二維空間中一類廣義Zakharov系統爆破率的下界估計

孟令慧， 王 月

（天津大學 應用數學中心，天津300072）

1 引言與主要結果

本文考慮二維空間中一類廣義Zakharov系統

系統（1）描述了冷等離子體中磁場的自生效應.（E1，E2）表示緩變高頻電場的復振幅，n表示電子密度在其平衡位置的擾動［1-2］.

賦予系統（1）初值：

對于經典的Zakharov系統

的有限時間爆破解的動力學行為的研究，已有了一些工作.特別地，Merle［3］研究了（3）式有限時間爆破解的爆破率的下界估計.對于系統（1），文獻［4-6］研究了Virial型有限時間爆破解的存在性、非線性不穩定性及有限時間爆破解的爆破率的時空積分估計.文獻［4］利用一個Virial型恒等式，采用極限方法得到如下結果.

命題1.1設（E10，E20，n0，v0）是關于x的徑向對稱函數，且H（E10，E20，n0，v0）＜0，則初值問題（1）～（2）的解（E1，E2，n，v）（t，x）滿足如下二擇性結果：

（i）（E1，E2，n，v）（t）在空間H1（R2）×H1（R2）×L2（R2）×L2（R2）中有限時間爆破；

（ii）（E1，E2，n，v）（t）在空間H1（R2）×H1（R2）×L2（R2）×L2（R2）中無限時間爆破，即對任意時間t，（E1，E2，n，v）（t）有定義，且有

成立，其中H（E10，E20，n0，v0）由第2節（8）式給出.

受文獻［3］的啟發，本文將研究當爆破時間T＜＋∞時，（1）～（2）式的有限時間爆破解（E1，E2，n，v）（t）在t→T時，其在空間H1（R2）×H1（R2）×L2（R2）×L2（R2）中的范數

是以何種方式趨于無窮，即研究初值問題（1）～（2）的有限時間爆破解的爆破率的下界估計.

文獻［5］在二維空間中構造了初值問題（1）～（2）在［0，T）上的一類爆破解，其形式如下：

本文將在二維空間中，研究系統（1）的有限時間爆破解的爆破率的下界估計，即如下主要結果.

定理1.2設（E1，E2，n，v）（t）是初值問題（1）～（2）的有限時間爆破解，且T為爆破時間，則存在僅依賴于初始值的常數

使得當t→T時，有

與經典的Zakharov系統（3）的相關結果相比，由于磁場效應的存在，即（1）式中非線性項包含這2項的存在給研究本文的相關問題帶來了一定的困難.針對這些困難，通過對系統（1）做合適的尺度變換，并對磁場效應引起的相關項做恰當的先驗估計，得到在能量空間中系統（1）的有限時間爆破解的爆破率的一致下界估計.

2 預備知識

由文獻［2，4］可得柯西問題（1）～ （2）解的局部適定性理論.

命題2.1令初值

則柯西問題（1）～（2）在［0，T）上存在唯一解

且成立T＝＋∞或T＜＋∞，使得

此外，對任意t∈［0，T）成立如下的質量守恒和能量守恒：

其中

利用尺度變換，可得如下結論.

引理2.2對任意t∈［0，T），令

其中，s∈［0，λ2（T－t）），

此外，有如下結論成立：

證明直接計算可得引理2.2的結論.

引理2.3對任意s∈［0，λ2（T－t）），方程組（10）～（13）的解滿足

其中，H如（7）～（8）式定義.此外，當t→T時，存在充分小的c＞0，使得

證明利用引理2.2，直接計算可得（17）式.注意到，當t→T時，λ（t）→ ＋ ∞，由此可知（18）式成立.

利用類似于文獻［7］中的方法，可得如下結果.

引理2.4令 λ≥1且是方程組（10）～ （13）在［0，θ1］上的解，使得對任意s∈［0，θ1］，有

且對于k≥2，有

則存在c＞0，使得當s∈［0，θ1］，有

令A（t）＝eiΔt是自由Schr?dinger半群，由文獻［7］可得如下結果.

引理2.5對任意 φ（x）∈H1（R2），有：

由文獻［8］可得如下引理.

引理2.6對任意u∈H1（R2），有如下結論成立

其中，Q是方程

的唯一徑向正解.

3 主要結果的證明

定理1.2的證明首先，將證明當t→T時，方程組（10）～（13）的解在空間H1（R2）×H1（R2）×L2（R2）×L2（R2）中的范數一致有界，即如下結論成立.

命題3.1令λ≥1，且令存在常數c1＞0使得

且

證明取 θ1＞0，使得任意s∈［0，θ1］，有：

其中，

β0＞1是給定的一個充分大的常數.由引理2.4知，在［0，θ1］上有定義.

下證 θ1＞θ2＞0，其中 θ2僅依賴于常數c1.此證明分2步.

由（10）～（11）式知，對任意s∈［0，θ1］可得：

對任意s∈［0，θ1］，由引理2.5可得：

注意到，由引理2.6可得：

同理可得

由（15）～（16）式知

于是，由（15）～（16）和（25）～（29）式知

其中，c0≥4.

第二步，估計

的一致上界.

另一方面，由引理2.3，（21）及（30）式知，對任意s∈［0，θ1］可得

其中，c*≥512.當t充分接近有限爆破時間T時，存在充分小的c3＞0，使得于是，由（31）式可推知對任意s∈［0，θ1］，有

于是，對任意s∈［0，θ2］，有

由此，命題3.1得證.

注意到，當t→T時，λ（t）→ ＋ ∞.于是，當t→T時，由命題3.1及（14）式知

于是，定理1.2得證.