讓靜止的圖形動起來
——《滾動中的圓》教學設計與意圖

文|章愷欣 吳玉蘭

在《圓的周長與面積》單元學習結束時，對一個班40名學生進行了測查，其中“已知圓的面積是12.56cm2，求圓的周長”這一題，只有3人不能正確解答；而“一個直徑為1cm的圓，繞著長是5cm，寬是3cm的長方形外側無滑動地滾動一周，求圓心經過的路線長度”這一題，僅有4人能正確解答?？梢?，學生已熟練掌握圓周長與面積計算的基本公式，能正確解答靜止狀態下圓的周長與面積的相關問題。但當圖形運動變化后，學生就很難建立運動前后圖形的方位和相互的位置關系，想象圖形的動態變化過程成了學生解決問題中的一大難點。

如果能將靜止的圖形動起來，是否能降低學生思考的難度，搭建學習的橋梁？是否利于學生積累活動經驗，培養空間觀念？于是，我們進行了嘗試，將圓繞多邊形外側無滑動滾動的問題匯總成一節數學思維拓展課，借助微課動態呈現圓的運動過程，將空間想象與動態操作相結合，力圖培養學生的空間觀念和推理能力，積累活動經驗。

【教學過程】

一、運動中引入，奠定基礎

1.開門見山，揭示課題。

師：今天我們一起來研究滾動中的圓。（板書課題）

2.出示線段OA。

師：這兒有一條線段，如果把它繞著定點O旋轉一周，會形成什么圖形？

生：圓或圓面。

師：（幾何畫板演示）確實，動點A經過的軌跡是一個圓，線段OA運動后會形成一個圓面。

【設計意圖：本環節從簡單的線段的運動引入，讓學生初步體會點與線運動后會形成新的圖形，為后續的研究奠定基礎。同時，先想象，再動態展示變化過程，利于培養學生的空間想象能力?！?/p>

二、操作中探究，突破難點

1.想象圓沿直線滾動。

提出問題：還是這個圓，如果沿著這條直線向前滾動，想象一下，圓心A經過的路線會是怎樣的，能用手比劃一下嗎？如果圓滾動了一周，那么圓心經過的路線會有多長呢？

在學生比劃的基礎上用課件動畫演示圓滾動的過程，得出“圓心經過的長度=圓的周長”。

2.探究圓沿長方形外側滾動。

（1）提出問題。

師：如果這個圓沿著長方形的外側滾動一周，圓心經過的路線會怎樣？

（2）獨立研究。

師：老師為大家準備了四份不同的學習任務，分別是智慧卡A、B、C、D。

活動建議：

①先看智慧“A卡”，如果還有困難，可以看“B卡”，以此類推。

②選擇一張適合自己的智慧卡進行研究，智慧A、B、C卡任務相同。

學習任務：

如圖所示，一個直徑為1cm的圓，繞著長是5cm，寬是3cm的長方形外側無滑動地滾動一周。

任務1：畫出圓心經過的路線。想一想，圓心經過拐角時，會形成怎樣的路線呢？

任務2：試著求出圓心經過的路線長度。

智慧D卡將任務1調整為：畫出圓心經過的路線。想一想，圓心經過拐角時，會形成怎樣的路線呢？可以先用材料包中的小圓片擺一擺，滾一滾，再畫一畫。

不同層次的智慧卡提供了不同的配圖，分別如下：

智慧A卡

智慧B卡

智慧C卡、D卡

（學生選擇適合自己的學習任務卡進行獨立研究）

（3）四人小組交流。

交流建議：選D卡的先說，然后按C、B、A卡的順序進行補充；推選一人準備匯報。

（4）全班交流。

師：哪個組愿意上來與大家分享你們的研究成果？

生：我們覺得圓心經過的路線的長度是一個大長方形的周長。這個大長方形長5+1=6cm，寬3+1=4cm，周長是（6+4）×2=20cm。所以圓心經過的路線長度是20cm。

生：我們組有不同的想法。我們覺得圓在長方形頂點處滾動時，圓心經過的路線不是直的，是有弧度的，像這樣。所以圓心經過的路線應該是原來長方形的周長再加上一個直徑為1cm的圓的周長。

師：看來目前大家有兩種不同的想法，到底哪種是對的呢？

師：請兩方的支持者各自說自己的理由，并請選擇智慧D卡的學生用小圓片演示圓在頂點處的滾動過程，其他同學想象圓心經過的軌跡是怎樣的。

師：剛才大家都想象了圓心經過的路線，爭議最大的就是圓在長方形頂點處無滑動滾動時到底會形成怎樣的路線。接下來，我們就一起來看一段微課，看看正確的路線到底是怎樣的。

（播放微課，微課里動態展示圓的運動過程，并結合運動過程顯示圓心經過的軌跡。同時通過與原來長方形的比較以及四個扇形的剪拼，發現“圓心經過的路徑的長度=長方形的周長+圓的周長”）

【設計意圖：在前期的測查中發現全班40名學生中，只有4人能正確解答圓沿長方形一周無滑動滾動的問題。在不能正確解答的36人中，有6人能正確畫出運動軌跡，但計算錯誤；有23人嘗試畫出軌跡，但不能正確描畫圓心在長方形頂點處的運動軌跡；剩余的7人畫不出軌跡，沒有任何解決問題的方法?？梢?，面對同一個問題，學生有著不同的學習基礎與能力。因此，本環節借助“分層智慧卡”為學生提供了不同提示的圖示，并為學習能力最弱的學生提供了圓片，使他們能借助操作想象運動過程?！胺謱又腔劭ā钡脑O置，為不同層次的學生提供個性化的幫助，使每一層次的學生都能借助“分層智慧卡”獨立研究并獲得成功。

自主研究后，本環節還安排了交流過程，呈現學生不同的研究成果。在雙方辨析的基礎上播放微課，動態演示運動過程，呈現運動軌跡。這樣的處理，使學生先經歷想象、審辯的過程，再借助微課，使靜態的圖形動起來，很好地建立了圖形運動前后相互的位置關系，更利于學生高階思維與空間觀念的培養?！?/p>

三、猜測后驗證，得出規律

1.初次研究，提出猜想。

師：剛才小圓沿著長方形外側滾動一周，圓心經過的路線長度等于長方形的周長加上圓的周長。那如果沿著三角形、五邊形的外側無滑動滾動，圓心經過的路線長度又會有多長？

（學生提出各種猜想）

2.再次研究，發現規律。

（1）獨立研究。

研究建議：同桌分工，一人研究一個圖形；畫一畫、算一算，有困難可以動手滾一滾；完成后可以向同桌介紹研究成果。

（2）全班交流。

生：我研究的是圓沿三角形外側無滑動滾動，路線是這樣的。我發現圓心經過的路線是“圓的周長+三角形的周長”。

生：我研究的是圓沿五邊形外側無滑動滾動，路線是這樣的，我發現圓心經過的路線是“圓的周長+五邊形的周長”。

（3）驗證。

播放微課，驗證研究結果是否正確。以下是微課中的部分畫面。

（4）質疑。

師：看完微課，大家還有什么要問的嗎？

生：微課里幾個扇形拼在一起看上去正好是一個圓。是不是真的是一個圓？會不會有誤差？

生：如果不拼，能驗證剩下的幾個扇形合在一起是一個圓嗎？

師：有人能解決嗎？

生：來看我畫的這幅圖。

生：這是一個周角，等邊三角形的每個內角都是60°。360°-60°=300°，再去掉邊上兩個長方形的兩個直角，300°-90°×2=120°。所以每個扇形圓心角都是120°，120°×3=360°，正好可以拼成一個圓。

（五邊形研究過程略）

小結：小圓沿著長方形、等邊三角形和五邊形外側無滑動滾動一周，圓心經過的路線長度都是圓的周長加里面圖形的周長。

3.應用規律，進行推理。

師：如果沿六邊形、七邊形等的外側無滑動滾動，圓心經過的長度又會是怎樣的？現在你有什么想說的？

生：圓沿任意多邊形外側無滑動滾動，圓心經過的路線長度=圓的周長+任意多邊形的周長。

【設計意圖：在突破了“圓心在圖形頂點處滾動時的路線”這一難點后，本環節設計了圓沿任意多邊形外側無滑動滾動的研究，從簡單的長方形，逐步走向三角形、五邊形以及其他多邊形，從特殊逐漸走向一般，引導學生經歷“想象猜測、操作驗證、歸納發現”的過程，體會數學思想。同時，從“想象、畫路線”“微課動態操作”逐步走向用數學的方法說理，提升學生用數學知識解釋、說明問題的能力，培養學生的高階思維。這樣的“想-做-想”的過程，也利于學生空間觀念的培養?！?/p>

四、梳理中小結，練習提升

提出新問題：研究到這兒，你有什么想說的？你還有什么想研究的？

生：我還想研究圓在圖形內部滾動，圓心經過的路線是不是也會有規律。

生：我還想研究圓在圖形內部或外部滾動時，掃過的面積是怎樣的。

指明后續研究方向：運動中的圓還有很多值得我們研究的地方，有興趣的同學課后也可以像今天這樣，想一想，畫一畫，遇到困難也可以動手做一做，看看是否存在規律。

【設計意圖：本課的最后，讓學生繼續提出還想研究的問題，將學習內容進行了延伸，從圓在圖形外側的滾動走向圖形內側的滾動，從周長的研究走向面積的探索，激發學生繼續探究的欲望。同時，教師小結中的“想一想，畫一畫，做一做”，也是學習方法的梳理，為后續研究奠定基礎?！?/p>