基于灰色-馬爾科夫模型的橋梁運行狀況預測

賈慶林，韓智強，晉民杰，李路遙，李華騰

(太原科技大學 交通與物流學院，太原 030024)

隨著橋梁服役時間的增加，車輛行駛、風荷載等因素對橋梁運行狀況造成顯著影響。因此，開展橋梁運行狀況的預測研究對后續安全檢查有著重要的意義。

近年來，灰色系統模型和灰色-馬爾科夫模型是進行預測較為精準的算法，國內外相關學者在該領域開展了大量的研究。Hang Jiang等運用灰色模型對我國的直接投資進行預測，并結合殘差進行修正，以提高其精度[1]；裴彧等提出新陳代謝法與殘差修正來優化灰色馬爾科夫模型，并對橋梁狀態進行預測[2]；哈娜和付深遠采用三彎矩法對其原始數據進行處理，并在此基礎上，運用灰色-馬爾科夫組合模型和回歸方程對橋梁耐久性進行精確預測，消除了傳統預測模型無法考慮不確定因素的影響[3]；Dengji Zhou等建立馬爾科夫-灰色關聯度的新型模型，并對該模型的參數和預測準確性進行分析，得出最佳的參數和預測結果[4]。

基于上述研究成果，可以看出運用灰色系統模型和灰色馬爾科夫模型進行預測，精度頗高，其函數的走向和趨勢也與原始數據非常接近，但是一些不規則因子的影響，導致其預測結果可能與其真實值有些波動。因此，本文提出一種灰色-馬爾科夫模型，并在此基礎上結合曲線擬合進行修正，使用MATLAB數值處理軟件進行模型計算，并通過案例分析，與橋梁實際狀況，進行對比，驗證該方法的實用性和可行性。

1 灰色-馬爾科夫模型與曲線擬合

1.1 灰色系統模型

灰色系統模型就是應用不足的、不完整的數據，對事物的發展狀況進行預測。

1)灰色系統模型的基本公式，如式(1)所示[5]。

k=2,3,…,n

(1)

式中：x(0)為模型的灰導數；a為模型的發展系數。b為模型的灰作用量。

2)灰色系統模型的矩陣算式如式(2)～式(4)所示[6]。

(2)

Y=[x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),…,x(0)(n)]T

(3)

(4)

由上式(4)計算出a和u，并得到灰色系統模型的時間響應函數，如式(5)所示[7]。

k=1,2,…

(5)

由公式(5)進行還原，得到實際數據模擬序列函數，如式6所示[8]。

k=1,2,…

(6)

公式(6)可以準確地反映原始數列的變化趨勢、增長(減少)趨勢。當k取1,2,…時，可以求出數據的訓練值，當k大于等于n時，可以求得數據的預測值。

1.2 馬爾科夫模型

馬爾科夫模型屬于隨機數學模型，該模型主要記錄預測目標在不同時間中所處的狀態。

1)根據灰色系統模型，計算模型的殘差和相對誤差，如式7所示。

(7)

式中：t為每一時刻。

2)根據相對誤差的大小，對數據進行劃分狀態。

Ei=[E1,E2…Er]，Er=[Δ1(t)…Δ2(t)]

(8)

劃分狀態就是將相對誤差按照實際情況平均劃分為若干區間，在根據這些區間，劃分出各變量的工作狀態[9]。

按照各變量的工作狀態，將灰色系統模型的訓練值進行修正，如式9所示。

(9)

3)計算狀態轉移矩陣P，首先得出k步狀態轉移概率Pij(k)，其中Pij(k)表示第一個狀態Ei轉移到另一個狀態Ej的概率[10-12]。

(10)

(11)

式中：k為狀態的數目；mij為狀態Ei經過k步轉移到Ej的數量；mi為狀態Ei的數量。

4)根據狀態轉移矩陣P計算出預測年份的各個狀態所占的比重，在用加權平均法計算出預測值。

(12)

1.3 最小二乘法曲線擬合

最小二乘法曲線擬合較好的消除數據一些不規則因子的影響，并對灰色-馬爾科夫預測模型結果進行修正，以達到符合現實要求的效果。

設年份為自變量t，橋梁的工作狀態評分分數F為因變量，用n次多項式進行擬合，p為相關系數，則對應函數關系表達式[13-14]，如式13所示。

F=p1nt+p2tn-1+…+pnt+pn+1

(13)

根據灰色-馬爾科夫模型與曲線擬合的相關理論，首先對橋梁的原始數據，運用灰色系統模型進行初步預測，在此基礎上，使用馬爾科夫模型進行修正，之后，對得到的預測值用最小二乘法曲線擬合進行修正；其次，就是精度驗證，結果對比；最后得出結論。該流程如圖1所示。

圖1 灰色-馬爾科夫模型預測的流程圖

2 案例分析

2.1 數據來源

數據是采用2007-2016年河北省某地區的159座橋梁的安全檢測樣本[15]，如表1所示。

表1 2007-2016年的橋梁安全檢測樣本

2.2 灰色系統模型預測

使用橋梁運行狀況的原始數據，建立灰色系統模型，并通過灰色系統建模軟件GTMS3.0的應用，得到灰色預測值[16]，即利用2007-2014年的原始數據來預測2015-2016年的橋梁運行狀況，其預測值分別為59.5231、53.1926，并運用公式(6)，得出2007-2014年的訓練值，如表2所示。

表2 2007-2014年的訓練值

2.3 馬爾科夫模型修正

1)根據上述結果，運用公式(7)，得出殘差值和相對誤差值，并如圖2，圖3所示。

圖2 殘差折線圖

由圖3可知，橋梁運行狀況的相對誤差區間為-3.52%～3.78%.

圖3 相對誤差折線圖

2)根據橋梁運行狀況的相對誤差，按照公式(8)，可以將其劃分為三個狀態區間，并介于-3.52%～3.78%，詳細如表3所示。

表3 馬爾科夫模型的狀態劃分

按照馬爾科夫模型的狀態劃分標準，對橋梁2007～2014年的運行狀況進行劃分，并根據公式(9)算出2007-2014年的訓練值修正，如表4所示。

表4 橋梁工作狀況的劃分以及訓練值修正

3)根據表4以及公式(10)和公式(11)，得到轉移矩陣P(1)，由于高次方使得馬爾科夫預測更加精確，所以本文進行四次方和五次方，如P(2)和P(3)所示。

4)由表4得知，2014年橋梁的運行狀況處于E1，令其v0等于(1,0,0)，進而可以預測出2015年和2016年的運行狀況，見表5.

表5 運行狀況的預測數據表

從表5可以得出2015年的運行狀況處于E1，2016年也處于E1，再由式(12)以及加權平均法，得到2015年的預測值為58.573 5，2016年的預測值為53.007 8.

2.4 最小二乘法曲線擬合修正

將馬爾科夫修正值和原始數據進行最小二乘法曲線擬合。根據公式(13)，原始數據為因變量，馬爾科夫修正值為自變量，建立二次多項式方程[17]。

y=-0.000 550 3x2+1.119x-6.087，擬合方差為2.097，相關系數為0.999 6，調整后相關系數為0.999 5，均方差為0.647 7，擬合曲線如圖4.

圖4 方程的曲線擬合圖

從圖4中，可以看出曲線擬合的誤差極小，證明其擬合的效果極佳。將馬爾科夫修正的預測值代入方程中，得到2015年的預測值為57.568 7，2016年預測值為51.682 5.

3 預測精度

本文運用后殘差法進行檢驗其預測精度，等級劃分標準[18]見表6.

表6 檢驗精度等級劃分表

根據已知數據，計算得知，在預測橋梁的運行狀況中，2014年和2015年原始數據的均值為54，原始值與預測值的誤差均值為0.9431，原始數據的標準差S1為2，原始值與預測值的誤差標準差S2為0.625 6.

計算方差比：

從表6中查詢可知，該預測模型的精度等級達到了一級標準，所以可以用于預測橋梁的運行狀況。

4 結果對比

為了驗證本次預測模型的有效性和可行性，將曲線擬合修正的預測數據與單純使用灰色模型的預測數據以及馬爾科夫模型修正的預測數據進行對比。

從表7可以看出，原始數據經灰色系統模型預測后，再經過馬爾科夫模型修正以及曲線擬合修正后，所預測出來的數據的平均誤差極小，其預測準確度較高。

表7 三種預測方法的結果對比表

由于橋梁的運行狀況中，預測值的單位為座，所以2015年預測值為58座，2016年為52座。

5 結論

1)本文是以河北省某地區159座橋梁的運行狀況為依托數據，運用灰色系統模型、馬爾科夫模型以及最小二乘法曲線擬合，對2015年、2016年的運行狀況進行預測，并與原始值作對比。

2)通過模型預測，采用灰色系統模型，其相對誤差在2.29%～6.34%；采用馬爾科夫模型修正，其相對誤差在1.94%～4.60%；采用灰色-馬爾科夫和最小二乘法組合模型，其相對誤差0.61%～2.80%，誤差為最小。其結果滿足工程需求，同時研究結果對橋梁運行狀態的預測有一定的參考意義。