基于復合懸擺減震系統的小雁塔結構仿真分析?

楊 濤，劉德明，王社良，李彬彬

（1.西安工程大學城市規劃與市政工程學院 西安，710048）（2.西安建筑科技大學土木工程學院 西安，710055）

引言

我國有著悠久的文化歷史，古塔作為一種歷史宗教建筑，是全人類寶貴的歷史文化遺產［1］。西安小雁塔是我國密檐式古塔結構的典型代表，具有極高的歷史文化價值［2］；然而小雁塔飽經歷史滄桑及自然災害的侵襲，結構內部存在不同程度的損傷，抗災變能力較差，亟需進行動力災變保護。因此，對小雁塔的抗災變保護已成為當前嚴峻的議題［3］。

近些年來，國內外學者對古塔結構的抗震保護進行了不斷的實踐和研究。陳平等［4‐5］運用ANSYS對大象寺塔進行了詳細的計算與穩定性分析，對古塔結構性能進行綜合評判。車愛蘭［6］通過有限元數值計算對應縣木塔的動力特性和地震響應進行了研究，提出了木結構古塔健康診斷和維修加固方法。Jaishi 等［7］通過對尼泊爾古塔寺廟進行現場環境激振得到其動力特性，對有限元模型進行驗證并對其抗震能力進行評估。劉曉莉［8］制作鎮國寺白塔的1/40 的縮尺模型，研究了鎮國寺白塔傳統砌體材料的破壞準則，模擬了鎮國寺白塔在汶川地震中的破壞演變過程，但因為模型制作比例較小，相當于實體堆砌，并不能完全體現原型的結構特點。

結構振動控制是一種已被實際驗證能夠有效減小結構地震響應的新理論、新方法［9‐10］，但國內外學者對SMA 的研究利用主要集中在阻尼器的研發上，較少應用到實際結構工程。筆者設計并制作了形狀記憶合金復合懸擺減震系統，為研究SMA‐SP‐DS 在小雁塔結構中的消能減震作用，利用Simulink建立小雁塔結構在設置SMA‐SPDS 下的Simulink仿真模型［11‐13］，對小雁塔模型結構進行地震作用下的仿真分析；結合原型結構現狀，基于量綱相似理論，設計制作了一個幾何相似比為1/10 的小雁塔模型結構，并進行了小雁塔模型結構振動臺試驗；將試驗結果與仿真分析做對比，驗證該仿真模型與計算方法的正確性，并將該仿真模型應用于原型結構，優化并分析了小雁塔原型結構的減震效果。結果表明，SMA‐SPDS 可用于小雁塔結構及其類似磚石古塔結構的減震保護，具有較好的工程應用前景。

1 形狀記憶合金復合懸擺減震系統

1.1 SMA‐SPDS 構造設計

利用SMA 絲的相變偽彈性，結合懸擺減震原理，設計了形狀記憶合金復合懸擺減震系統，如圖1所示。SMA‐SPDS 主要由質量振子、擺桿、單向鉸、滑塊、SMA 絲、擋板及轉向滑輪等構成。

圖1 SMA-SPDS 構造圖Fig.1 SMA-SPDS structure diagram

1.2 SMA‐SPDS 工作原理

以1 次循環為例來說明形狀記憶合金復合懸擺減震系統的工作原理和過程：①當地震作用較小時，質量振子不與滑塊接觸，可以自由擺動，通過剛性外壁將反向的慣性力作用于結構之上；②當塔身受地震影響較大時，質量振子與滑塊一起運動，若結構向右振動時，質量振子將向左擺動，并帶動右側滑塊沿水平滑道運動，拉動右側SMA 絲產生相對位移，此時左側的SMA 絲仍處于靜止狀態；當質量振子恢復到平衡位置時，SMA 絲回到初始預拉狀態，右側SMA 絲經歷了一個耗能循環過程，形成比較飽滿的滯回曲線，實現了對結構的消能減震；同時質量振子的慣性力通過鋼索反作用到結構上，對結構的地震響應產生抑制作用，從而使結構的地震響應得到衰減。質量振子向右運動時的原理相同。

懸擺減震體系是一種可設置于古塔結構內部的減震系統，但若單獨將懸擺減震體系設置于古塔結構內部樓板上，由于其自身特點對古塔結構起到的減震作用較小。若將懸擺減震體系與SMA 絲相結合，利用絲‐鋼索與古塔結構內部連接，研發性能良好的SMA‐SPDS，則可將懸擺減震體系的慣性力通過絲‐鋼索傳遞給古塔結構，同時還能利用SMA‐SPDS 中的SMA 絲提供阻尼，達到消能減震的目的，可明顯減小古塔結構的地震響應。

2 設置SMA‐SPDS 的小雁塔結構仿真分析

2.1 小雁塔現場調查

小雁塔為唐代密檐磚佛塔，由塔基、塔身和塔頂三部分組成，原有15 層。塔頂由圓形剎座、兩重相輪和寶瓶形剎頂組成，現保留13 層，高為43.38 m。塔身平面呈方形，底邊長為11.38 m，塔身略呈梭形，青磚砌成，單壁中空，內壁有登塔磚砌蹬道。2 層以上均逐層遞減，高度從3.76 m 至頂層不足1 m。

小雁塔主體結構采用灰磚錯縫砌筑，經現場測試灰磚抗壓強度在0.71 MPa～1.88 MPa，膠結材料主要為橙黃泥和生石灰，黏性較好，但強度不高。1965 年文物保護部門對小雁塔進行了較大規模的修繕，在第2，5，9 及13 層頂板處澆筑鋼筋混凝土梁和樓板，增加其整體性。

2.2 小雁塔試驗模型

本試驗根據1965 年小雁塔修繕后的現存狀況，設計并制作小雁塔模型結構，綜合考慮振動臺的臺面尺寸及承載能力，取尺寸相似系數Sl=，總高度為4 m。模型設計采用欠人工質量方法，將配重設置在塔身墻壁的配重箱內，根據小雁塔原型結構材料的性能，同時兼顧試驗的可行性，模型塔身選用經過加工處理的青磚。青磚主要有2 種規格：塔身主體結構用磚為110 mm×50 mm×25 mm；挑檐處用磚為110 mm×50 mm×10 mm。塔身尺寸和整體模型如圖2 所示，SMA‐SPDS 在小雁塔內的設置和連接如圖3 所示。將SAM 絲通過絲‐索轉換接頭與鋼索連接，經過SMA‐SPDS 底部和頂部的轉向滑輪轉向后固定于結構的底板處。本次測試采用INV3060A 多通道動態數據采集儀、941‐B 型水平及垂向速度傳感器等。

圖2 塔身尺寸和整體模型Fig.2 Tower dimensions and overall model

圖3 SMA‐SPDS 安裝設置圖Fig.3 SMA‐SPDS installation setup diagram

由于模型所選材料為磚砌體，其承載力等參數與原型結構基本相同，故可取SE=1。根據Buck‐ingham 理論和量綱分析，計算出模型和原型結構之間的相似關系，從而求得本次試驗的各相似系數，如表1 所示。

表1 模型相似關系表Tab.1 Model similarity relation table

2.3 試驗方案

根據GB50011—2010（2016 年版）《建筑設計抗震規范》［14］規定，本試驗選取了2 條真實強震記錄（El‐Centro 波（NS）和江油波（EW）地震記錄）和1 條人工波（上海波），進行模擬地震振動臺試驗。根據試驗方案對小雁塔模型結構依次進行8 度小震（0.2g）、8 度中震（0.6g）和8 度大震（0.9g）下的模擬振動臺試驗，觀察設置與未設置SMA‐SPDS 的小雁塔模型結構的試驗現象。

2.4 設置減震系統的小雁塔結構仿真過程

筆者假定小雁塔結構在樓板平面內剛度無限大，并不考慮扭轉效應，采用層間剪切串聯多自由度振動模型進行分析。將設置SMA‐SPDS 的小雁塔結構分為小雁塔主體結構和SMA‐SPDS 兩部分考慮，可分別列出各自的運動方程。

2.4.1 小雁塔結構仿真模型的建立

考慮SMA‐SPDS 的作用，小雁塔主體結構運動方程可表示為

其中：P為n×m階設置矩陣，m為減震裝置設置數量，在減震系統設置位置處為1，其余元素為0；f為被動控制力向量，f=和分別為減震裝置的位移向量和速度向量。

引入狀態向量Z=則小雁塔主體結構狀態空間方程為

由此狀態方程即可求解小雁塔主體結構相對于地面的位移和速度，而加速度不宜于用Simulink 中的Derivative 求導模塊。Derivative 模塊的輸出屬于近似求解，為減小結果誤差，結構加速度可由式（3）直接求出

小雁塔主體結構和被動控制力Simulink 仿真模型如圖4 和圖5 所示。

圖4 小雁塔主體結構仿真模型Fig.4 Simulation model of main structure of Xiaoyan Pagoda

圖5 被動控制力仿真模型Fig.5 Passive control force simulation model

2.4.2 SMA‐SPDS 仿真模型的建立

SMA‐SPDS 的運動方程為

參照小雁塔仿真模型的建立，可以求得SMA‐SPDS 減震裝置的加速度向量表達式為

SMA‐SPDS 的Simulink 仿真模型如圖6 所示。

圖6 SMA-SPDS 仿真模型Fig.6 SMA-SPDS simulation model

2.4.3 能量反應仿真模型

當設置SMA‐SPDS 的小雁塔結構遭受地震作用襲擊時，大部分的地震能量將由減震系統耗散掉［15］，因此減震系統的耗能能力將直接影響小雁塔結構的抗震性能。如果對設置SMA‐SPDS 的小雁塔結構的運動方程在地震持續時間t0內的任一時刻t進行積分，則可簡化得到能量平衡方程式［16‐18］為

小雁塔主結構能量反應仿真模型如圖7 所示。

圖7 小雁塔主結構能量反應仿真模型Fig.7 Simulation model of main structure energy response of Xiaoyan Pagoda

2.4.4 Simulink 主仿真模型

小雁塔減震結構體系Simulink 主仿真模型如圖8 所示，該模型由小雁塔主結構、SMA‐SPDS、被動控制力和主結構能量四大子系統構成。M‐加速度、M‐速度和M‐位移分別為小雁塔主結構相對于地面的加速度、速度和位移；S‐加速度、S‐速度和S‐位移分別為減震裝置加速度、速度和位移；xg，CF分別為地震加速度和被動控制力；Ek，Ee和Ec分別為小雁塔主結構的動能、變形能和阻尼耗能。

圖8 小雁塔減震結構主模型Fig.8 Main model of Xiaoyan Pagoda shock absorption structure

2.5 試驗結果

2.5.1 模型結構動力特性

在結構振動臺試驗中通常采用白噪聲掃頻的方法來測試結構在不同強度地震作用后的動力特性，因此在試驗中每進行一次相同強度的地震作用后，輸入加速度峰值為50g的白噪聲對模型結構進行掃頻，對掃頻所得結構加速度響應進行計算，完成小雁塔模型結構的自振頻率的求解，結果如表2 所示。

表2 小雁塔模型結構自振頻率和周期Tab.2 Natural vibration frequency and period of Xiaoyan Pagoda model structure

2.5.2 模型結構加速度響應分析

在不同地震波的作用下，小雁塔模型結構的加速度響應劇烈區間與輸入地震波基本一致，都集中在輸入加速度峰值附近。隨著地震波強度減弱，結構的響應也逐漸減小。同時在不同地震波作用下，模型結構都會有多個加速度響應值較大的點出現，尤其以江油波表現最為明顯。小雁塔模型結構的加速度響應峰值如表3、表4 所示。

表3 無控8 度塔身頂層加速度極值Tab.3 Maximum acceleration of the top floor of the uncontrolled 8‐degree tower g

表4 有控8 度塔身頂層加速度極值Tab.4 Maximum acceleration of the top floor of the controlled 8‐degree tower g

2.5.3 模型結構位移響應分析

小雁塔模型結構頂層的相對位移如表5、表6所示。

表5 無控8 度塔身頂層相對位移最大值Tab.5 Maximum relative displacement of the top floor of the uncontrolled 8‐degree tower mm

表6 有控8 度塔身頂層相對位移最大值Tab.6 The maximum relative displacement of the top floor of the controlled 8‐degree tower mm

2.6 小雁塔模型結構仿真與試驗結果對比

根據上述試驗結果與用Simulink 仿真方法對小雁塔模型結構仿真分析進行對比，給出小雁塔模型結構在設置和未設置SMA‐SPDS 下的Simulink 仿真與試驗結果塔身頂層加速度對比圖，用來說明仿真的合理性，如圖9、圖10 所示。

圖9 8 度大震下無控塔身頂部加速度仿真與試驗對比圖Fig.9 Comparison diagram of acceleration simulation and test on top of uncontrolled tower under 8 degree earthquake

圖10 8 度大震下有控塔身頂部加速度仿真與試驗對比圖Fig.10 Comparison diagram of acceleration simulation and test on top of control tower under 8 degree earthquake

在不同試驗過程中小雁塔模型結構隨著地震的增大其加速度響應也逐漸增大，塔身頂部從最初的0.6g增加到2.58g。當模型結構中設置SMA‐SPDS后，可以明顯減小地震所帶來的加速度響應，平均降幅在15%左右，可知本系統在小雁塔結構中能起到較好的減震作用。

由圖9 和圖10 可以看出，小雁塔模型結構的Simulink 仿真結果與試驗結果吻合較好，Simulink仿真方法可以很好地模擬小雁塔模型結構設置與未設置SMA‐SPDS 的地震響應情況，因此可以將上述Simulink 仿真程序應用到模擬小雁塔原型結構的地震響應情況，從而得到在原型結構上設置SMA‐SP‐DS 較為真實的減震效果。

3 小雁塔原型結構仿真分析

3.1 SMA‐SPDS 位置場所優化

筆者研發的SMA‐SPDS 通過控制小雁塔結構的振型來達到減振效果，故設置的SMA‐SPDS 應與結構的振型調諧。通過對該系統配置場所的巧妙選定實現多自由度體系在各個模態單位實現振動控制，減振模態要選擇在最有效且不干擾其他模態工作的配置場所。由等效質量概念［19］可知：在某個模態的振動波腹（最大振幅點），等效質量為最??；在某個模態的振動節點（振幅為0），等效質量為無限大。

脈動法在自然環境條件下就可完成對建筑物動力特性的測量，適合歷史建筑的動力特性的測試，現場測試結果得到小雁塔結構的水平方向自振頻率、阻尼比和振型等動力特性。自振頻率和阻尼比如表7所示，現場測試如圖11所示，模態振型如圖12所示。

表7 小雁塔動力特征值Tab.7 Xiaoyan Pagoda dynamic characteristic value

圖11 現場測試圖Fig.11 Field test chart

圖12 小雁塔模態振型圖Fig.12 Modal shape diagram of Xiaoyan Pagoda

現場動力測試可以確定小雁塔原型結構模態控制的SMA‐SPDS 布置位置：控制1 階模態設置在頂層；控制2 階模態設置在9 層；控制3 階模態也設置在頂層，由于頂層已作為1階模態控制點，因此可另外選擇5層作為SMA‐SPDS控制3階模態的設置場所。

3.2 SMA‐SPDS 參數優化

假設結構具有n個SMA‐SPDS，利用模態坐標建立n個單自由度體系，則附加SMA‐SPDS 的結構運動方程為

其中：Fd為SMS‐SPDS 的作用力向量。

由SMA‐SPDS 得到的作用力向量是位移向量X的函數，傳遞矩陣設為H，則作用力向量表示為

附帶有SMA‐SPDS 的多自由度體系可解耦為單自由度體系，則i階模態附加SMA‐SPDS 的單自由度體系力學模型如圖13 表示，該系統的質量、SMA 剛度和阻尼系數分別設為mdi，kdi和cdi。

圖13 i 階模態的單自由度體系附加減振系統簡化模型圖Fig.13 A simplified model diagram of vibration reduction system is added to the single-degree-of-freedom sys‐tem of order i mode

通過附加SMA‐SPDS 而產生的作用力Fdi為

由式（8）看出，SMA‐SPDS 充當反饋補償元素的作用，可以導出傳遞函數Gdi的表達式為

其中：Gdi為含有該減振系統的i階模態的傳遞函數。

其中：ωdi=ζi=cdi/2mdiωi；μi=mdi/Mi；ωdi，ζi，μi分別為i階模態減振系統的固有頻率、阻尼比和質量比。

形狀記憶合金復合懸擺減震系統的最佳設計以定點理論為基礎，其核心思想是在有阻尼振動系統的頻率響應曲線上，尋找與阻尼無關的特定點，利用特定點進行減振裝置的優化設計［20‐21］。本研究利用定點理論對SMA‐SPDS 進行優化設計。

設含阻尼元素ζ的單自由度減振體系，頻率傳遞函數表示為

其 中：C(ω)，A(ω)為不含ζ的關于ω的系數項；D(ω)，B(ω)為包含ζ的關于ω的系數項。

ζ=0 時，頻率傳遞函數為

ζ=∞時，頻率傳遞函數為

相對ζ獨立的頻率傳遞函數為

其中：ζ為任意實數。

相對ζ獨立的頻率傳遞函數由式（15）決定

當ζ=0或ζ=∞時，頻率傳遞函數的交點與ζ無關，因此該交點就是頻率響應曲線的最大值，所確定的ζ值即為最佳阻尼值。在進行SMA‐SPDS 參數設計時，利用定點高度相等，可求出減振裝置的最佳調諧值。

對于多自由度體系減振裝置最佳設計，利用前文模態分析，可將多自由度減振體系解耦為單自由度減振體系，求出相應的頻率傳遞函數，如式（10）所示。利用式（10）～（14），即可得出i階模態的單自由度減振裝置最佳設計條件，從而可以確定SMA‐SP‐DS 中的主要參數如下。

其中：ωi為i階模態減振裝置固有頻率；Ωi為i階模態結構固有頻率；ζi為i階模態阻尼比；keq為SMA 絲等效割線剛度；l為有效擺長；μi為i階模態質量比。

各SMA‐SPDS 設置場所確定后，各模態控制下SMA‐SPDS 的目標阻尼比設計為：ζ1=0.11，ζ2=0.078，ζ3=0.05。由式（18）可求得各個模態設置的SMA‐SPDS 的質量比為：μ1=0.03，μ2=0.02，μ3=0.007，從而可 以確定 各SMA ‐SPDS 的參數，見表8。

表8 小雁塔原型結構SMA‐SPDS 參數設計建議值Tab.8 The recommended design value of sma ‐ spds parameters for the prototype structure of Xiaoyan Pagoda

3.3 減振效果

在比較SMA‐SPDS 的優化控制效果時，取結構頂層為研究對象，對其在控制不同階次振型下的優化控制效果進行分析。由于篇幅限制，此處僅列出8 度大震作用下典型地震波江油波不同階次振型的小雁塔結構頂層的位移和加速度時程圖。

表9 和表10 分別給出8 度大震下El‐Centro 波、江油波、人工波的優化控制1 階振型、優化控制前2階振型、優化控制前3 階振型和無控狀態下頂層最大位移與加速度的響應對比，并引入控制效果系數α以反映SMA‐SPDS 對小雁塔原型結構地震響應的控制效果

表9 SMA‐SPDS 優化控制位移效果對比Tab.9 Comparison of optimal control displacement with SMA‐SPDS

表10 SMA‐SPDS 優化控制加速度效果對比Tab.10 Comparison of optimal control acceleration with SMA‐SPDS

其中：|X|1為未設置SMA‐SPDS 的小雁塔結構的地震響應；|X|2為優化設置SMA‐SPDS 時小雁塔結構的地震響應。

由圖14～15 分析可知，通過控制不同階次振型，均可對小雁塔原型結構位移和加速度起到控制效果，且隨著控制的階次提高，對小雁塔原型結構頂層控制效果越顯著。由表10 可知，若控制小雁塔原型結構前2 階振型，在8 度大震作用下，結構的位移響應平均降低32.4%，加速度平均降低31.1%；當控制3 階振型時，小雁塔結構位移和加速度響應分別平均降低43.8%和43.3%。由此可知，隨著控制模態階次的提高，需要相應地增加SMA‐SPDS 的數量，同時小雁塔結構的控制效果也有明顯提高。

圖14 江油波優化控制不同振型位移時程圖Fig.14 The time-history diagram of optimal control of different displacement modes by Jiang You wave

圖15 江油波優化控制不同振型加速度時程圖Fig.15 Jiang You wave optimization control acceleration time history diagram of different modes

綜合考慮小雁塔實際工程的復雜性、成本控制、可操作性以及小雁塔原型結構的可觀光性等因素，筆者建議考慮控制小雁塔原型結構前3 階振型。

4 結論

1）通過Simulink 建立了設置SMA‐SPDS 的小雁塔仿真模型結構，與振動臺試驗結果對比，研究了小雁塔模型結構在8 度大震下的地震響應，結果表明仿真分析結果與試驗結果吻合較好，說明所建立的設置與未設置SMA‐SPDS 的小雁塔仿真計算模型可以較好地反映試驗的真實情況。

2）將小雁塔模型結構Simulink 仿真模型應用到小雁塔原型結構的模擬計算，進行了小雁塔原型結構在8 度小震、中震及大震下的模擬分析。結果表明：當小雁塔原型結構設置減震系統后，各階頻率均有所提高，說明SMA‐SPDS 可以提高原型結構的整體抗震性能；同時，SMA‐SPDS 對減小小雁塔結構的地震響應具有明顯的作用，且隨地震強度的增加，減震效果越明顯。

3）針對小雁塔原型結構，對SMA‐SPDS 的參數、布置位置等進行了優化設計，對比分析了小雁塔原型結構中布置SMA‐SPDS 優化前后的地震響應情況。結果表明，通過控制不同階次振型，均可對小雁塔原型結構位移和加速度起到控制效果，且隨著控制的階次提高，對小雁塔原型結構頂層控制效果越顯著。當控制3 階振型時，小雁塔結構位移和加速度響應分別降低43.8%和43.3%，優化效果顯著。

4）形狀記憶合金復合懸擺減震系統對小雁塔結構的保護，嚴格遵循古塔結構抗震保護的“最小干預”原則，可有效減小塔體的地震響應，對于類似古塔的抗震保護具有一定的參考價值和工程意義。