空間直角坐標系的建系策略

潘敬貞 唐明超

(1.廣東省佛山市順德區容山中學 528303；2.云南師范大學信息學院 650500)

坐標法是解決立體幾何問題的重要方法，借助坐標法可以將空間幾何問題轉化為代數問題，既可以降低幾何問題的抽象性，同時也為解決實際問題開辟了一條新的途徑.用坐標法解決空間幾何問題，首先需要合理建立空間直角坐標系.建立空間直角坐標系的過程就是根據問題給定的空間幾何關系在幾何圖形中尋找三條兩兩互相垂直的直線，通過平移等方式讓三條直線交于一點，并盡可能的讓與問題相關的點落在坐標軸上，使得相關點的坐標更易求，使得問題的求解更加簡潔、高效.文章結合實例談建立空間直角坐標系的策略.

一、基于共頂點的三條互相垂直的棱建系

例1如圖1，四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=BD=4，E，F分別為棱BC，AD的中點.

(1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值；

(2)求點E到平面ACD的距離；

(3)求EF與平面ACD所成角的正弦值.

解析如圖2，以B為坐標原點，分別以BC，BD，BA所在直線為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系，則依題意得，B(0,0,0)，A(0,0,4)，C(4,0,0)，D(0,4,0)，E(2,0,0)，F(0,2,2).

評注本題雖然解法較多，但是坐標法解題具有較強的直觀性，可以有效降低幾何問題的抽象性.在解決立體幾何有關問題時，如果已知條件中有三條直線兩兩互相垂直，則可以通過建立空間直角坐標系用坐標法來解決.當然，在考題中，已知條件中有三條直線兩兩互相垂直的情況比較少見，更多是利用圖形的特點與性質作出兩兩互相垂直且交于一點的三條直線來建立空間直角坐標系.

二、基于線面垂直關系建系

例2 如圖3，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中點，F是PC上的點.

(1)求證：平面AEF⊥平面PAD；

解析(1)證明：連接AC，因為底面ABCD為菱形，且∠ABC=60.，則△ABC是正三角形，因為E是BC中點，所以AE⊥BC，又AD∥BC，所以AE⊥AD，因為PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因為PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD，又AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD.

評注若題目已知條件中有某一條直線與某個平面垂直，則一般把該條直線作為一條坐標軸建立空間直角坐標系.第(1)題用幾何法證明較容易，可以在第(1)題的基礎上順利的建立合理的空間直角坐標系實現對第(2)題的解答.對于第(2)題，如果采用幾何法來解決，難度較大，抽象性較強，明顯不是最好選擇.

三、基于面面垂直的性質建系

例3 如圖5，等邊三角形PAC所在平面與梯形ABCD所在平面互相垂直，且有AD∥BC，AB=AD=DC=2，BC=4.

(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；

(2)求二面角B-PC-D的余弦值.

評注一般地，若題目已知的圖形中有兩個互相垂直的平面，可根據面面垂直的性質定理作出兩兩互相垂直且交于一點的三條直線.如果兩個互相垂直的平面中有一個平面已知或已證的兩條相互垂直直線，可過這兩條直線的交點作該平面的垂線，從而得出兩兩互相垂直且交于一點的三條直線，如本題第(2)問的解法2.本題第(2)問的解法2建立空間直角坐標系的方法相對解法1的方法更加簡潔，是一種不錯的建系方法.

四、基于正棱錐的高所在直線建系

例4已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h.

(1)求∠DEB的余弦值；

(2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值.

評注用正棱錐的中心與高所在直線建立空間直角坐標系，相關的坐標就容易求出，有關問題也就得到順利解決.建立空間直角坐標系的方法很多，最關鍵是能根據已知圖形的特點與性質作出兩兩互相垂直且交于一點的三條直線，建立空間直角坐標系的原則是盡可能的使相關點落在坐標上，相關點的坐標容易求出.只有善于思考、勤于動手，空間直角坐標系建立的技巧方可熟能生巧，從而提高解題能力.

不同的問題情景中建系的方法可能不同，但是正確建立空間直角坐標系的基礎是能夠基于問題給定的幾何關系找到三條兩兩互相垂直的直線，很多時候尋找存在三條兩兩互相垂直的直線或作三條兩兩互相垂直的直線并不是很困難，如何建系更有利于求出解決問題所需要的點的坐標更為重要、更為關鍵.文章中所歸納的四種建系方法是解決常見空間幾何問題中點線面的位置關系，線線角、線面角、二面角以及點到直線距離等問題所必須掌握的基本思想和方法，需要在不斷的練習中加以體會和總結，不斷提高數學運算能力和空間想象能力是利用坐標法解決空間幾何問題的基礎.