增強約束條件下地鐵二線縱斷面自動生成方法

梁柱，陳繼，鐘晶，孟存喜，李偉，蒲浩

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙410075；2.高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南 長沙410075；3.中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安710043；4.軌道交通工程信息化國家重點實驗室，陜西 西安710043；5.中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北 武漢430063)

地鐵二線縱斷面的幾何形位不僅要滿足設計規范中的幾何常規約束，還要與基線全線重要工點位置相適應，如二線設計時，基線車站，橫向聯絡通道及排水泵房等選址定位均已完成，限制了二線縱斷面的空間位置，構成增強約束。人工設計時設計人員必須耗費大量的精力逐個坡段進行手工調整，而且調整過程中會產生連鎖效應，需要反復迭代才能產生滿足所有約束的縱坡方案，嚴重制約設計效率，因此迫切需要借助計算機開展輔助設計，其主要難點為：1)全線坡段數量眾多，相鄰坡段的調整互相影響，會改變坡段長度及變坡點位置，當不能滿足約束要求時需要重復返工；2)排水泵房與橫向聯絡通道設置在相鄰車站間最低點，要求基線與二線最低點高程一致且能垂直連接，而該位置處于豎曲線上，需要反復試算調整方能滿足要求。因此，地鐵二線縱斷面設計需耗費大量時間與精力進行方案調整以滿足規范等常規約束以及重要結構物聯合設置等增強約束，迫切需要借助高效的計算機輔助技術對地鐵二線縱斷面進行高效的精細化調整，自動產生高質量的地鐵二線縱斷面方案供設計者參考及進一步優化，以提高設計效率。軌道線路縱斷面設計一直是國內外研究的熱點，現有研究主要是將優化算法[1?6](Fwa,2002;Goktepe,2009;Hare,2015;Ghanizaneh,2018;Booto,2019;Pu,2019)應用于縱斷面優化過程，以節能環保，經濟適用，安全舒適等作為優化目標，并不考慮與既有結構的匹配關系，約束條件與本文所研究問題存在較大差異。開展地鐵二線縱斷面自動設計時，要最大限度的產生適用范圍廣的設計方案，滿足復雜的約束條件以減輕設計者的二次優化負擔。因此，地鐵二線縱斷面自動設計不僅包含《地鐵設計規范》[7]對縱斷面坡度限值、坡段長度及豎曲線半徑等常規約束，還包含車站，橫向聯絡通道及泵房結構聯合設置等多項增強約束。對此，許多學者為提高方案設計質量和效率，對地鐵縱斷面調整方法進行了研究:如李洪強[8]總結了坡段長與坡度值兩者的疊加調整方法；任碧能[9]采用“上下限法”協同變坡點與豎曲線半徑關系；葉霞飛等[10]對地鐵縱斷面調整的常規方法進行了概括；黃鉑清[11]總結了以變坡點里程、高程為設計變量的縱斷面調整模型，并對模型的約束條件進行了細致分析。以上針對縱斷面幾何線形的研究能很好解決坡度，坡段長度及豎曲線半徑等常規約束下的線路調整問題，但對于縱斷面沿線重要工程結構物的設置未作討論。有關車站及排水泵房的研究包括郭俊義[12]指出了地鐵車站所處坡段的設計要求；李睿等[13]闡述了地鐵縱斷面基線與二線共同設置排水泵房的配合標準；但是這類研究也僅僅局限于結構物所在坡段，不考慮相鄰坡段相互影響問題，未將規范限定的常規約束和因地鐵基線方案設計，重要工點選址所產生的增強約束進行組合。劉志雄[14]論述了區間V形變坡點最低點的軌面高程計算原理，為計算最低點位置提供了數學方法，但這種方法是基于確定的兩側坡段計算最低點的正向過程，并非本文所面臨的基于最低點數據調整兩側坡段的反向過程。針對以上問題，本文提出負反饋線性轉化求交法，將復雜的調整過程分治于“參照法初始化—常規約束調整—增強約束調整—負反饋檢測與調整”4個階段，主要過程如下：

1)參照地鐵基線縱斷面，快速構建二線初始縱斷面，并按照豎曲線半徑>坡度值>坡段長的優先級順序，對縱斷面幾何線形進行有序檢測與調整，生成滿足規范約束的初步調整縱斷面；

2)以車站為界，劃分單位區間。對車站基線與二線站臺范圍軌面平行等高約束進行參數化表達；

3)利用相鄰坡段與豎曲線幾何關系V形坡變坡點里程及軌面高程，將精細化的人工調整過程進行數學化表達，充分滿足合設橫向聯絡通道及泵房約束，解決了于豎曲線最低點聯合設置排水泵房及聯絡通道問題；

4)引入負反饋機制再次對各常規約束進行后處理，保證最終方案的有效性。

1 地鐵二線縱斷面約束

地鐵二線縱斷面設計綜合了《地鐵設計規范》[7]所限定的常規約束和重要工點定位(車站，橫向聯絡通道及排水泵房)引入的增強約束。

1.1 縱斷面常規約束

規范對地鐵縱斷面所作約束主要包括豎曲線半徑R，坡度上、下限值imin和imax及最小坡段長為Lmin，應分別滿足如下規定：

式中：Hk，ik，Rk，Tk和Sk分別為第k個變坡點軌面高程、坡度值、豎曲線半徑、切線長及連續里程，變坡點號k取值范圍?k=1,2,…,n。Ly為遠期列車長。

1.2 地鐵二線縱斷面增強約束

為保留基線與二線站臺共用車站設備的條件，向設計人員提供更為有利的優化空間，要求站臺范圍軌面平行等高，以達到便利旅客乘降，節約用地，減少工程投資等目標[15]。并且，將橫向聯絡通道與排水泵房合設于V形坡的最低點，并實現基線與二線聯合設置需求，以達到區間匯水，橫向排水和緊急情況下消防、疏散等目的[14]。

1.2.1 站臺范圍軌面平行等高約束

地鐵基線與二線在平縱面在車站位置匯集，為保留共用車站設備的條件，在站臺范圍內，任意橫斷面上基線與二線軌面平行等高，即滿足：

式中：Hal及Hbl分別表示車站基線與二線在l里程處軌面高程值，Lj與Lc為進出站站臺連續里程。

1.2.2 橫向聯絡通道與泵房合設

橫向聯絡通道與泵房具有溝通基線與二線的功能[16]，設置時要求橫向聯絡通道中軸線與基線及二線在平面上相交，并垂直于基線，嚴格控制其所處位置在基線及二線縱斷面上軌面高程一致。

根據基線縱斷面方案，以相鄰車站中心為界，劃分線路單位區間，并按圖1所示，以V形坡變坡點k連續里程Sk，設計高程Hk，豎曲線半徑Rk及兩側坡度值ik-1與ik為已知條件，求解V形坡最低點Ak連續里程ALk,2j-1及設計高程AHk,2j。

圖1 V形坡最低點計算示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculation of the lowest point of V-shaped slope

根據兩側坡段坡度絕對值大小關系，V形坡最低點連續里程ALk,2j-1及設計高程AHk,2j按照式（6）計算。

以各相鄰車站中心為界，將全線劃分為m個單位區間，利用式(6)～(8)計算各單位區間V形坡最低點連續里程及軌面高程，并整合形成控制

式中：下標m,n表示單位區間個數及單個區間V形坡最低點數量最大值。為滿足合設橫向聯絡通道及泵房需要，如圖2所示，基線與二線縱斷面V形坡最低點軌面高程相等。并且，基線平面與二線平面V形坡最低點位置連線(橫線聯絡通道中軸線)垂直于基線平面，記為映射關系：

圖2 基線與二線平縱斷面V形坡最低點示意圖Fig.2 Schematic diagram of the lowest point of V-shaped slope between the baseline and the second-line horizontal and vertical alignments

為保持基線與二線縱斷面各V形坡最低點軌面高程一致，則要求基線縱斷面任意區間任意V形坡最低點高程AH2j與二線對應區間及V形坡最低點BH2j相等：

根據式(10)～(11)整理得到與Am×2n對應的二線約束控制矩陣Bm×2n。

Am×2n與Bm×2n為 同 型 矩 陣，其 相 關 性 可 根 據奇、偶列向量進行分別表述：

奇數列：二線V形坡最低點所屬二線平面位置在基線平面的投影里程即基線V形坡最低點連續里程；

偶數列：基線與二線縱斷面對應單位區間各V形坡最低點軌面高程相等。

2 地鐵二線縱斷面自動生成與增強約束調整模型

增強約束條件下地鐵二線縱斷面自動生成按照“參照法初始化—常規約束調整—增強約束調整—負反饋檢測與調整”實現分步設計，最終自動生成能滿足工程實際約束條件的縱斷面方案，其實現流程如圖3所示。

圖3 增強約束條件下地鐵二線縱斷面自動生成方法Fig.3 Research idea of automatic generation method of second-line vertical section of metro under enhanced constraints

2.1 二線初始縱斷面

首先參照基線縱斷面數據，構建二線縱斷面初始方案。如圖4所示，根據基線縱斷面變坡點k連續里程Sk鎖定其在平面線位上的大地坐標(N,E)，并沿基線平面法線方向求解其在二線的投影點(N′,E′)，在二線平面方案中計算點(N′,E′)處的連續里程，并將其作為二線縱斷面k2變坡點連續里程Sk2，保證(N′,E′)點與(N,E)點設計高程相等，并以基線各變坡點豎曲線半徑初始化二線各變坡點豎曲線半徑，形成地鐵二線初始縱斷面。

圖4 參照基線初始化二線Fig.4 Refer to the baseline and initialize the second-line

2.2 常規約束調整

對二線初始縱斷面各變坡點常規約束進行檢測與調整。對原始二線數據逐步進行豎曲線半徑，坡度值及坡段長的約束檢測，并對違規內容進行更新調整，最終達成常規約束，執行流程如圖5所示。

圖5 二線初始縱斷面常規約束調整流程圖Fig.5 Flow chart of conventional constraints adjustment of second-line

2.3 增強約束調整

2.3.1 站臺范圍軌面平行等高

地鐵車站站臺范圍內，將基線與二線的軌面進行平行等高處理可為共用站臺設備提供有利條件。由于車站站臺范圍各斷面軌面高程值線性連續變化，因此通過保證基線與二線車站站臺中心里程處軌面高程及所在坡段坡度值一致，可將該約束線性化，如圖6所示，即：

圖6 車站坡段約束條件示意圖Fig.6 Schematic diagram of constraints on the slope within the station

2.3.2 橫向聯絡通道與泵房合設

為滿足同型矩陣Am×2n及Bm×2n奇偶列向量各元素對應約束，要利用V形變坡點的最低點數據(BLk,2j-1,BHk,2j)確定V形坡變坡點連續里程及設計高程數據(Sk,Hk)。如圖7所示，已知目標變坡點(Sk,Hk)兩側相鄰變坡點(x2,y2)，(x3,y3)，V形坡變坡點的最低點(BLk,2j-1,BHk,2j)及豎曲線半徑Rk，首先根據式(13)確定豎曲線圓心(x1,y1)：

圖7 最低變坡點求交示意圖Fig.7 Schematic diagram of the lowest vertical intersection point

據半徑和圓心可確定豎曲線圓，過變坡點(x2,y2)與(x3,y3)可求解與該圓相切的2條切線斜率K1與K2，并根據直線相交，快速計算目標變坡點(Sk,Hk)。

過點(x2,y2)與豎曲線圓相切的直線斜率K1根據式(14)確定：

根據圖7所示幾何關系，K1取值應為非正值中的較大值，表示最接近V形坡最低點的坡度值。同理可得，過變坡點(x3,y3)的切線斜率K2，此時K2應取非負值中的較小值才具有實際工程意義。

對K1及K2進行整合可得統一表達式：

根據圖7所示最低點兩側變坡點位置確定K1及K2取值，可得兩側坡段所在直線表達式：

則2條直線交點即為變坡點(Sk,Hk)：

式(13)～(19)展示了獲取單位區間單個V形坡變坡點數據的過程，為進一步提高求解效率，利用二線V形坡約束控制矩陣Bm×2n，按式(13)快速構建全線V形坡豎曲線圓心矩陣Om×n。

依據豎曲線圓心矩陣Om×n與各V形坡兩側相鄰變坡點，可實現對二線各單位區間V形坡變坡點數據的批量計算與更新，使快速滿足合設橫向聯絡通道與泵房約束。但調整會導致V形坡兩側坡段坡度與坡段長度發生變化，對此，引入負反饋機制進行調整，返回圖3所示第2階段進行迭代檢測，最終自動生成滿足1.1及1.2各項約束的地鐵二線縱斷面方案。

3 算例驗證

本文以廈門地鐵6號線為例，自龍江明珠站—新店仔站，全長57 km，以全線40個車站中心為界，可劃分為39個單位區間。為詳細介紹負反饋線性轉化求交法的流程與優勢，本文研發了結合ObjectARX編程，采用自定義實體技術對Auto‐CAD進行二次開發的原型系統，基于上述方法分別構建地鐵基線與二線實體，以社頭站—林埭西站單位區間為研究區間，對地鐵二線縱斷面自動生成過程進行解析。

3.1 縱斷面坡段約束調整

研究區間基線縱斷面方案如圖8所示，長約3 094 m，共計5個變坡點。由于區間內存在2個連續V形變坡點，構成W形坡，則在該區間內為滿足合設橫向聯絡通道及泵房約束，需要結合A~E5個變坡點進行調整，其最終調整目標即按式(6)～(8)計算所得最低點軌面高程：

圖8 基線縱斷面方案Fig.8 Baseline profile scheme

按圖3所示調整流程，首先生成如圖9所示二線初始縱斷面，標紅部分坡段長，坡度值方面與基線縱斷面表現出直觀的差異。然后依據規范對常規約束進行檢測與調整，自動生成圖10所示縱斷面，對滿足坡段長度要求的各坡段進行坡度調整，使之滿足豎曲線設置要求：

圖9 二線初始縱斷面Fig.9 Initial profile of second-line

如圖10所示縱斷面，車站坡段坡度值與基線呈現較大差異，為滿足站臺范圍軌面平行等高約束，需按2.3.2所述對車站段進行調整，結果如圖11所示。在保持縱斷面初步調整成果的基礎上，實現了與二線車站相關坡段坡度值的調整。此時，圖11所示各V形坡最低點軌面高程：

圖10 顧及常規約束初步調整縱斷面Fig.10 Preliminary adjustment of longitudinal section with conventional constraints

圖11 車站坡段調整Fig.11 Adjustment of station slope

與式(21)V形坡B，D最低點軌面高程數據相比，誤差達到分米級，必須按照2.3.2調整原則對V形坡變坡點進行調整。W形坡在人工調整時存在坡段間耦合約束，難以達到工程運用要求，新方法以V形坡為基礎，將W形坡，甚至多個V形坡組成的廣義W形坡視為分段V形坡，固定V形坡兩端相鄰變坡點，采用分段線性求交的思想，實現對廣義W形坡的分段處理，生成圖12所示，滿足增強約束條件的縱斷面。

此時二線V形坡變坡點B，D最低點軌面高程如下：

結果表明，V形坡最低點軌面高程，完全滿足區間合設橫向聯絡通道及泵房約束。

最后，為保證最終方案合理有效，引入負反饋機制再次進行約束檢測，成功則以圖12縱斷面作為自動設計方案為設計者提供參考，否則返回圖3所示第2階段進行迭代調整，以達到最終要求。

圖12 滿足增強約束條件縱斷面Fig.12 Vertical alignment meeting the enhanced constraints

3.2 平面投影關系調整

式(10)所示平面投影映射關系，可根據基線及二線平面方案，如圖13所示得到直接檢核。至此，基線與二線平縱斷面滿足了《地鐵設計規范》[7]的常規約束及重要工點定位的增強約束的要求。

圖13 社頭—林埭西區間平面方案Fig.13 Horizontal alignment of Shetou-Lindai west area

4 結論

1)建立了縱面幾何線形常規約束調整算法，可參照設計基線縱斷面，自動生成符合規范幾何常規約束的二線初始縱斷面。

2)建立了站臺范圍二線與基線軌面平行等高約束的數學表達，并制定坡度調整策略，實現了雙線站臺范圍內的自動平行等高縱斷面設計。

3)推導V形坡與豎曲線的幾何調整關系，并提出了廣義W形坡分段處理思想，據此構建了分坡段調整策略，破解了基線與二線橫向聯絡通道及泵房自動聯合設置難題。

4)基于本文的理論與方法，研發了軌道交通二線縱坡自動生成模塊。實例表明該方法可實現常規及增強等復雜約束條件下二線縱坡方案的自動生成，使設計人員擺脫繁瑣的二線坡段調整，顯著提高了設計效率。