放任局部 收獲成功

安徽省霍邱縣第一中學(237499) 馮克永

高中階段數學核心素養包括:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.靈活運用是檢驗師生數學素養高低的試金石.處理好局部與整體的關系是邏輯推理素養的重要體現,很多師生特別關注問題的整體破解,忽視根據題目的結構特征巧用局部解題.巧用局部破整體就像是一眼活水,只要我們做一個有心人,放任局部,大膽嘗試,勇于探索,?？蓮闹芯鹑⌒碌慕夥?提升自己的數學素養.茲舉數例,以饗讀者.

例1已知函數則

解析自變量成等差數列的函數值之和聯想到倒序相加求和策略,需探尋f(x) +f(1?x) 的值是多少,由化局部得f(x+兩式相加得= 2,進一步得到f(x)+f(1?x)=2,所以

評注化整體為局部,利用局部奇函數的特征進行兩式相加,再倒序相加是破解此題的關鍵,很值得回味.

例2已知x≤ 0,y≤ 0,且x+y= 2,求證:x2y2(x2+y2)≤2.

解析由x≤0,y≤0,x+y= 2 得0 ≤xy≤1和x2+y2≤= 2,因不等式反向而調整,將x2y2(x2+y2)化為兩個局部xy與相乘,因0 ≤xy≤1 和2,所以x2y2(x2+y2)≤2.

評注均值不等式及局部運算是破解此題的利器,師生要有強烈的局部運算意識.

例3若數列{an}滿足:a1= 3,=2(n≤2),a40=81,求通項公式an.

解析直接去分母有點繁,將2 及分式分開進行局部處理得可以快速得到an+1?an=an ?an?1,所以數列{an}是以3 為首項,d為公差的等差數列,由a40= 3+39d= 81 得d= 2,所以an=2n+1.

評注根據條件等式的結構特征,妙用局部獲巧解,凸顯局部的解題功能.

例4若函數f(x) = 2a2lnx+?x(a >0)存在兩個極值點x1,x2,記過點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線的斜率為k,證明:

解析:由f′(x) == 0 有兩個不等的正實根x1,x2得x1+x2=不妨令0

代入化簡得k=與x1,x2不和諧,利用局部大于整體進行放縮即證成立,對其化簡得則t ?2a2lnt ?令g(t) =t ?2a2lnt ?則g′(t) = 1?t>1,所以g′(t)>0,g(t)>g(1)=0,所以

評注利用局部大于整體進行放縮妙不可言,很值得關注.

例5求函數f(x) =的最大值.

解析此題sin 2x,sinx,cosx共存,整體利用換元法或導數法很難處理,順著展開后的數字特采用局部因式分解得

評注順著展開后的數字特采用局部因式分解,再利用兩部法破解最值是神來之筆,耐人尋味.

例6當x≤0 時,求證:ln2(1+x)+e?2x+sinx≤

解析只要ln2(x+ 1)、e?2x與sinx共存,直接作差構函數證明很難.“和必分”轉化為證明三個不等式:(1)ln2(1+x) ≤;(3) sinx≤x同時成立即可.

由ln2(1+x) ≤得ln2(1+x)?≤0,令f(x)=ln2(1+x)?則

令g(x) = 2(1+x)ln(1+x)?x2?2x,則g′(x) = 2 ln(1+x)?2x,令h(x) = 2 ln(1+x)?2x,則h′(x) =所以g′(x) =h(x) ≤h(0) = 0.于是f′(x) ≤f′(0) = 0,所以f(x)在[0,+∞)上為減函數.于是f(x)≤f(0)=0,所以(當且僅當x=0 時等號成立)(1)成立.

由e?2x≤及1 +x >0 得ex≤1 +x,令F(x) = ex ?1?x,則F′(x) = ex ?1 ≤0.所以F(x)在[0,+∞) 上為增函數,于是F(x) ≤F(0) = 0,所以(當且僅當x=0 時等號成立)(2)成立.

由sinx≤x得sinx ?x≤0,令k(x) = sinx ?x,則k′(x) = cosx ?1 ≤0,k(x) 在[0,+∞) 上為減函數,于是k(x) ≤k(0) = 0,所以sinx≤x(當且僅當x= 0 時等號成立)(3)成立.

由(1)+(2)+(3)得ln2(1+x)+e?2x+sinx≤+x成立.

評注整體作差構函數證明較難,利用加法化整體為局部,各個擊破是思維的一大亮點,應引起高度重視.

以上數例可以看到局部的解題魅力,邏輯推理的解題應用有廣闊的研究空間,筆者在此方面只做了膚淺的探索,還未進行深層次的研究,期待大家的進一步探索.