分部積分法的解構和重構
——兼簡論不定積分的定義和求不定積分的思想方法與一般思路

董春芳，石德剛

(天津工業職業學院,天津 300400)

分部積分法是一元積分學中求積分時常用的重要方法。初學者在學習的過程中往往對如何選取u與v′以及在什么情形下需要運用分部積分法感到困惑，因此分部積分法是學生學習一元積分學時感到難以掌握的積分方法。本文對分部積分思想的理論依據進行解構和重構，總結出選取u與v′的原則和運用分部積分公式的模式。下面舉例說明如何運用分部積分法求積分，以幫助初學者更好地學習和掌握分部積分法在積分運算中的運用。

一、分部積分公式

相應于兩個函數乘積的微分法，可以推出另一種基本積分法——分部積分法，分部積分法主要用于求被積函數是兩類不同函數的乘積且不具備湊微分法特征的積分。

設函數u(x)、v(x)具有連續導函數，由函數乘積導數、微分公式有(u·v)′=u′v+v′u、d(u·v)=vdu+udv，移項得u·v′=(u-v)′-v·u′、udv=d(u·v)-vdu(1).

對式(1)兩端求不定積分，得不定積分的分部積分公式

對式(1)兩端求從a到b的定積分，得定積分的分部積分公式

二、選取u與v′的原則與分部積分公式運用模式

用分部積分公式求一個函數的積分，需要將被積函數看作是兩個函數u和v′的乘積，這就有個以什么函數為u，從而定出什么是v′的問題。因此正確地選擇u與v′是運用分部積分法的關鍵所在。

(一)u經過求導，使u′變得簡單，而v′和v的類型相同或復雜程度相當，例如，當被積函數為冪函數(代數函數)和三角函數或指數函數的乘積時，設冪函數(代數函數)為u(參見例1、例2)。

(二)u經過求導，使u′的類型與v的類型相同或相近(參見例5)，例如，當被積函數為冪函數(代數函數)和對數函數或反三角函數的乘積時，設對數函數或反三角函數為u(參見例3、例4)。

(三)被積函數為不便于拆分為其它函數的單個函數[f(x)]n(n∈N+)時，一般設u=[f(x)]n

(n∈N+)(參見例6、例7)；若[f(x)]k(1

解 設u=x，則v′=sinx，且u′=1，v=-cosx，從而

解 設u=x，則v′=e-x，且u′=1，v=e-x，從而

當分部積分公式運用比較熟練后，就不必寫出u和v′，心里默記住u是什么和v′是什么即可直接使用分部積分公式。

三、簡論不定積分的定義與用公式及用方程組求不定積分

(一)簡論不定積分的定義

(二)用公式求不定積分

該類型題的特點是，對公式左端的兩個不定積分中的任何一個不定積分分部積分就可消去另一個不定積分，但是若對兩個不定積分都分部積分，則可能兩個不定積分都難以求出。

由該結論，要求I1(或I2)，可以選擇I2(或I1)，若能較易求得I1-I2，則不僅可求得I1(或I2)，而且同時求出了I2(或I1)。

本類型題的特點是，單獨求I1(或I2)都需用兩次分部積分公式并產生循環情形，即等式的右邊出現KI1(或KI2)，再移KI1(或KI2)至等號左邊來求出I1(或I2)。

四、用分部積分法建立遞推公式

當被積函數含有以正整數n為指數的因子時，求該積分時一般都用分部積分法建立遞推公式(使用遞推公式計算積分層次清楚，便于檢查，且不易出錯)。

=-cscn-2xcotx-(n-2)In+(n-2)In-2

五、反函數的不定積分和不定積分的分部積分公式的推廣形式

(一)反函數的不定積分

證 由不定積分的分部積分公式與等式x=f[f-1(x)]得

(二)不定積分的分部積分公式的推廣形式

設函數u(x)、v(x)具有直至n+1的連續導函數，則有

……

上面“得”字后各式由下往上依次代入，并保留第一式左端的積分和最后一式右端的積分，即得分部積分公式的推廣形式.

分部積分公式的推廣形式也可以寫成表格形式：

u各階導數uu'u″u?…(-1)n+1u(n+1)v(n+1)的各階原函數v(n+1)v(n)v(n-1)v(n-2)v

解 設u=x2、v?=cosx，則

x2各階導數x22x20cosx的各階原函數cosxsinx-cosx-sinx

當被積函數(兩類不同函數的乘積)中有一個因子為對數函數或反三角函數時，不宜使用分部積分公式的推廣形式。

當上面的表格中同一列的兩個函數的乘積等于所給被積函數的常數倍時，求各階導數與求vn+1的各階原函數的工作就不需要再進行，利用解方程組的方法就可以迅速求得所給積分。

六、用分部積分法建立泰勒公式及泰勒級數的余項的絕對值的上界的估計

(一)用分部積分法建立泰勒公式

高等數學(微積分、數學分析)教材一般都是在微分學中建立泰勒公式，不僅過程較為繁雜，而且難度較大。但是用分部積分法建立泰勒公式的過程是較為簡單的。

式(6)稱為積分型余項.

證 只證x0x的情形類似可證).

由牛頓—萊布尼茨公式和分部積分法(連續用)得

……

式(7)稱為柯西型余項.

式(8)稱為拉格朗日型余項，

(二)泰勒級數的余項的絕對值的上界的估計

用函數f(x)的泰勒多項式近似代替函數f(x)，需要估計誤差(泰勒級數的余項Rn(x))。從泰勒公式的證明可以看出，導出Rn(x)的表達式的過程較為繁雜。但是從泰勒公式的證明也可以看出，證明泰勒公式事先并不需要知道泰勒級數的余項Rn(x)的表達式，這啟示在不知道泰勒級數的余項Rn(x)的表達式的情形下，也可以給出|Rn(x)|的上界的估計。

證 只證x0x的情形類似可證).

……

七、不定積分的思想方法和一般思路：

(一)求不定積分的思想方法

原函數定義是非“構造性”的，原函數定義只表明，若函數F(x)是函數f(x)的一個原函數，則有F′(x)=f(x),因此，根據原函數定義并不知道從函數f(x)出發，經過怎樣的運算能求得函數f(x)的原函數F(x)，即原函數定義并未明確指出求原函數的途徑，從而求不定積分(除少數標準類型外)并沒有一個固定的格式可循，往往帶有試探性質。

以上闡述表明積分法雖然是微分法的逆運算，但是求不定積分的思想方法與求導數的思想方法有本質的區別，且求一個初等函數的不定積分遠比求一個初等函數的導數困難得多。下面簡述求不定積分的思想方法。

1．將要求的不定積分設法轉化成基本積分表里已有的積分(簡稱為表列積分，它的答案是已知的)，是解答不定積分問題必須明確的一個基本原則。

2．熟悉和牢記將要求的不定積分轉化成表列積分的三種積分法——直接積分法、換元積分法、分部積分法的使用方法與適用范圍，一般來說，對被積函數作適當的恒等變形后，才能充分使用這些方法,而且每種方法的運用，往往視具體題目而定，有時解答一個題目僅用一種方法還不行，需要綜合使用這些方法(參見例2、例6、例14、例15)，因此，較多且準確的掌握各種積分類型的特點，以及與之相適應的積分方法(特別是針對被積函數特點而引入的各種換元積分法)，成為解答不定積分問題的關鍵所在。

(二)求不定積分的一般思路

必須指出的是，只有多做練習，且在練習中隨時注意被積函數的類型和特點，并體會轉化被積函數的方法，才能增強觀察的敏銳性和積淀成功的經驗，從而提高簡潔、準確、迅速地求解不定積分的能力。