二年級教學“乘法分配律”的實踐與思考

文|吳銳潔

“乘法分配律”的教學在整個小學數學教學中十分重要，承載著重要的數學模型，一般安排在中高年段系統學習，旨在引導學生理解運算律的意義，使一些運算簡便，提高運算能力。然而，通過訪談我們發現：學生對乘法分配律的掌握情況卻不盡如人意。到底是什么原因導致這種情況的出現呢？大量的文獻資料表明：一是模型理解問題，學生著眼于方法的解釋“先求什么再求什么”而非方法間算式的內在關系的闡釋，導致規律的機械記憶而沒有理解規律的內涵本質；二是難點集中問題，五個運算律的系統學習共同奔著“簡算”的目的，這種高容量的學習方式造成學生對抽象的運算律的混淆，也導致“乘法分配律”的本質意義和價值得不到充分體現；三是練習指向問題，大量變式練習的過早干擾使學生誤入學習乘法分配律就是“為了簡算”的怪圈，學生的思維失去了著力點，難以在腦海里將各種“形似而神各異”的習題轉化成具有運算律基本結構特點的算式。

能否讓學生對“乘法分配律”的認知逐步遞加從而分散難點、把握重點呢？查看教學參考書，書中提到運算律的學習第一階段沒有出現“乘法分配律”的概念，是自然滲透、自覺運用階段，那我們能不能讓書中的這個建議更加顯性化些呢？查看教材，以北師大版為例，二年級“6～9的乘法口訣”單元中，通過點子圖、線段圖來說明像“7個6就是5個6加2個6的和”這樣的問題，通過“做乘法表”引導學生溝通理解口訣之間的內在聯系，探索乘法表規律，這些已經開始滲透乘法分配律了；在三年級學習整數乘法計算方法的過程，事實上也在不斷借助點子圖法、解釋表格法、豎式計算的步驟體會基于乘法分配律的計算道理；此外，在幾何領域，三年級學習長方形的周長和面積變化中，也隱含著“乘法分配律”的幾何模型。在正式學習“乘法分配律”之前，教材已有多次運用乘法分配律解決問題。

那么，在保持現有教材體系的基礎上，如果我們在四年級或三年級學習“乘法分配律”之前做適當的滲透，是不是可以更充分體現“乘法分配律”的本質意義和價值，同時也使學生更好地理解和運用呢？因此，本研究聚焦到二年級開展“乘法分配律”滲透的“縱向同課異構”教學，以探尋學生學習的可能性。

【教學過程】

在教學“乘法口訣”時滲透乘法分配律，借助直觀實物模型抽象成點子圖模型的“分開看”與“合并看”——意義的“分開說”與“合并說”——算式的“分開算”與“合并算”來實施，教學過程如下：

一、課前小游戲：分開說與合并說

1.男生好，女生好。（這是分開說）→男生女生好。（這是合并說）

2.我愛閱讀，我愛運動?！覑坶喿x和運動。

3.我左手有3袋蘋果，我右手有4袋蘋果?！覂芍皇忠还灿校?+4）袋蘋果。

【設計意圖：以生活中“分開說與合并說”的小游戲拉近與學生的距離，緊密聯系本節課乘法分配律“分”與“配”的特征，激活學生對乘法分配律的生活經驗，激發學生的學習熱情?！?/p>

二、圖式對接：看——說——算

1.實物蘋果模型，滲透算律。

（1）觀察下面的紅蘋果和青蘋果，并根據圖填空。

（2）把圖1和圖2合在一起成圖3，請問：現在一共有多少個蘋果？

追問：你是怎么得到16的？8是怎么來的？有幾個2？對應的乘法算式怎么寫？請你用一句口訣快速計算。

學生在充分交流基礎上小結：3個2加5個2得到（3+5）個2，也就是8個2，對應的算式是3×2+5×2=（3+5）×2=8×2，可以用口訣“二八十六”快速地得到結果。

【設計意圖：本環節從可視化蘋果實物圖模型的“分開看”出發走向“合并看”，喚醒學生乘法意義“幾個幾”的學習經驗，生成教學所需，初建模式。通過直觀性的模型圖使學生建立圖式對接，積累可視性學習經驗，滲透乘法分配律?！?/p>

2.對比延伸模型，豐富算律。

（1）仔細觀察下面的蘋果圖，看圖寫出幾個幾、列出算式并寫出口訣。

（2）這兩幅圖有什么聯系，你是怎么想的？

請你結合“幾個幾+幾個幾”來解釋說明，并用一個等式來表示它們之間的關系。

【設計意圖：本環節既是對上一環節的鞏固，也是對上一環節的延伸，學生在對比觀察中發現，有的可以豎著合并，有的可以橫著合并，這樣的設計讓教學內容更具寬度?！?/p>

3.抽象點子模型，明晰算律。

請你仔細觀察，蘋果抽象笑臉，笑臉抽象點子圖，這幾幅圖有什么區別？

【設計意圖：本環節通過實物模型的動態變化，直觀形象，過渡到點子圖這一半抽象模型的呈現，讓學生在對比中厘清不同模型圖本質上是一致的，從而在腦海中建立起多元化又相互關聯的模型表征，有效積累表象操作，為后續轉向符號操作的學習打好基礎?！?/p>

4.選擇模型，深化算律。

（1）請你在圖1、2、3中選擇兩幅圖，使它們合并在一起后能用類似3×2+5×2=（3+5）×2=8×2的算式表示。

（2）為什么你不選擇圖2和圖3合并在一起？

（3）圖1和圖3一定能拼成功嗎？

【設計意圖：本環節直接選用點子圖讓學生尋找可合并的模式，關注學生基本活動經驗積累的學習，學生在合并擺的過程中逐步明晰模型特征。同時，以反例沖擊，為歸納算律埋下伏筆，讓教學內容更具深度?！?/p>

5.歸納小結，表達算律。

觀察算式，你發現了什么？兩個分開算的算式，怎樣才能拼成一個乘法算式呢？

學生觀察算式特點交流后小結：兩個分開算的乘法算式，如果有一個相同的乘數，可以合并成一個乘法算式。

【設計意圖：在經歷知識的形成和發展過程后，自主觀察發現算式的特征，采用不完全歸納法小結，并學會用自己的語言表達算律，將內在思維活動外顯出來，提高探索數學問題的興趣?！?/p>

6.練習鞏固，應用算律。

請你用一句口訣算出下面的算式。

5×7+4×7= 口訣：_______________

9×5+9×2= 口訣：_______________

【設計意圖：兩道簡單的練習對接乘法口訣，探究口訣的內在聯系，從乘法意義角度加深對口訣的理解?！?/p>

三、全課小結，課后延伸

1.今天我們通過模型圖學習了分開算與合并算，你學會了什么？

2.請根據點子圖填空。

（1）這是一幅5行9列的點子圖，你可以橫著或豎著圈一圈，把它分開來研究，并分別寫出幾個幾、列出算式和寫出口訣（可以借助框圖幫助理解）。

（2）你發現了什么？

歸納：一個乘法算式，可以分開成兩個乘法算式再相加，這三個算式中都有一個相同的數。

（3）請你運用“分開算與合并算”的方法計算下列算式，說說你的思考過程。

（9+7）×3= 18×4=

【設計意圖：回顧整理“分開→合并”的學習過程，同時以開放式問題的設計進一步深化由“分開→合并”的過程轉向“合并→分開”的過程，打破學生的思維定勢，拓展學生自主探究的能力，完善對所學內容的理解?！?/p>

【分析與思考】

這樣的教學，教學效果如何呢？我們針對“學生能根據算式特點用乘法分配律對合并型和分開型算式進行計算嗎”做了前測和后測，情況如下：

合并型:前測中正確率達到69.05%，可以看出盡管學生沒有乘法分配律的滲透，但是類似于這種題目的解決還是不錯的，訪談9人，有1人根據數字特點進行選擇，其余8人都是先乘后加得出結果再選擇。后測中正確率是90.05%，提高了21%，訪談18人，有12人已經能直接用乘法分配律合并算，超過66.7%的學生能靈活應用乘法分配律進行解答。

分開型：正確率從前測的35.71%提升到后測的51.2%，訪談中發現，前測中學生大致有兩種做法：一是拆數法，將13拆成10和3或9和4再分別乘3；二是乘法意義法：3個13相加或13個3先算三九二十七，再連續加4個3。后測中情況有好轉，這部分學生幾乎都用拆數法結合乘法意義來解釋，也就是活學活用“乘法分配律”進行解題。

我們在思考：如果給二年級學生滲透“乘法分配律”這一內容，有何獨特的價值？經過實踐，我們認為有以下三點：

1.積累了學習乘法分配律的基本活動經驗。

借助不同的模型讓學生在不同年級多元滲透乘法分配律的意義，從已有的模型如點子圖、線段圖、面積模型等喚醒學生對知識的直觀理解，積累直觀的操作活動體驗，讓學生學得清楚，悟得明白。

2.助力學生對口訣及乘法豎式等的深度理解。

查看教材，二三年級學習了乘法口訣、乘法豎式、長方形周長及面積變化中都隱含著乘法分配律。如果在二年級學習乘法口訣時滲透乘法分配律分與合的意識，溝通知識之間的關聯性，一方面探究了口訣之間的內在聯系，使口訣的記憶不再割裂，將相鄰或不同口訣之間進行鏈式記憶；另一方面加強了學生對多位數乘法豎式算理的深度理解。

3.逐步感知，分散學習難點。

“乘法分配律”為何成為學生的“負擔”？原因之一是難點集中，讓“乘法分配律”在不同年級“小步子”螺旋式循序呈現，初識“乘法分配律”淡化其簡算的痕跡，避免各種變式訓練過早地把學生的視線引向簡算從而導致各種混淆和模糊不清，加深學生對“乘法分配律”的多維度理解，尤其是意義理解，分散其學習難點，保證學習內容的連續性，使學生逐步掌握。

通過教學實踐研究，我們認為在二年級學習乘法口訣時注重知識的整體性，有意識地滲透乘法分配律是有可能的。如果學習乘法口訣時只是一味地讓學生花更多的時間來背口訣，而非從乘法意義上探究口訣的內在聯系，將導致高年級學生對乘法分配律的學習與理解出現障礙。