井下段鉆柱耦合振動及鉆井液壓力分析*

劉 靜 王 川 郝 晨 杜青云 王 濤 張 鋮

(1.西南石油大學機電工程學院 2.大港油田石油工程研究院3.中國石油集團渤海鉆探工程有限公司定向井技術服務分公司)

0 引 言

在深水鉆井作業過程中，當鉆頭與地層接觸時，鉆柱系統會同時受到橫向、縱向和扭轉振動的干擾，這嚴重影響鉆柱和井下設備的使用壽命。產生這些振動的原因包括井筒內壁和鉆柱以及鉆頭和地層界面的沖擊和摩擦、鉆鋌段的不平衡、偏心或初始曲率、各種線性或非線性共振等。這些振動通常比較復雜，并且同時發生[1-2]。R.DAWSON等[3]和牟海維等[4]系統研究了鉆柱的黏滑振動，并證明只能用非線性摩擦力解釋黏滑現象。況雨春等[5]建立了鉆頭和鉆柱扭轉振動仿真模型，得到了鉆頭處扭矩的變化規律，但沒有考慮波動鉆速對扭矩的影響。W.R.TUCKER等[6]建立了一個完整的連續介質模型，該模型解釋了橫向、縱向和扭轉振動之間的完全耦合以及它們之間的能量交換，但沒有考慮井筒壓力的變化。劉清友等[7]將井下部分的鉆柱和鉆頭簡化為彈簧-阻尼-質量系統，建立了鉆頭和巖石相互作用的動力學模型，鉆頭和鉆柱橫向、縱向和扭轉振動模型，但沒有分析不同振動方式的耦合作用。韓春杰和閆鐵等[8-10]采用微元線性法對鉆柱的橫向、縱向和扭轉振動進行了分析，使用有限元法研究了鉆柱軸向的振動規律，但沒有分析鉆井參數對鉆壓的影響。李國慶等[11]使用有限元方法分析了鉆柱的橫向、縱向和扭轉耦合振動，在考慮鉆柱耦合振動的彈性剛度和幾何剛度基礎上，建立了鉆柱耦合振動分析的綜合模型，但是沒有分析井筒內鉆井液的壓力波動情況。

針對上述問題，本文通過對深水鉆井井下段鉆柱的受力分析，建立了井下段鉆柱非線性耦合振動數學模型和井筒內鉆井液壓力波動模型，分析了波動鉆壓對鉆柱橫向和縱向耦合振動以及井筒內鉆井液壓力波動的影響，以及波動轉速對鉆柱縱扭耦合振動、黏滑振動、鉆壓以及鉆頭扭矩的影響。

1 鉆柱非線性耦合振動數學模型

深水鉆井過程中地層的不確定性會使鉆頭受力不穩定，容易引起跳鉆以及鉆頭扭矩波動。鉆頭主動扭矩的釋放會導致鉆柱發生周期性反轉，加劇鉆柱縱向振動[12]。鉆柱扭轉振動時會發生橫向變形，與井壁接觸產生摩擦。摩擦力會引起鉆柱渦動和黏滑振動，同時加劇鉆柱反轉，反過來影響鉆柱橫向和縱向振動，幾種振動耦合在一起產生的交變應力極易使鉆柱發生斷裂和磨損等事故。鉆柱耦合動力學除了與鉆柱和井眼參數有關外，還與環境和鉆井平臺等因素有關，合理分析深水鉆井鉆柱耦合動力學機理對減少鉆具疲勞失效至關重要。井下段鉆柱耦合振動模型如圖1所示。

圖1 井下段鉆柱耦合振動模型

鉆柱在井筒內的3個自由度分別為軸向位移z、橫向位移r和旋轉角度θ。設井眼軸線與井口平面的交點為坐標系原點，鉆柱軸向位移豎直向下的方向為正，橫向位移指向井壁的方向為正，鉆柱繞井眼中心軸的旋轉角度以逆時針方向為正。在切削鉆進過程中，鉆柱系統的轉速Φr以及預設鉆壓(Wob)由頂部鉆機提供。

1.1 基本假設

鉆柱的橫向、縱向和扭轉振動通常同時存在，并且互相影響。為了研究鉆柱的非線性耦合振動規律以及鉆柱振動對鉆壓、轉速和鉆井液壓力的影響，取從井口到井底的鉆柱整體為研究對象，并在以下假設的基礎上搭建鉆柱非線性耦合振動模型：①鉆柱結構一體化，將其視為彈性體；②對于縱向振動，將鉆柱兩端簡化為鉸支，不考慮鉆柱接頭處與井壁的接觸外力，只考慮受力變形；③鉆柱截面為圓形，其內外邊界以及井筒內壁都為剛性；④井口為固定端，井筒底部為自由端；⑤鉆柱軸線與井眼軸線重合，且轉角為0。

1.2 非線性耦合振動方程

在上述假設的基礎上，參考文獻[13]建立井下段鉆柱非線性耦合振動微分方程：

(1)

式中：ml、ma分別表示鉆柱系統橫向和軸向有效質量，Fr、Ft分別表示鉆柱與井壁接觸時產生的徑向力和切向力，Fob和Tob分別表示鉆柱對井底的壓力以及鉆頭受到的扭矩，ka、kr、kt分別表示鉆柱縱向、橫向和扭轉剛度，ch、ca、ct分別表示井筒內鉆井液對鉆柱橫向、縱向以及扭轉振動損耗系數，v表示鉆柱中心在水平方向上的速度，eo表示鉆柱的偏心率，J表示鉆柱的轉動慣量，Dco表示鉆鋌外徑。

上述方程中的變量Fob和Tob可以用如下非光滑方程進行描述[14-15]：

(2)

(3)

式中：kc表示地層剛度，so表示鉆井不規則參數，Dw表示井眼直徑，nb表示鉆頭系數，與鉆頭類型相關。

鉆頭上的扭矩由鉆頭與井壁的摩擦力以及鉆頭切削巖石的力共同抵消，摩擦損耗部分由以下平滑函數給出：

(4)

式中：us為鉆頭與井壁的靜摩擦因數，uk為鉆頭與井壁的動摩擦因數。

δc表示鉆頭的平均切削深度，表達式為：

(5)

(6)

鉆柱與井筒的接觸力可分解為沿徑向的力Fr和垂直于徑向的切向力Ft兩種非光滑力，其定義如下：

(7)

(8)

式中：Dw表示井眼直徑；橫向接觸力f(vrel)通過參考文獻[13]提出的軸向扭轉接觸來描述，其表達式為：

(9)

(10)

考慮鉆井液對鉆柱系統有效質量的影響，鉆柱系統在縱向和橫向上的有效質量ma、ml可分別表示如式(11)和式(12)所示。同時為了簡化模型，底部鉆具組合只考慮鉆鋌。

ma=mBHA+mad+mdp

(11)

ml=mBHA+mad

(12)

式中：mBHA表示底部鉆鋌的質量，mad表示鉆井液對鉆鋌的附加質量，mdp表示鉆柱質量。

鉆柱系統的扭轉慣量J由鉆柱底部鉆具組合慣性和上部鉆柱慣性組成，其表達式如下：

(13)

式中：ρ表示鉆柱材料密度，dco表示底部鉆鋌的內徑，lBHA表示鉆鋌長度，Ddp和ddp分別表示鉆柱的外徑和內徑，ldp表示鉆柱長度。

鉆柱在縱向、橫向和扭轉方向上的剛度計算方法如下。其中，橫向剛度kr受鉆頭扭矩和鉆壓的影響，表明鉆柱的橫向剛度會隨著鉆頭的扭矩和鉆柱對井底的壓力波動而發生變化。

(14)

(15)

(16)

式中：E和G分別表示彈性模量和剪切模量，I表示鉆柱的慣性矩，其計算式如下。

(17)

2 鉆柱振動引起的壓力波動

2.1 鉆柱升沉運動引起的壓力波動

(18)

式中：ΔpG表示因鉆柱升沉運動引起的井眼環空內壓力波動，ΔS=x(t)，表示鉆柱底部升沉運動的位移，Vd表示井眼內鉆柱的體積，Va表示井眼內鉆井液的體積，cf表示井眼內鉆井液的可壓縮性系數。

2.2 鉆柱彎曲變形引起的壓力波動

鉆柱在井筒內的橫向、扭轉振動以及鉆具的渦動都會引起鉆柱的彎曲變形，考慮由于鉆柱的彎曲變形引起的鉆井液的流動，則其造成的流體壓力分布為[17]：

(19)

(20)

(21)

式中：Ω和ω分別表示鉆柱轉動和渦動角速度，h表示井眼軸線到鉆柱外緣一固定點的距離。

3 模型求解及模擬分析

采用四階龍格-庫塔方法在Matlab中搭建模型，進而求解鉆柱耦合振動模型。龍格-庫塔法是解微分方程的方法之一，由于其精度高、收斂穩定，所以在工程上應用十分廣泛。其表達式如下：

(22)

其中：

k1=f(xn,yn)

(23)

(24)

(25)

k4=f(xn+h,yn+hk3)

(26)

將耦合模型降階后可表示為：

(27)

由式(23)～式(26)可以得出耦合模型的龍格-庫塔求解公式：

(28)

其中：

(29)

(30)

(31)

(32)

在建立深水鉆井井下段鉆柱耦合振動模型時，主要考慮了鉆井系統的鉆壓和轉速等因素對鉆柱耦合振動以及井筒內鉆井液壓力的影響。以南海某深水井數據為例，其水深1 000 m，井深500 m，鉆柱和鉆鋌長度分別為1 300和200 m，鉆柱內、外徑分別為0.135 8和0.168 3 m，鉆鋌內、外徑分別為0.076 2和0.228 6 m，鉆柱材料密度為7 850 kg/m3，其彈性模量和剪切模量分別為210和78 GPa。鉆井液密度為1 300 kg/m3，且假設其不可壓縮，井筒內鉆井液的附加質量為33 450 kg。井眼直徑為0.381 m，地層剛度為23 000 kN/m，鉆井不規則參數s0=0.001。頂部鉆機的額定轉速為40 r/min，平均鉆壓為22.5 kN。鉆柱的損耗系數ch、ca、ct分別為21 830、4 000、7.4，鉆柱與井壁的動摩擦因數為0.3、靜摩擦因數為0.35。鉆柱的偏心率eo=0.5，鉆頭系數nb=3?；谏鲜鰠?，對井下段鉆柱的各種耦合振動進行模擬分析。

3.1 深水鉆井鉆柱橫縱耦合振動分析

深水鉆井中，井下段鉆柱的橫向振動主要由中性點至鉆頭段產生的離心力引起，離心力會使鉆柱彎曲變形，從而導致其縱向應力變化。鉆柱的縱向振動導致底部鉆壓變化，反過來影響鉆柱受到的軸向力，從而影響鉆柱的橫向振動和井筒鉆井液壓力分布。不同鉆壓下鉆柱的橫向、縱向振動規律以及井筒內鉆井液壓力波動規律如圖2～圖6所示。

圖2 不同鉆壓下鉆柱的橫向振動響應

圖3 鉆柱橫向和縱向振動響應隨鉆壓的變化

圖4 中性點橫向振動響應和井筒壓力波動

圖5 不同鉆壓下鉆柱縱向振動響應

圖6 不同鉆壓下井底鉆井液壓力波動

由圖2和圖3 可以看出，在僅考慮鉆壓的情況下，井下段鉆柱的橫縱向振動響應隨鉆壓的增加而變大，鉆壓對鉆柱的橫向振動影響更為明顯。這是由于鉆壓會影響地層對鉆柱系統的軸向支撐力，從而導致鉆柱橫向振動頻率改變。圖4表明井下段鉆柱中性點的橫向振動響應和附近的鉆井液壓力也隨鉆壓的增加而變大，同時呈周期性變化。由圖5和圖6可以看出，井下段鉆柱的縱向振動響應隨時間呈周期性變化，受到鉆柱縱向振動的影響，井底鉆井液壓力也隨時間呈周期性變化，同時鉆井液壓力隨鉆柱縱向振動幅度的增大而上升。

3.2 深水鉆井鉆柱縱扭耦合振動

深水鉆井中，井下段鉆柱的旋轉運動會引起縱向振動和動載，底部鉆具的縱向振動導致鉆壓和井底壓力波動。由于鉆壓的劇烈波動，鉆頭脫離井底引起跳鉆，跳鉆會對鉆頭造成沖擊。鉆頭黏滑振動引起的鉆頭轉速波動會加劇鉆柱縱向振動。此外，鉆柱縱向運動導致的周期性反轉運動也會加劇鉆頭上的扭矩波動，從而影響黏滑振動。

不同轉速下的鉆壓波動和鉆頭黏滑振動分別如圖7和圖8所示。鉆頭與地層保持接觸時，鉆壓不為0。當鉆頭發生黏滑振動時，儲存在鉆柱中的能量會被釋放，從而導致非常大的縱向和扭轉振動?？v向振動反過來又影響鉆壓和鉆頭扭矩的大小。當轉速增加時，鉆柱的縱向振動幅度以及鉆頭扭轉振動幅度都會增大，這是因為縱向共振的作用。這種共振導致鉆頭與地層失去接觸，鉆壓和鉆頭扭矩都為0。由圖9和圖10可以看出，隨轉速的增大，雖然鉆柱的縱向振動和鉆頭扭矩波動也隨之增大，但轉速增大對鉆柱縱向振動影響更大。此外，鉆頭處的扭矩波動隨時間呈現周期性變化。因此，在進行鉆井作業時，需要根據不同的工作環境選擇合適的轉速。

圖7 不同轉速下的鉆壓波動

圖8 不同轉速下鉆頭黏滑振動

圖9 鉆柱縱向振動和鉆頭扭矩隨轉速的變化

圖10 不同轉速下鉆頭扭矩波動

4 結 論

(1)針對深水鉆井作業中井下段鉆柱橫向、縱向和扭轉方向的非線性耦合振動以及井筒內鉆井液壓力波動的問題，建立了井下段鉆柱橫向、縱向、扭轉耦合振動和鉆井液壓力波動的數學模型，通過對各種鉆井情況下鉆井系統的鉆壓和轉速等參數的模擬計算，獲得了井下段鉆柱耦合振動的基本規律以及鉆井液壓力波動規律。

(2)增大鉆壓對鉆柱的橫向振動影響最大，同時又導致了井筒內鉆井液壓力的劇烈波動，使鉆柱動力穩定性變差。

(3)增大轉盤轉速對鉆柱系統縱向振動影響最大，轉速的增大會使鉆柱的縱向振動幅度和鉆頭扭矩波動幅度上升，降低鉆柱穩定性。

(4)鉆柱系統的耦合振動存在共振的可能，并且耦合振動呈一定的周期性變化。鉆柱耦合振動規律的深入研究有助于鉆柱振動理論及分析方法的完善，并且對工程施工具有一定的指導意義。