初中數學思想方法的意蘊及其在教學中的培養

方海寧

[摘 要]學習掌握數學知識及其蘊含的數學思想方法，在義務教育課程標準中有明確的要求.初中數學思想方法主要有整體思想、轉化思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想等，教師要站在初中數學知識全局的角度把握其中的思想方法體系，備課環節精心做好謀劃，有意識地把數學思想方法滲透融入教學中，引導學生在掌握知識點的基礎上融會貫通，熟練運用數學思想方法，不斷提升數學素養.

[關鍵詞]數學思想方法;培養;初中數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0022-03

數學是義務教育課程體系中非常重要的一門學科，它對于培養學生的邏輯思維能力、發展與完善認知結構、提高數學素養具有其他學科不可替代的獨特作用.在初中數學教學中，經常碰到學生“課堂講解題聽得懂，課后練習解不出”的現象，以至于考查區分度拉開明顯.主要癥結在于沒有真正理解和掌握數學知識背后蘊含的數學思想方法.因此，初中數學教師既要重視基礎知識的教學，又要滲透融入知識體系中蘊含的數學思想方法，深刻分析教學中融入各知識點的路徑方式，引導學生提煉概括、在學思踐悟中融會貫通，熟練掌握運用數學思想方法.

一、初中數學的思想方法

（一）數學思想方法的內涵

數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識.它是對數學理論概念、定理、公式、法則等以及數學事實的本質認識，是對數學知識本質及其規律性的深化，是對數學知識的融會貫通和升華.數學思想方法可分為三個層次：一是數學基本方法.如換元法、消元法、待定系數法、公式法、配方法、歸納法、反證法等，是較為常見的方法;二是數學思維方法.如類比、代換、抽象、概括等，需要加強領悟才能運用自如;三是數學思想.如方程思想、函數思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸思想、極限思想等，是更高層次的具有全局性的思想與觀點.

（二）初中數學主要的思想方法

綜觀近年初中階段的考查，常見的數學思想方法有整體思想、轉化思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想等.

1.整體思想.整體思想就是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，用整體的視角，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理.整體思想在解決數學問題中的運用廣泛，如整體代入、幾何中的補形等.有的題型是局部細節難以處理或計算出結果，但作為整體處理卻能直截了當地解決問題.用整體思想來處理問題，體現了一種著眼全局、通盤考慮的思維方式.例如，如圖1，在 [Rt△ABC]中，[∠C=90]，[AC=4]，[BC=2]，分別以[AC]、[BC]為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為.（結果保留π）分析：3個陰影部分都是不規則的圖形，無法直接計算出，利用差值思想結合其他標準圖形，也不方便直接計算出，因為其他圖形里又包含其他未知的不規則圖形.計算直接算各部分面積有困難，那我們先不考慮結論，先從可利用的已知條件入手.假設各部分面積分別用S1、S2、S3、a、b來表示（如圖1）.這樣，根據方程思想利用已知條件，建立起3個等式： ①[S1+S3+a=π×12/2];②[S1+S2+b=π×22/2];③[S1+a+b=2×4/2].列出這三個等式之后，很容易就想到將[S1+S2+S3]作為整體來處理.①+②-③得到[S1+S2+S3=5π/2-4].由本題可見，求某些關系的和、乘等關系，并不一定要具體算出其中某個部分的具體值，而是當作整體來計算.當然，這里的方程思想也是至關重要的，設置了5個未知數，卻只列出了3個等式，就到達了我們的目的.

2.轉化思想.轉化也稱化歸，就是在已有簡單具體的知識基礎上，把未知化為已知、陌生化為熟悉、復雜化為簡單、一般化為特殊、抽象化為具體，最終獲得問題解決的一種方法，它是數學中最常用的思想.解決任何一個數學問題都有一個由繁化簡、由大化小、由難化易、由新化舊的過程，不過所使用的轉化手段、轉化方法及所經歷的轉化過程還是有區別的，轉化思想是研究解決數學問題的一種普遍思想.例如在有理數中，減法可以通過相反數轉化為加法，除法可以通過倒數轉化為乘法，乘方也可以轉化成乘法，這些都體現了由難到易的轉化思想.

在初中數學的內容中，新舊知識間有著相當緊密的聯系，可用由新化舊的思想方法，使新知識得到簡化，以便更容易地接受和理解，為培養學生的創新能力打下基礎.如在多項式的乘法中對于[（m+n）（a+b）]的多項式乘法，可以利用以前所學的乘法分配律[c（a+b）=ac+bc]的方法，在這里我們就需要把[m+n]看作一個整體“c”做進一步的計算.這樣，不僅可減小理解上的難度，也使得學習內容變得簡單化，這里用到的就是轉化思想.

3.方程思想.方程思想是通過設未知數、列方程（或方程組）、解方程（或方程組），研究已知量與未知量之間的等量關系，達到求值目的的解題思路和策略.方程思想主要運用于公式的變形中，就是指將公式（即等式）中的某個字母看作未知數，公式就是關于這個未知數的方程，通過解方程得到所需要的公式變形，它是解決各類計算問題的基本思想.善于根據已知條件、尋找等量關系列方程，是這個思想的關鍵所在.在已知方程的根求方程中字母系數時，也運用了方程思想，根據方程根的定義，把方程的根代入方程，得到關于字母系數為未知數的方程，通過解方程求得字母系數的值.可見，方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系，構造方程并對方程的性質進行研究以解決問題.

4.數形結合思想.在中學數學中，通過幾何基本知識的學習并掌握其思想方法，并利用數形結合的基本方法，實現幾何問題與代數問題的相互轉化，從而達到解決問題的目的.在利用坐標化的方法解決問題時，常用到利用距離公式證明線段相等或不等.形與數的結合和轉化是相互的，幾何的代數化是其中的一個方面，而代數的幾何化是另一個方面.

在初中實數部分的學習中，體現數形結合的內容較多，在學習中要初步了解數形結合思想.在不等式中，一元一次方程以及在一元一次不等式的應用中也應用到這種思想.在實數的學習中，數形結合主要通過數軸來實現，數軸的引入，為學習有理數及其大小比較、相反數、絕對值等知識提供了直觀的工具，呈現了典型的數形結合思想.例如，在有理數大小的比較中，有題目“用‘>號把-3，2/3，2.4，0，1，-1/2，3，-0.3，2連接起來”，這個問題由于涉及的數字較多，容易出現遺漏或排錯的現象，那么可以利用數軸把這些點一一描出來，然后根據“數軸右邊的數大于左邊的數”來排列它們的大小位置關系.

5.分類討論思想.在數學中，有些問題不能按所給定的條件統一進行研究，而必須在這個條件下分成若干種類或若干種情況，再分別加以研究，這就是利用分類討論思想.例如，一組數據5，7，7，x的中位數與平均數相等，則x的值為? ? ?.

解：（1）當[x≤5]時，中位數為6，此時[5+7+7+x4=6]，解得[x=5]

（2）當[5

（3）當[x>7]時，中位數為7，此時[5+7+7+x4=7]，解得[x=9]，

綜上，[x=5]或[x=9].

二、培養數學思想方法的必要性

（一）數學學科的本質要求

數學是研究數量關系和空間形式的科學，被稱為“科學的皇后”“思維訓練的體操”，它是學習科學知識和應用科學知識必須的工具.可以說，沒學好數學，就不大可能學好其他學科.“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化.因此在數學教學中，要在傳授知識的基礎上引導學生理解數學概念，目標始終圍繞更高層次的思想方法的掌握運用，通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等方式，把握數學思想，感悟數學特有的思維方式，培養邏輯思維能力，形成良好的思維品質，進而影響和促進其他學科的學習.

（二）數學課程標準的內在要求

數學知識與數學思想方法一明一暗兩條線貫穿在數學課程內容之中，數學概念、公式、法則、性質、定理等知識，呈現在教材中是看得見的、有形的，而數學思想方法是看不見的、無形的，隱藏散見在教材各章節之中，它需要通過教師的引導與點撥，學生才能理解和把握.只有將兩者有機地結合起來，才能使學生在掌握數學知識的基礎上，將零散的知識點連接起來，形成完整立體、相互聯系的知識結構.因此教師要立意高遠，透過現象看本質，認真挖掘厘清教材中所反映的數學思想方法，精心設計課堂教學，有針對性地設計課外作業，引導學生概括知識點背后蘊含的數學思想方法，充分運用數學思想方法去分析解決具體的問題.

（三）激發學生對數學學習的興趣

數學知識作為課程內容，可用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的流逝和記憶力的減退，未來走向社會之后有可能被遺忘.而數學思想方法則是一種數學意識，一旦理解和掌握，便是融會貫通而不輕易忘記.數學思想方法作為數學學科的“一般原理”，是從數學內容中提煉出來的精髓，具有高度抽象性，同時它是將數學知識轉化為數學能力的橋梁，掌握數學思想方法能夠使學生對數學知識更容易理解和掌握.例如通過類比，學生認識到因式分解是由數到式的發展過程，是特殊與一般的思維體現，從而能真正理解、掌握和應用因式分解.數學學習不僅限于概念、公式、定理和機械地解題，還在于促進學生由此及彼、觸類旁通，逐步形成的思維，在于將理論與應用相結合，才能激發學生的好奇心和求知欲，培養學生的創新意識，提高學生的思維品質.

三、初中數學教學中培養數學思想方法的思考

（一）在知識傳授中登高望遠

初中數學知識蘊含的思想方法，需要教師在整體把握的基礎上逐步滲透培養.因此，教師要更新教學理念，有意識地滲透數學思想方法，對教材進行分析、研究，通過對教材中的思想方法體系的研讀形成自身的思想方法體系.對于各知識點的教學，不能僅是“教知識”，更應著眼“教能力”，要做一個滲透的有心人，善于發現和挖掘教材內容中所蘊含的數學思想方法， 由此再進一步謀劃設計教學過程，使學生逐步領悟、理解、掌握、運用所學的某個數學思想方法.例如在字母表示數和代數式教學中，應站在滲透符號思想的高度來謀劃設計，尤其在總結提升階段，要引導學生發現并著重強調：數字僅表示某個確定的數，而字母則是個變量，是可變的數，還可以是某個式子，那是用數字表示數和用字母表示數的本質區別所在.

（二）在教學實踐中學思踐悟

初中數學教材知識點眾多，其中隱含的數學思想方法交織貫穿，層層遞進，需要學生在初中三年的日積月累中學習和掌握.教師要善于在教學一線中不斷琢磨，深入挖掘、揭示教材中隱含的數學思想方法.首先，在概念教學中滲透.概念教學不應只是簡單地給出定義，而是要引導學生感受及領悟隱含于概念形成之中的數學思想.例如利用“數軸”這一直觀形象的圖示工具來揭示絕對值這個概念的內涵，讓學生既學習了絕對值的概念，又滲透了數形結合思想.其次，在定理和公式教學中融入.例如圓周角定理中，從特殊度數與圓弧關系的發現到證明，體現了由特殊到一般、分類討論、化歸以及歸納的數學思想方法.最后，在例題講解過程中揭示.讓學生參與教學實踐活動，引導嘗試解題的思路、不斷修正思考問題的切入點，充分暴露解題思維過程，再點撥揭示其中隱含的數學思想方法.比如“三角形內角和定理的證明”中，在一個角的一邊上構造一個平角，再利用平行線把另外兩個角轉化到平角處，掌握化歸方法，加強數形結合思想的應用意識，增強運用化歸思想處理三角形問題的一般策略.

（三）在學生學習中撥云見日

學生是學習的主體.學習數學就是要培養數學思維能力，形成數學思想，并運用所學知識去解決實際問題.因此，教師要避免滿堂灌的教法，留出學生思考和練習的時間，充分發揮學生的主體作用，讓學生在教師的啟發引導下進行探索研究活動，通過解題訓練，歷經不斷試錯、糾錯、碰壁糾偏后，使他們在知識學習、問題解決、靈活運用的過程中學會舉一反三，系統培養演算、空間想象和邏輯思維能力，領悟與體驗數學思想方法的形成，并逐步內化于心.及時小結復習、梳理歸納出最核心、最關鍵的東西，以強化刺激，讓學生在腦海中留下深刻的印象，促使學生實現從感性認識到理性認識的飛躍.一方面，要注重在問題解決過程中激活.數學思想方法是幫助學生構建解題思路、養成良好思維習慣的關鍵.要通過學生對解題規律的觀察，主動發現、真正領悟隱含于其中的數學思想方法，給學生養成數學運算、數據分析、數學抽象、邏輯推理等數學素養.另一方面，要注重在總結歸納中點明.數學思想方法貫穿在整個中學數學教材的知識點中，要有目的、有步驟地引導學生參與數學思想的提煉概括過程，從而幫助學生更透徹地理解所學的知識及其相互聯系，提高獨立分析、解決問題的能力.

中國科學院院士姜伯駒說：“數學已經從幕后走向前臺，直接為社會創造價值.”著名數學家華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學.”“學習數學最好到數學家的紙簍里找材料，不要只看書上的結論.”知識的記憶是暫時的，而思想方法的掌握是永久的.中學生是祖國未來的棟梁，掌握好數學知識及其蘊含的數學思想方法，對發展與完善學生的認知結構，提高學生的數學素養有重要意義，同時，既是新課程數學教學的具體目標，也是信息時代下素質教育的內在需要.

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（責任編輯 黃春香）