周群益
(廣州理工學院通識教育學院 廣東 廣州 510540)
莫云飛
(長沙學院電子信息與電氣工程學院 湖南 長沙 410022)
侯兆陽
(長安大學理學院 陜西 西安 710064)
周麗麗
(贛南醫學院醫學信息工程學院 江西 贛州 341000)
兩個半徑和電流大小方向都相同的共軸通電線圈的距離等于半徑時,中間部分接近于勻強磁場,這種線圈稱為亥姆霍茲線圈[1~3].兩個大小相同的共軸圓環帶有等量異號電荷時,簡稱為帶電雙環.當雙環很近時,在遠處產生的電場等效于一個電偶極子產生的電場[4].與亥姆霍茲線圈類似,當兩環之間的距離等于某一臨界距離時,兩環之間的電場接近于勻強電場.文中說明了雙環之間的場強隨距離變化的規律,求出了臨界距離和臨界電場.
如圖1所示,取z軸為兩環共軸,原點取在兩環正中間.設兩個圓環的半徑為a,距離為2L,均勻帶有等量異號電荷±Q.
圖1 等量異號共軸雙環電荷的場強
當均勻正負圓環電荷中心位于原點時,在軸線上產生的場強為[2~4]
(1)
場強和距離無量綱化處理后關系如圖2所示,帶正電荷的圓環在軸線上產生的場強用先負后正的虛線表示,帶負電荷的圓環在軸線上產生的場強用先正后負的點虛線表示,當兩環重合時,L=0,合場強為零用實線表示.
圖2 雙環電荷軸線上的電場強度(L = 0)
兩條曲線都有一個“峰”,E±(z)對z求導數,可得
(2)
(3)
如圖3所示,正電荷向左,負電荷向右拉開雙環,當L= 0.1a時,原點處的合場強形成一個“峰”,稱為“主峰”.“主峰”附近的電場并不均勻.
圖3 雙環電荷軸線上的電場強度(L = 0.1a)
繼續拉開雙環,“主峰”不斷長高.如圖4所示,當L= 0.707 11a時,兩個環的“峰”重疊,合場強的“主峰”達到最高.
圖4 雙環電荷軸線上的電場強度(L = 0.707 11a)
繼續拉開雙環,“主峰”不斷降低.如圖5所示,當L=a時,兩個環的“峰”錯開,“主峰”降低一些.
圖5 雙環電荷軸線上的電場強度(L = a)
繼續拉開雙環,“主峰”將分裂為兩個對稱的“次峰”.如圖6所示,當L= 2a時,“主峰”變成了“主谷”.“主谷”附近的電場也不太均勻.
圖6 雙環電荷軸線上的電場強度(L = 2a)
在“主谷”的兩側各有一個對稱的拐點.如果減少雙環之間的距離,兩個拐點將向中垂線靠攏.當兩個拐點恰好在中垂線重合時,“主谷”消失,兩個“次峰”就合并為一個“平峰”,這個距離是臨界距離.
在圖1中,左環正電荷在場點軸線點P處產生的電場強度為
(4)
右環負電荷在軸線上場點P處產生的電場強度為
(5)
合場強為
E(z) =E1(z) +Ez(z)=
(6)
L是兩環之間的半距離,是決定場強分布規律的參數.將E(z)對z求導數得
(7)
二階導數為
(8)
解得
(9)
2LC是兩環之間的臨界距離,LC就是臨界半距.這種雙環稱為臨界雙環或亥姆霍茲雙環.臨界雙環在z= 0處的臨界場強為
(10)
臨界雙環的電場強度如圖7所示,在原點附近電場比較均勻.
圖7 臨界雙環軸線上的電場強度(L = LC)
取半徑a為長度單位,則無量綱的坐標和距離為
(11)
(12)
MATLAB的計算功能和圖形功能都很強,根據公式可設計一個簡短的程序,完成各種曲線的計算和繪制(見附錄).
靜電學和恒磁學往往有一些相似的問題.既然亥姆霍茲線圈可以在軸線上產生均勻磁場,也應該存在“亥姆霍茲雙環”在軸線上產生均勻電場.這是一種十分有趣的聯想.利用亥姆霍茲線圈磁場的求法,即可求得臨界雙環的電場.
利用MATLAB能夠簡單地求出臨界距離,還可以將雙環電荷所形成的電場隨距離的變化過程用動畫演示出來.