積分中的變換運用

黃朝軍

（凱里學院，貴州凱里 556011）

0 引言

積分的計算，大多數就是要找到原函數，利用上下限的函數值來計算出積分值［1］.在積分計算中，被積函數的形式與積分區域是緊密關聯的.對于定積分即一重積分，積分區域就是直線上的一個區間；對于二重積分，積分區域就是平面上的一個封閉區域；對于三重積分，積分區域就是空間中的一個封閉立體區域；對于曲線積分，積分區域就是平面或空間中的一條曲線；對于曲面積分，積分區域就是平面或空間中的一個曲面.積分的計算過程往往就是讓被積函數的形式與積分區域的形式逐步融合為一體的過程，常常采用變換達到這樣目的.

1 變換的Jacobi行列式

設T:Ω →V是一一對應的映射，即T:xk=xk(ξ1,ξ2,…,ξn),k=1,2,…,n,(ξ1,ξ2,…,ξn)∈V，n為正整數，其中每個函數都有一階連續偏導數［2］，則Jacobi行列式為

當n=1 時，Jacobi 行列式就是一個數；當n=2 時，Jacobi 行列式就是一個二階行列式；當n=3時，Jacobi行列式就是一個三階行列式.在積分中利用變換，被積函數要發生變化，同時積分區域元素形成一個倍數關系式dΩ=|J|dV.

很多數學教材上都介紹了極坐標變換、球坐標變換、廣義球坐標變換、柱坐標變換等，實際上還有更多的一些變換，如倒數變換x=ξ-1，方冪變換ξ1,ξ2,…,ξn≥0）等.

2 利用變換解決積分計算

一般來說，在原函數能找到的情況下，還要尋找上下限的值，這也是一個困難之處.為了尋找到上下限，往往要對積分區域施行變換，其作用是把不規則、不利于被積函數的積分區域變為比較簡單的、規則的、有利于被積函數的簡化的區域，這樣的變換是一種一一映射.

2.1 一重積分

一重積分的積分區域為直線上的一個區間，使用變換的主要作用是讓被積函數的形式轉化，以便容易計算出積分值.

2.2 曲線積分

曲線積分的積分路徑為平面上或空間中的一條曲線，使用變換的主要作用是讓積分路徑變得規則，充分與被積函數的形式高度融合，以便容易計算出積分值.

2.3 重積分

重積分的積分區域為平面上或空間中的封閉區域，使用變換的主要作用是讓積分區域變得簡單規則，充分與被積函數的形式高度融合，以便積分計算更加容易.

推論1設f(x1,x2)=XT AX+2αTX，其中X=(x1,x2)T，α=(a1,a2)T，A=(aij)2×2是2 階正定對稱矩陣，則平面區域σ:f(x1,x2)≤h2的面積為其中λ1,λ2是A的特征值，η1,η2是A的正交的標準化特征向量.

推論2平面區域σ:f(x1,x2)=XT AX≤h2的面積為其中X=(x1,x2)T，A=(aij)2×2是2階正定對稱矩陣.

推論3空間區域Ω:f(x1,x2,x3)=XT AX≤h2的體積為，其中X=(x1,x2,x3)T，A=(aij)3×3是3階正定對稱矩陣.

3 結束語

上述實例看出，變換在積分計算中有著巨大的威力，還有其他一些變換，如u=x+y,v=xy；u=x+y,x=(x+y)v；y=ux,y3=vx2；x=(x2+y2+z2)u，y=(x2+y2+z2)v，z=(x2+y2+z2)w等，在此不贅述.

如何選用變換，主要是根據積分中的被積函數和積分區域的特點.積分區域往往是不規則的復雜圖形，變換的作用是使積分區域變為比較規則的容易“看得見”的圖形，從而方便確定出上下限，同時把被積函數表達式化成簡單的形式.常規的做法是把無理式化為有理式，把超越式化為代數形式，把分式化為整式，把非線性式化為線性式子，等.對于二次曲線與二次曲面［3］，往往考慮用正交變換或可逆線性變換化為標準形式.