李 惠 范雪嬌
(株洲市第二中學 湖南 株洲 412007)
【原題】(節選)光電倍增管是用來將光信號轉化為電信號并加以放大的裝置,其結構如圖1所示.它主要由一個光陰極、n個倍增極和一個陽極構成;光陰極與第1倍增極、各相鄰倍增極及第n倍增極與陽極之間均有電勢差V;從光陰極逸出的電子稱為光電子,其中大部分(百分比η)被收集到第1倍增極上,余下的被直接收集到陽極上;每個被收集到第i倍增極(i=1,…,n)的電子在該電極上又使得δ個電子(δ>1)逸出;第i倍增極上逸出的電子有大部分(百分比σ)被第i+1倍增極收集,其他被陽極收集;直至所有電子被陽極收集,實現信號放大.已知電子電荷量絕對值為e.求:光電倍增管放大一個光電子的平均耗能,已知δσ>1,n>1.
圖1 光電倍增管結構圖
原題一共有2小問,筆者只節選了參考解答有誤的第1小問,附上其解答結果.
光電倍增管放大一個光電子的平均耗能為
式中np是從光陰極逸出的電子個數,E是消耗的總電能.
我們把n=0代入原解答得
(1)
顯然不正確.
進一步驗證n=1的情形.當n=1時,其物理意義是光電倍增管中有np個光電子從光陰極逸出,有ηnp個光電子被收集到第1倍增極上,(1-η)np個光電子被直接收集到陽極上,最后有δηnp個光電子從第1倍增極上逸出,被收集到陽極上.我們分成兩步來計算光電倍增管放大以上這些光電子所消耗的電能.第一步,先計算從光陰極直接被陽極收集的光電子所消耗的電能.從光陰極到陽極的電勢差為
Vpa=(n+1)V=2V
(2)
一共有(1-η)np個光電子從光陰極到陽極,一共消耗的電能為E1,有
E1=2(1-η)npeV
(3)
第二步,計算從光陰極逸出被第1倍增極收集再從第1倍增極被陽極收集的光電子消耗的電能E2,顯然
E2=(η+ηδ)npeV
(4)
最后,把兩部分消耗的電能加起來,求得
E=E1+E2
(5)
(6)
那么,把n=1代入原參考解答,會是這個結果嗎?
(7)
顯然,代入之后的結果式(7)與真實物理意義對應下的結果式(6)不符.
結論:原解答有誤.
為了能讓讀者清晰地看到加速各部分光電子所消耗的電能,筆者先進行簡單的羅列如下:
放大從光陰極到第1倍增極,和光陰極到陽極的光電子消耗的電能為E0,有
E0=[η+(1-η)(n+1)]npeV
(8)
放大從第1倍增極到第2倍增極,和第1倍增極到陽極的光電子消耗的電能為E1,有
E1=[ηδσ+ηδ(1-σ)n]npeV
(9)
放大從第2倍增極到第3倍增極,和第2倍增極到陽極的光電子消耗的電能為E2,有
E2=[ηδ2σ2+ηδ2σ(1-σ)(n-1)]npeV
(10)
放大從第3倍增極到第4倍增極,和第3倍增極到陽極的光電子消耗的電能為E3,有
E3=[ηδ3σ3+ηδ3σ2(1-σ)(n-2)]npeV
(11)
放大從第(n-1)倍增極到第n倍增極,和第(n-1)倍增極到陽極的光電子消耗的電能為En-1,有
En-1=[ηδn-1σn-1+2ηδn-1σn-2(1-σ)]npeV
(12)
放大從第n倍增極到陽極的光電子消耗的電能為En,有
En=(ηδnσn-1)npeV
(13)
接下來,把式(8)~(13)相加得
E=E0+E1+E2+…+En-1+En
(14)
在式(14)等號右邊含有兩個等比數列,其一是ηnpeV,ηδσnpeV,ηδ2σ2npeV,…,ηδn-1σn-1npeV,我們用級數S1來表示上述等比數列的和;其二是ηδ·(1-σ)nnpeV,ηδ2σ(1-σ)(n-1)npeV,ηδ3σ2(1-σ)·(n-2)npeV,…, 2ηδn-1σn-2(1-σ)npeV,我們用級數S2來表示上述等比數列的和;還剩下兩項(1-η)·(n+1)npeV+ηδnσn-1npeV作為第3部分.現在我們來求以上3部分的和.
顯然
(15)
S2=ηδ(1-σ)npeV[n+δσ(n-1)+δ2σ2n-2+…+δn-2σn-2·2)]
(16)
構建級數S3=δσS2來錯位求和
S3=ηδ(1-σ)npeV[δσn++δ2σ2(n-1)+…+δn-2σn-2·3+δn-1σn-1·2)]
(17)
式(16)、(17)相減得
(18)
把以上3部分相加得
E=E1+E1+E2+…+En-1+En=
S1+S2+(1-η)(n+1)npeV+ηδnσn-1npeV=
(1-η)(n+1)+ηδnσn-1}npeV
(19)
于是光電倍增管放大一個光電子的平均能耗為
(1-η)(n+1)+ηδnσn-1}eV
(20)
我們將n=1代入式(20)中,進行驗證
(1-η)(1+1)+ηδ1σ0}eV=
(21)
與式(6)比較,完全吻合.
我們再把文首的n=0的情況代入式(20)中得
(1-η)+ησ-1}eV=
結果與實際的物理意義完全吻合.
綜上所述,式(20)才是本題的正確解答,原解答確實有誤.