機械臂系統任務空間同步的自適應間歇控制

李 欣，馬米花

（閩南師范大學數學與統計學院,福建漳州363000）

隨著機械臂在日常生活中的廣泛應用，它作為一種重要的動力學機械系統，根據需要建立控制程序，漸漸代替人類去完成更多高危險，超負載的任務作業，在工業生產和制造業中扮演著越來越重要的角色[1].在這些實際應用中，如何設計控制器，使機械臂系統能更加安全高效地工作，這一直是一個重要且有趣的研究方向.并且現在已有大量研究成果[2-4].但值得關注的是，在實際的操作中，機械臂末端執行器位置的準確運作需要在任務空間中[5]，我們也將同步控制的思想應用到這一方向上.

本文主要針對存在參數不確定性的網絡機械臂系統，在機械臂系統的任務空間中設計一種間歇控制器使得機械臂末端執行器能夠跟蹤到固定的目標位置.該控制器的設置與現有的大多數機械臂控制成果不同，不用連續接收期望軌道信息而且考慮任務空間來取代關節空間.最后，應用例子仿真結果進一步驗證了提出的間歇控制策略可以實現機械臂網絡在任務空間對期望軌道的追蹤.

1 機械臂系統模型及同步框架

考慮由N個不同智能體組成的網絡，其中每個智能體的動力學行為用拉格朗日方程來描述：

性質1(反對稱性)矩陣是反對稱的，即對任意的

性質2(有界性)存在正常數，成立不等式和

性質3(參數線性化)對于任意的可微向量qi,x,y∈Rn，有其中θi∈R m是拉格朗日系統的物理參數集，Φi∈R n×m為動力學回歸方程.

給定一個期望位置xd∈R n是固定點，設計耦合強度c(t)和控制器ui(t)(i= 1,2,…,N- 1,N)使得拉格朗日網絡系統的跟蹤誤差? 歷時一定時間之后趨于零,從而實現拉格朗日系統在自適應間歇控制下的同步問題.引入參考變量如下：

其中λ＞0.基于式(1) ，考慮如下受控機械臂網絡：

其中ui(t)是待設計的自適應間歇控制器，c(t)＞0 表示任務空間上末端執行器位置的網絡耦合強度，bij是鄰接矩陣表示第i個智能體和第j個智能體之間在任務空間上的位置和速度信息交換，其網絡拓撲結構用圖GB=(V,ε,B)表示.圖的拉普拉斯矩陣記為LB=[lij]∈R N×N.式(4)可寫為：

2 自適應間歇控制

設計討論式(5)的自適應間歇牽制方案.不失一般性，我們選擇前l個節點（否則可以重新排列節點順序）施加控制，從而將自適應間歇控制器ui(t)設計為：

其中η是任意的正數為估計參數誤差量.將網絡耦合強度c(t)設計為c(t)=c，t2m≤t≤t2m+1；，其中c是待設計的正常數.將式(6)代入統式(5).當t∈[t2m,t2m+1]時，由式(5)得

綜合上述討論，可以得到網絡機械臂動力系統：

3 任務空間同步分析

在給出重要結論之前引入如下推廣的Βarbalat引理.

引理1[2]假設且t0= 0是隨κ嚴格遞增的時間序列,函數滿足：

定理1考慮有限的任務空間，其中雅可比矩陣為滿秩，對于任務空間中給定期望的末端執行器位置xd，選取控制增益ki＞0(1,2,…,l)，λ＞0 和η＞0，那么含參數不確定的網絡機械臂動力系統式(11)通過式(6)和式(7)使得系統末端執行器位置追蹤到期望的位置，即達到跟蹤同步，有當t→∞時

證明引入Lyapunov函數如下

當t∈[t2m,t2m+1]時，V(t)沿著式(11)的第一個方程式求導得

4 理論應用和模擬結果

考慮4 個雙連桿機械臂的跟蹤同步，其中雙連桿機械臂的動力學行為可由拉格朗日系統Mi(qi)q?i+Ci(qi,q?i)q?i+gi(qi)=τi來描述[2-4]，其中i= 1,2,3,4，qi=(qi1,qi2)T∈R2.兩個連桿的質量記作mi1和mi2，慣量各記為Ii1、Ii2，長度各記作li1、li2，連接點到桿質心的長度各記作lic1、lic2.

考慮由4 個雙連桿機械臂組成網絡拓撲結構如圖1.這四個節點的度數差分別為2、0、1、-3. 在接下來的仿真中，假設第1 個和第3 個機械臂的物理參數為mi1= 2.0 kg，mi2= 1.8 kg，li1= 1.4 m，li2= 1.3 m，lic1= 0.75 m，lic2= 0.55 m，Ii1= mi1l2ic1/3，Ii2= mi2l2ic2/3，i= 1,3.而第2 個和第4 個機械臂的物理參數取為mi1= 1.8 kg，mi2= 1.98 kg，li1= 1.26 m，li2= 1.43 m，lic1= 0.71 m，lic2= 0.58 m，Ii1= 0.30 m，Ii2=0.22m，i=2,4.取非周期性間歇控制時間如下[0,0.6 ]?[1.15,1.8 ]?[2.2,2.8 ]?[3.35,4 ]?[4.4,5 ]?….期望的軌道目標取為xd=(2,-3)T.隨后，我們考慮控制增益k1=10，k2=10，k3=10，k4=0，λ=10，η=6，耦合強度c= 6，取前3 個節點進行牽制控制.數值模擬結果如圖2，機械臂系統末端執行器位置xi( )t可以追蹤到目標位置xd.

圖1 4個雙連桿機械臂的網絡拓撲圖Fig.1 Network topology of four double link manipulators

圖2 跟蹤誤差‖xi( t )- xd ‖(i = 1,2,3,4)Fig.2 Tracking error‖xi( t )- xd ‖(i = 1,2,3,4)