電機模型的對稱美學解讀

付興賀， 顧勝東

(東南大學 電氣工程學院，江蘇 南京210096)

0 引言

“電機學”課程是電氣工程及其自動化專業的基礎課，是后續“電機設計”、“微特電機”、“電力傳動技術”等課程的先修基礎，因此“電機學”課程的教與學至關重要?！半姍C學”課程的教學內容涉及多學科知識(電學、磁學、力學、熱學等)，具有概念抽象、理論復雜、知識密集等特點，教與學的難度較大[1]。尤其是學生缺乏對發電機、變壓器和電動機等實體電工裝備的了解和認識，導致學生學習該課程時無法構成形象思維，對知識要點僅停留在表層認識，無法深刻理解。長此以往，學生對“電機學”課程形成了恐懼感和陌生感，“電機學”課程也成為學生學習過程中的“攔路虎”和“絆腳石”[2]。

“電機學”課程要求學生掌握變壓器、直流電機、異步電機及同步電機的基本結構、工作原理和輸出特性等內容[3,4]。在此基礎上，要求學生掌握電機的電路模型、磁路模型、數學模型以及電機的分析方法。不同的電機模型，簡化條件不同、關注重點不同、表達形式不同。而且，模型建立的過程依賴嚴密的數學推導和理論分析，需要學生在基礎理論、高等數學、線性代數和圖形演繹等方面具有較好掌握，因此電機模型的學習和理解難度較大。另外，對于較為抽象的數學模型，學生無法將其與電機實物聯系起來，常有“霧里看花”的感覺，進一步加劇了學習困惑，影響整個課程的掌握[5]。如何讓學生親近并掌握原本復雜深奧的電機模型，成為“電機學”課程課堂教學的關鍵和難點。

對稱性是指整體或各部分之間的符合或對應，如空間上的布局和諧，時間上的節律協調。對稱是一種美學特征，對稱帶來“穩定”、“均衡”和“有序”的感受。在中國傳統文化中，對稱美學受到廣泛喜愛，建筑、藝術，乃至文學創作、科學理論研究無不注重對稱美學。部分學者探討了建筑和藝術中的對稱美學的含義及其表現[6,7]，也有學者分析了電磁學中麥克斯韋方程組的美學特征[8]，上述工作有助于對相關學科、具體事物及科學原理的學習和理解。但是，就電機學領域而言，很少有學者站在對稱美學視角審視電機這一古老學科及其內涵。

本文從各種電機模型出發，由淺入深、循序漸進地闡述模型特點，表征模型的物理意義。再從對稱美學視角出發，尋找電機模型內在的對稱美學特征，從微觀和宏觀兩方面探討其中的美學元素和美學魅力。將相關思想應用到教學過程中，原本復雜深奧的電機模型被賦予了感性認知，在工科嚴謹理性的思考之余，學生將受到人文美學的熏陶和培養，進而提升“電機學”課程的教學效果和教學質量。

1 物理模型的對稱美

在科學美學史上，畢達哥拉斯學派最早提出“對稱性”的審美觀念。該學派認為：“圓形最美，圓形具有圓周與中心的絕對對稱與和諧，整體與部分之間的關系協調一致”。亞里士多德曾指出：“美的主要形式為和諧、秩序與勻稱”。這樣的對稱美思想一直影響至今，也促使電氣工程專業的學者對本學科展開思考，讓我們把視線凝聚在直流電機的物理模型上。

圖1是典型的直流電機的簡化物理模型，中間是一個圓形對稱的轉子，兩側是電勵磁或永磁體產生的NS磁極。當轉子旋轉時，在電刷和換向片的作用下，電樞磁場不隨轉子轉動而變化，始終保持在垂直方向。在勵磁電流或永磁體的作用下，定子磁場始終保持水平方向。在直流電機中，勵磁磁場和電樞磁場都是恒定磁場，方向不變，兩個磁場相互正交，產生最大電磁轉矩。

圖1 直流電機的簡化物理模型

圖1所示的直流電機模型，兼具了物理描述的準確性和美學視角的對稱性：轉子具有圓形的對稱與和諧，定子磁極關于水平中軸線對稱，兩個完全正交的磁場則體現了秩序和穩定。同時，模型也沒有顯得重復和冗余，沒有將定子與轉子都描摹成圓形，而是一個中心對稱圖形，一個為軸對稱圖形。在審美上表現出層次感，使人感覺錯落有致。

2 微分方程的對稱美

中國古典詩詞歌賦將對稱美發揮得淋漓盡致，人們通俗地稱之為對仗，對仗又分為工對和寬對?！鞍兹找郎奖M，黃河入海流”是典型的工對，它從詞性、詞類到平仄句型，都整齊地一一對應，體現了工整嚴格的對稱美?！斑b憐小兒女，未解憶長安”是一種寬對，寬對對形式的要求相對寬松，只要形式相近、意義相關、形成整體即可，體現出一種“貌離神合”的對稱美，以避免“以詞害意、因韻害言”。用工對和寬對的思想去觀察電機的微分方程，會有新的發現。

圖2是他勵直流電機的等效電路，vf是勵磁電壓，if是勵磁電流，Rf和Lf分別是勵磁回路的電阻和電感，va是電樞電壓，ia是電樞電流，Ra和La分別是電樞回路的電阻和電感，ea是電樞回路的反電勢。

圖2 他勵直流電機的等效電路

直流電機的動態數學模型可由式(1)描述，Te是電磁轉矩，TL是負載轉矩，B是粘性摩擦系數，ωm是電機轉子角速度,J是轉動慣量。

(1)

等式(1)包括勵磁回路電壓方程、電樞回路電壓方程和轉矩方程。兩個電壓方程在形式上沒有嚴格對稱，但它們內在的物理意義卻是一致的，都是一個RL電路的描述方程。就像古詩詞中“寬對”的概念，這兩個方程看起來有所區別，但本質上依然是對稱的。

電樞回路電壓方程和轉矩方程描述了電氣子系統和機械子系統通過磁場相互作用產生機電能量轉換的過程。忽略兩個方程中各變量的物理意義，僅從數學表達形式上看，兩個方程具有驚人的相似性和對稱性。方程右邊都由三個部分組成：常數項，一次項和一階微分項。在電路子系統中分別對應反電勢、電阻壓降和電感壓降，在機械子系統中分別對應負載轉矩、阻尼轉矩和變速轉矩。由此可以看出，機電系統在本質上是統一與對稱的，這種觀點對電機的學習和研究以及設計、控制和制造具有廣泛的指導意義，便于學生、教師和工程技術人員加深對電機的理解和認識。

3 結構框圖的對稱美

圖3是以電樞電壓作為輸入量，轉子角速度作為輸出量，負載轉矩作為擾動量的直流電機結構框圖。該結構框圖分為四個部分：電、機、電-機以及機-電。四部分分別表示電能傳輸回路，機械能傳輸回路、電能向機械能的轉換以及機械能向電能的轉換。對于圖3，從上向下看，前三部分體現在結構框圖的前向通道(這里稱之為上層)，后一部分體現在結構框圖的反饋通道(這里稱之為下層)。另外，從左向右來看，電-機和機-電兩部分居中，電能傳輸回路和機械能傳輸回路分居左右。以中軸線為界，電能傳遞在左，機械能傳遞在右。電能傳遞環節對應一階慣性函數，機械能傳遞環節也對應一階慣性特性，而中間電-機和機-電兩個環節均為比例特性，且比例系數相同。由此可見，與物理模型和等效電路模型不同，結構框圖直觀明了地揭示了電機內部電能向機械能轉換的過程，同時反映出“電”和“機”這一對物理量“你中有我、我中有你”的轉化關系。

圖3 電機結構方框圖

圖3描述的結構框圖不僅具有左右對稱特點，還具有上下對稱特性，既顯現出整體對稱性，又體現了局部相似性，完美地詮釋了電機模型的藝術美學特征。同時，若電機工作在發電機狀態，上述模型的輸入和輸出正好顛倒，同樣具有對稱美特征。在“電機學”的學習過程中，如果能夠很好地體會其中的對稱美學，站在科學藝術的視角欣賞電機，那么無論對于教學還是科研均會起到事半功倍的效果。

4 dq軸等效電路的對稱美

上世紀20年代末，R.H.Park提出了用于同步電機分析的雙反應理論，此后在Park變換思想的基礎上，后人提出了稱之為統一電機理論的分析方法[9～11]。這種統一理論利用坐標變換(dq變換)方法將電機定子和轉子的變量變換到一個以同步角速度旋轉的參考坐標系上，從而消除了電機模型中的時變電感參數，最終簡化了電機模型及其性能分析，達到系統降階、解耦的目的。

以感應電機為對象，經過dq變換后，dq坐標系下的電機模型可由圖4表示。其中，usd、usq、urd以及urq分別為定子側和轉子側的dq軸電壓，isd、isq、ird以及irq分別為是定子側和轉子側的dq軸電流，Lsd、Lsq、Lrd、Lrq以及Lm分別為定子側和轉子側的dq軸電感，以及定子或轉子同一側dq軸的互感，Rs和Rr分別為定子側和轉子側的繞組電阻，λsd、λsq、λrd以及λrq分別為定子側和轉子側的dq軸磁鏈，ω是同步角速度，p是微分算子。

圖4 異步電機的dq軸等效電路

根據圖4從宏觀上可以看出，異步電機的dq軸等效電路包括上面的d軸電路和下面的q軸電路，d軸和q軸電路對稱。同時，在d軸或q軸電路中，包括定子側d軸(或q軸)回路和轉子側d軸(或q軸)回路，構成了左右對稱。在微觀層面，無論是d軸還是q軸電路，無論是定子側還是轉子側，構成電路的元件(電阻、自感、互感以及耦合電勢)也體現了完美的對稱性和對稱美學。只要理解了其中一部分，與之對稱的另一部分也能夠迅速領悟。從對稱性視角學習dq軸等效電路容易、高效，且印象深刻。

5 結語

上面討論了電機模型中的部分對稱美學特征，實際上對稱美不僅體現在以上幾個方面， “電機學”課程中處處洋溢著美的感覺。發電機和電動機體現著電機工作的可逆原理，是一種應用模式的對稱；描述電機數學模型的ABC坐標系各坐標軸空間相差120度角度，αβ坐標系和dq坐標系各坐標軸相差90度角度，這些關系無不折射出數學關系的對稱美；從三相靜止坐標系到兩相靜止坐標系及從兩相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換矩陣，均反映了幾何空間的對稱關系。

如何才能讓學生認識到電機中的對稱美，并靈活運用對稱美學特征解決問題成為教育教學的關鍵。對稱美是需要挖掘和發現的，尋求對稱美的教學活動勢必是一個漸進的、靈活的教學過程，也是一個長期的、連續性的浸潤式培養過程。在日常教學活動中，教師應加強學生的人文素養熏陶，引導學生從感知對稱美、發現對稱美，到欣賞對稱美、創造對稱美，帶著一雙慧眼識別電機課程中的對稱美，“電機學”的學習過程勢必成為一種樂趣與探索并存的快樂之旅。