。狹義上說，網絡勾股數是特指奇合數為勾，勾股弦互質，弦—股>1的那些勾股數。

符號說明：N為不含0的自然數也即正整數集n∈N；P為奇素數奇素數集 p∈N；p′為素數母數元素，E為素數母數集p′∈E；奇素數 P=2p′+1；d為合數母數元素，D為合數母數集 d∈D；合數（奇合數）M=2d+1。

注釋

①⑤論文1系參考文獻[1]所指的論文。

②網絡勾股數，中數，中數列等概念見參考文獻[1]的論文。

③論文2系參考文獻[2]所指的論文。

④關于自然數的正整數性母數性，以及下面提到的母數蘊藏的哲學思考，在論文4《我對自然數的第三次認識》中將深入闡述。母數的糾纏性包容性等概念見參考文獻[2]所的論文。