坐標學習與教材初探

邵秋晨

坐標是近代數學基礎核心課程內容之一，直接關系到我國數學課程的發展與完善，對于數學課程學習中有關坐標所接觸的內容及其重要性值得深入探究。坐標是解析幾何的基本概念，且涉及內容廣泛、綜合性強，需要學生經歷較長的認識過程去逐步理解和掌握，因此，教材在呈現該內容時采用了螺旋式編排，分階段逐漸深化。依據課程標準及教材內容，可以將坐標內容的學習分成三個階段：經驗性理解、形式化理解、結構化理解。

一、第一階段：經驗性理解（小學）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在這一階段的相關要求如下表所示：

處在第一第二學段的學生認知水平有限，還未能夠正式學習坐標內容，需要先培養空間觀念，從他們熟悉的日常生活中選取素材，如表述具體情境中物體的位置時，充分利用學生的生活經驗，上升為用數學的方法來進行。同時將數學思想滲透在教材內容中，讓學生從數的角度認識并描述物體的位置，體會數形結合思想，這也正是使坐標成為連接代數和幾何問題橋梁的核心思想之一，讓學生在探索、交流等活動中建立關于數對的概念，進而提升數學素養。

【案例1】人教版一年級上冊第二章：位置

教材提供了一張江上大橋圖，要求學生通過觀察各交通工具的位置關系來認識前后上下方位詞的含義。通過“做一做”活動，讓學生將文具按上下關系擺放，動手操作加深對上下關系的認識。選取課堂上師生共同認識左右的場景幫助學生初步熟悉左右關系，安排“做一做，使學生通過做動作來辨別有關自己其他的左右部位，在通過學生表述其他同學的位置加深學生對相對位置的理解。

分析：本章是學生學習坐標、接觸“圖形與知識”的起始課，學生對于位置關系已經有了一定的生活經驗，但認識還不成熟，所以通過與日常生活經驗密切相關的活動，用直觀的方式明晰物體相對位置的概念。雖然此部分并未明確給出坐標的概念，但通過以上經驗性理解，學生的空間觀念已經得到了培養，為今后坐標的學習奠定了基礎。

二、第二階段：形式化理解（初中）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在這一階段對應為第三學段（7-9年級）相關要求如下：

課程目標為探索并理解平面直角坐標系及其應用。

第一部分“坐標與圖形位置”：（1）結合實例用有序數對可以表示物體的位置;（2）理解平面直角坐標系的有關概念，能畫出直角坐標系;在給定的直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標;（3）在實際問題中，能建立適當的直角坐標系，描述物體的位置;（4）對給定的正方形，會選擇合適的直角坐標系，寫出它的頂點坐標，體會可以用坐標刻畫一個簡單圖形。

第二部分“坐標與圖形運動”：（1）在直角坐標系中，以坐標軸為對稱軸，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形的對稱圖形的頂點坐標，并知道對應頂點坐標之間的關系。（2）能寫出一個已知頂點坐標的多邊形沿坐標軸方向平移后圖形的頂點坐標，并知道對應頂點坐標之間的關系。（3）探索并了解將一個多邊形依次沿兩個坐標軸方向平移后所得到的圖形與原來的圖形具有平移關系，體會圖形頂點的坐標變化。

初中階段，學生進入到形式化理解階段，在這個階段，應該使學生接觸一般坐標理念，接觸與坐標有關的實質性內容。初中要使學生感受“有序數對”與“點的位置”、“數量關系”與“圖形位置關系”的內在聯系，所以安排了平面直角坐標系的相關概念、以及坐標在地理位置、圖形平移方面的應用。同時“能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置”，也蘊涵極坐標的思想，為今后的深入學習應用提前普及必要學科知識。通過使學生盡早接觸到平面直角坐標系這個數學工具，架起代數與幾何問題的橋梁，進一步體會坐標思想、對應思想、數形結合思想，同時在學習過程中發展邏輯思維、抽象能力。

【案例2】人教版七年級下冊第七章 平面直角坐標系

教材首先通過電影院座位和教室座位的實際問題介紹“有序數對”，并再結合數軸，嘗試用有序數對表示平面內點的位置，引出平面直角坐標系的概念，介紹了橫軸、縱軸、坐標等相關概念，并建立點與坐標的對應關系。接下來設置了一個拓展閱讀，讓學生了解在地圖上通過經緯度可以確定地理位置，從中得到啟發，學習建立坐標系。

在初步了解坐標可以確定一個地點的地理位置之后，第二節介紹了對于坐標方法的簡單應用，主要從“地理位置”和“平移變換”兩方面進行敘述。在編排這部分內容時，首先設置了一個探究活動，借此歸納出“可以建立平面直角坐標系，用坐標表示位置”的結論，并指出還可以通過方向和距離來表示平面內物體的位置;坐標還可以表示平移，教科書通過一個研究活動，討論將點進行平移時坐標的變化規律，再給出關于圖形平移引起圖形頂點坐標變化的探究題。接下去教科書討論了對三角形、平行四邊形頂點坐標進行加減所引起的相應的變化，并發現將圖形的全部頂點都進行同一變化時，圖形只是發生了整體的平移，新圖形和原圖形的大小形狀完全相同。

分析：平面直角坐標系是以數軸為基礎的，本章突出了二者的聯系，以數軸為出發點引入平面直角坐標系的有關概念;坐標系是數與形之間的橋梁，本章展示了平面直角坐標系建立的全過程，且用坐標的方法研究平移，鍛煉了學生數形結合的思想，用坐標在確定地理位置上的應用展現了坐標在實際生活中的應用價值;本章從確定位置出發引出坐標概念，再介紹建立坐標系的方法，最后利用坐標系解決確定地理位置的問題，從實際問題逐步抽象出數學問題，再去解決實際問題，問題情境—問題串—數學活動—思考與整理—明晰，是典型的新知學習體例3，符合學生的認知規律。

三、第三階段：結構化理解（高中）

《普通高中數學課程標準》在這一階段的相關要求如下：

必修課程對應內容“向量基本定理坐標表示”要求：（1）借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示;（2）會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算;（3）能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角;（4）能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件。

選擇性必修課程共涵蓋四部分坐標相關內容，第一部分“空間直角坐標系”要求：（1）在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置;（2）借助特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標，探索并得出空間兩點間的距離公式。

第二部分“向量基本定理及坐標表示”要求：（1）了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示;（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示;（3）掌握空間向量的數量及其坐標表示。第三、第四部分為直線與方程，以及圓與方程，均要求掌握在平面直角坐標系中對應圖形的方程表示。

高中階段，學生處在結構化理解階段，且高中數學銜接了初中基礎數學知識和大學高等數學理論，在知識層面屬于承上啟下的過渡階段4。坐標作為解析幾何的核心思想之一，幾乎滲透了所有高中解析幾何知識的教學。所以這部分的學習不僅要將坐標系從二維到三維過渡，還需要研究坐標與其他學科內容的聯系，進行知識的總結、概括、融合應用。在高中要掌握各曲線與向量的坐標表示，借此深入對位置關系的研究。從知識結構出發，展現坐標的應用價值，增進學生對于坐標的理解，拓展學生的思維空間。

【案例3】人教版A版必修2第六章第三節 平面向量基本定理及坐標表示

第三節第一部分引入了平面向量基本定理及相關概念，第二部分在此基礎上介紹了平面向量相關的坐標表示，分為正交分解、加減運算、數乘運算三塊。以坐標為工具研究向量，為通過“數”的運算處理“形的問題搭起了橋梁5。

分析：通過將向量的運算向數的運算類比、向量法與坐標法的類比，建立了學科知識之間的思想聯系，突出了坐標在解析幾何知識領域的基礎性，加強了以坐標為研究工具的實際應用價值。

四、總結

對于坐標思想的學習貫穿了我們整個學習的過程。在小學通過“找位置”對相對位置的概念有了接觸。初中通過對“有序數對”與“點的位置”二者內在聯系的學習，初步掌握了坐標的基本概念，并延伸出了對“數量關系”與“圖形位置”的討論，以及數形結合的思想方法。在高中的解析幾何教學中，都滲透著數形結合和坐標的思想方法6。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律?！?作為在數學課程內容中占有絕對地位的坐標思想在社會需要，數學學科目的，以及學生認知這三方面有著極其重要的價值。

從社會需要來看，坐標思想綜合性強，涉及知識領域廣，幾乎滲透所有解析幾何內容，是未來工作所需知識不可或缺的一部分。

從數學學科目的來看，通過對坐標的學習，學生不僅能掌握坐標相關的基本概念、運用坐標描述圖形的位置和運動，了解曲線的多種表現形式，為后續解析幾何的學習奠定基礎，還能體會從實際問題中抽象出數學問題的過程，培養探究數學問題的興趣和能力，體會數學在實際中的應用價值，提高應用意識和實踐能力，進而提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象思想。

從學生認知來看，根據皮亞杰認知發展理論，中學生正處在抽象思維培養的關鍵期，學習坐標系是很大的幫助，符合學生認知的規律。坐標思想中所蘊涵的數形結合、“相對與絕對”等思想有利于培養學生辯證邏輯，啟發學生數學思維，感受數學的邏輯之美。

所以在課程內容方面，我們不僅要掌握坐標的基本概念，還要能將坐標與圖形位置、運動相結合，熟悉各幾何圖形的坐標表示;學會根據不同的情況建立合適的坐標系，并選用不同的曲線方程形式來解決實際問題;要借助代數語言清晰描述幾何特征和問題，用代數的方法研究曲線之間的關系，從代數和幾何兩方面加深對于解析幾何、數形結合思想的理解。

參考文獻

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南京師范大學