數學建模思想融入課堂教學的策略和路徑研究

趙彥勇，葉緒國

（1.南京審計大學，江蘇南京 211815；2.凱里學院，貴州 凱里 556011）

全國大學生數學建模競賽是具有廣泛社會認可度的基礎性學科競賽之一，這項競賽是面向全國高校大學生組織的規模最大的競賽之一.許多高校為了參加此項比賽并取得優異成績，在二年級或者三年級開設數學實驗或者建模課程，讓學生在學習、競賽的同時，能夠科學合理地運用數學建模知識解決實際問題.這也讓教育工作者意識到高校數學課程改革的必要性，思考如何在數學課程中融入建模思想和方法，體現素質教育宗旨，順應時代的需求，培養具有靈活的數學思維、創新精神、較強的動手能力以及靈活運用數學建模思想解決實際應用問題的高素質人才.

1 數學建模的重要性和融入課堂教學的意義

數學建模是人們通過數學思維活動對抽象的“客觀存在的現實世界”用具體的數學公式、數學語言或數學符號來表示，通常這種表示形式需要準確描述其重要且有用的特征.簡而言之，數學建模的核心是人們認識客觀世界、揭示客觀規律的過程，體現了人們認識和改造世界的能力.數學模型是人們對客觀世界中存在的問題，通過數學思維和方法對部分現實世界作出的具體的、簡化的數學結構，它是人們對于客觀世界認識的結果，體現了事物內在的規律和特性.數學模型是由數學公式或符號組成的，它是能表達實際問題的主要特性的近似描述，是數學建模過程中的產物.

數學建模的基本思想和方法是用數學的語言和方法描述客觀現象，表示其內在規律和基本特征.首先將有待解決的問題轉化為計算數學問題，構建具體模型，解決數學模型中體現的數學問題；然后，對所建立的數學模型，通過邏輯推理、計算或者分析，求出問題的解；最后，在原有的數學模型的基礎上，根據實際情況通過再抽象、再認識，或者采用結論返回實踐檢驗等方法修改模型，逐漸完善.

數學建模思想融入數學課堂教學有重要的意義，具體體現在以下三個方面：

1.1 激發學生對數學的求知欲

目前大學數學教學較少地講解數學概念產生的過程和形成的原因.從數學知識的發展和形成的過程來看，傳統的數學基礎課程的發展過程中含有豐富的數學建模素材.許多概念本身就對應著某些實際原型，是從客觀實際的數量關系中抽象出來的數學模型.事實上，學生往往認為具有實際應用痕跡的數學更具有吸引力，更能激發學生的求知欲.因此，如果在高校數學課堂中，教師通過講解一些數學實際的知識背景、數學建模的思想方法和過程，讓學生了解數學家是如何從現實世界中發現數學問題，如何構造具體的數學模型，并通過對模型的分析和計算來解決實際問題的，這更能激發學生的學習興趣.因此教師應從問題出發，引導學生構建模型，讓學生帶著問題去探索和學習數學知識.學生在思考和探索的過程中，體會到了數學的魅力，慢慢認識到數學應用的廣泛性和實用性，意識到自己在解決實際問題的過程中所擁有的數學知識和技能還遠遠不夠，從而對數學知識產生了強烈的求知欲望，這樣就能有效地提高學習效率.

1.2 增強學生數學應用能力的培養

高校數學基礎課程具有抽象程度高、內容多、課時少的特點，任課教師通常采用“概念—定理—證明—例題—習題”這種傳統的教學方式.這種教學方式雖然培養和增強了學生的空間想象能力、數學思維能力和運算能力，卻忽視了學生數學應用能力和技能的培養.學生往往不了解數學概念和定理的由來，不知道學了數學有什么實際用途.部分學生是為了學分或是成績而學數學，導致學生處于被動接受知識的狀態，缺乏學習興趣，對數學望而生畏.將數學建模思想方法融入數學基礎課程，也就是從現實世界中發現和提煉數學問題，用數學語言或者數學模型描述實際問題，用數學工具給出解答，可以在一定程度上增強學生數學應用能力的培養，彌補傳統數學教學在能力培養方面的不足.

1.3 促進教師知識和能力的更新

對于數學基礎課程的教學，教師往往比較重視理論的證明和運算，較少涉及數學應用和計算機技術能力的培養.學生獲取的專業知識在結構上往往顯得單一，應用性不強.近年來，隨著計算機技術進入數學應用領域，學習數學應用軟件已迫在眉睫.例如Matlab等都是常用的數學軟件，這些數學軟件也是數學建模經常用到的數學工具，如果將軟件教學融入數學課堂，可以促進學生對數學建模的思想和方法的理解，對全面素質教育和培養創新性復合人才具有重要的意義.這就需要任課教師不斷更新自己的專業知識，學習現代科學技術，提高自己的業務水平和科研能力.

2 建模思想融入課堂教學的實施策略

在新時代高素質人才需求的背景下，提高大學生的動手能力和創新意識是大勢所趨.如何將數學建模思想循序漸進地融入課堂教學，需要我們從轉變教學觀點、轉變教學模式、重構學習評價體系和完善建模思想內容這幾個方面入手.

2.1 轉變教學觀點

高校教師想把數學建模思想無縫對接地融入課堂教學，關鍵是要轉變教學觀點.要充分認識到它與傳統的教學過程并不矛盾，能給課堂教學帶來新元素和新氣息.在日常教學活動中，要把傳統教學方法和建模思想有機結合起來.數學的應用需要基礎，缺乏基礎的應用沒有保障，把建模思想融入到課堂教學中，沒有削弱數學基礎課的地位，它與單純地上數學建模課也不同，它的目的依舊是按照教學大綱和教學目標講授核心概念內容，建模思想的融入只是起配角作用，要使用樸實、簡明、扼要的背景和案例，起到“潤物無聲”的效果.

2.2 轉變教學模式

財經類高校中數學的教學目標與其他類型的高校有所不同，財經類高校的教學目標實用性要更強，并且注重數學知識在經濟金融等領域的應用，因此，財經類院校教師在教學活動中需引入經濟金融案例，注重培養學生解決問題的能力和技能.數學課程還是其他學科的理論基礎，因此要著重提高學生的數學邏輯思維能力.隨著人工智能時代的到來，傳統的數學課堂教學方式已經不能滿足現代教學的要求，融入建模思想是現代數學課堂教學的必然趨勢.以南京審計大學為例，在第二學年會開展數學建模課程學習，學生首先要掌握基本的數學方法和原理，把它們合理地用于解決遇到的經濟金融問題.組織模式最好是小組合作，每組3-5位學生，教師給出具體案例或實際問題，學生在組長引領下自主選擇模型學習和探討，分組匯報，再由教師進行總結，這樣能有效提升學生的自主創新和團隊協作能力.

2.3 重構學習評價體系

一般的學習評價體系是以學生的綜合考試測評作為主要參考指標，事實上，這種評價方式并不能綜合地評價學生的學習和動手能力，并且也不能達到促進學生主動學習、提高數學思維和動手能力的效果.因此，教師在將數學建模思想融入基礎教學課堂的過程中，需要重新建立教師對學生的學習評價體系.評價指標可以分為學生在數學建模過程中的互相配合和動手能力、建立數學模型的創新性和實用性、數學綜合考試測評等多方面內容.例如，在班級內成立評價和監督委員會，在學習過程中對學生提出疑問，給出建議，互相交流并督促學生完成學習任務.在任課教師講授過教材內容后，對學生建立的數學模型的創新性和實用性給出評價和意見，學生根據教師的指導做出相應的修正和完善.這樣，學生在這種互相討論、配合、主動動手不斷修正的過程中學習和理解了所學知識，并循序漸進地提高了綜合能力.因此，重構學習評價體系的最終目的是提高學生的綜合素質.

2.4 完善建模思想內容

高校教師為了將建模思想充分融入數學基礎課程的學習中，就需要完善數學建模的思想內容.首先，教師要先讓學生充分了解高校數學的具體學習內容，如教師在講授導數的定義及其作用、函數的最大值和最小值等內容時，應重點強調這些數學知識對于本專業的基礎應用價值；然后，教師從現實生活中引入一個具有強烈數學建模思想的數學問題，如在計算導數求解最值時，教師先讓學生了解最值的意義，進而發現通過導數求解最值的學習可以處理成本與利潤之間的關系；最后，要讓學生在整個學習過程中形成良好的應用意識，為學生的數學建模打下良好的學習基礎.這種教學方式不僅能提高學生自主解決實際問題的能力，而且可以提高數學課程的教學質量.

3 建模思想融入課堂教學的路徑探索

大多數人認為數學是由一堆難懂的公式和抽象的證明組成的，并沒有太多的實際用處，學好了證明和計算便學好了數學，但事實并非如此，數學最基本的特性就是廣泛的應用性，學習數學基礎知識就是為了實現數學的應用價值.傳統數學課堂中，教師更多關注理論知識教學，并沒有充分拓展數學的應用性.那么，數學到底是怎樣用來解決實際問題呢？數學的公式和符號怎么解決現實問題呢？首先，我們要將現實問題用數學語言和方法進行描述，體現出實際現象的主要特性，將現實問題轉化為數學問題.再利用已有知識解決數學問題，達到解決實際問題的目的.這個問題轉化的過程就是數學建模.因此，從數學一開始產生就是在不斷進行數學建模.教師要從數學知識形成過程中引入數學建模思想，讓學生從源頭上重新認識數學定理和概念，打破學生對數學公式、定理等枯燥無味的固有認識，加深學生對數學定理的理解.同時，學生在數學建模的過程中，自己動手，借助計算機，嘗試數學應用，在畢業以后也能夠更好地適應社會的需求.我們嘗試從以下兩個例子來講解如何在課堂教學中融入數學建模的思想方法.

3.1 從數學知識形成過程中引入數學建模思想

例1矩陣定義的講解及其加（乘）法運算.

在傳統的講解過程中，學生較難理解矩陣的運算法則：對于兩個矩陣A和B，矩陣A加B時，為何A和B的行數與列數要分別對應相等；矩陣A乘B時，A的列數與B的行數為何要一樣；若AB=C，Cij為何是A的第i行與B的第j列對應元素乘積之和；為何交換律不適應于矩陣乘法.為了解答學生的這些疑問，我們采用以下實例為背景進行講解.

設學校高二有一班、二班、三班、四班、五班、六班6個班級參加數學競賽和英語競賽，每項競賽的前五名得分并有現金獎勵.前五名得分分別記10，8，6，4，2 分，對應得獎金100，80，60，40，20元.已知各班級的數學競賽和英語競賽的成績記錄如表1和表2.

表1 數學競賽成績

表2 英語競賽成績

首先，根據上表導出矩陣的定義.如果用矩陣A1和A2分別表示數學競賽和英語競賽的成績.用矩陣B表示對應的獎金.則有：

各班級數學競賽和英語競賽的排名和成績用A來表示，即A=A1+A2，因此可知矩陣加法是兩個行數和列數都相等的矩陣，把對應元素相加得到新矩陣.英語競賽后各班級的得分與獎金用C1來表示，且C1=A1B.通過上例可到矩陣乘法定義.顯然，矩陣相乘必須要求A的列數和B的行數相等.同時，觀察到C的元素Cij等于A的第i行元素與B的第j列元素對應相乘之和.不難發現，B的列數與A的行數不相等，因此它們的元素不能對應相乘，也就是說矩陣B不能與A相乘，因此，交換律并不適應于矩陣乘法.再根據數學競賽和英語競賽后各隊的得分與獎金表示：A1B+A2B=(A1+A2)B，可直觀地得出矩陣乘法滿足加法的分配律，由此再回到課本上引導學生從理論上證明矩陣加（乘）法的法則及其運算律，從而使學生更加理性的認識和深刻的理解矩陣運算法則的必然性和合理性.

3.2 在解決實際問題中引入數學建模

數學建模是利用已有知識對現實問題構造數學模型，經過分析、計算和迭代等方法處理后得到定量的結果，為人們對實際問題作分析、預報、決策和控制提供理論依據.在解決實際問題中引入數學建模，靈活運用各種數學知識去描述和解決實際問題，不但加強了學生數學知識的學習，而且培養了學生應用已學到的數學知識和方法進行綜合分析和應用的能力.

例2“吸煙有害健康”公益宣傳活動要在電臺、網絡、報紙上刊登宣傳，目的是讓更多的人了解吸煙的危害，減少抽煙，表3是宣傳活動的調查結果.

表3 “吸煙有害健康”公益宣傳活動調查結果

現在，我們希望總的播放費用不超過1000（千元），并且要求：至少要有300萬男性受到“吸煙有害健康”公益宣傳活動的影響；電臺的播放費用不超過600（千元）；電臺播放白天至少播出4次，晚上至少播出3次；通過網絡、報紙宣傳需要重復6-9次.

解：令x1，x2，x3，x4分別表示電臺白天、電臺晚上、網絡和報紙公益宣傳活動的次數.由于總的播放費用不超過1000（千元）的約束條件，所以：40x1+60x2+20x3+15x4≤1000；受宣傳活動影響的男性人數的約束條件為：200x1+400x2+300x3+100x4≥30000；電臺的播放費用和宣傳次數的約束條件為：40x1+60x2≤600，x1≥4，x2≥3；網絡、報紙的宣傳次數的約束條件為：6 ≤x3≤9，6 ≤x4≤9；受“吸煙有害健康”公益宣傳活動影響的人數：Z=500x1+1000x2+400x3+300x4；故完整的線性規劃如下：maxZ=500x1+1000x2+400x3+300x4，

通過Matlab軟件便可求解上述線性規劃模型.

4 總結

隨著人工智能時代的到來，社會對具有較強動手能力和靈活運用知識解決現實問題的高素質人才的需求越來越多，數學建模適應時代的需求，能很好地培養學生的動手能力和邏輯思維能力.在課堂教學中融入數學建模思想可以激發學生的求知欲、提高學生的數學應用能力、促進教師知識和能力的更新.在計算機技術的飛速發展和廣泛應用的新形勢下，專任教師應該在課堂中轉變教學觀點、轉變教學模式、重構學習評價體系、完善建模思想內容，通過從數學知識形成過程中引入數學建模思想以及在解決實際問題中引入數學建模更好地培養適應社會需要的數學人才.