磁浮軌排鋪設裝備-軌排軌道梁耦合動力學分析

劉 放，徐 航，宋世杰，吳 濤，鄒逸鵬

（西南交通大學機械工程學院，四川成都610031）

隨著600 km/h的高速磁懸浮列車的亮相，在未來磁浮交通將成為人們的另一種出行選擇。目前，我國已建成并開通運營了長沙機場磁浮快線和北京地鐵S1線兩條中低速磁浮示范線路，太原、清遠和成都等城市也正在規劃建設中低速磁浮線路。中低速磁浮交通已進入產業化和工程推廣應用的關鍵期［1］。

在現有磁浮建設中，磁浮軌排的鋪設技術十分不成熟。例如：在河北唐山修建的1.5 km中低速磁浮試驗線，其軌排安裝采用的是傳統起重設備，該方法作業效率較低，并且不適用于長距離及跨越橋梁時的軌排鋪設工作［2］。因此，現階段對磁浮軌排鋪設裝備的研究應提上日程。

國內外學者對磁浮軌排鋪設裝備研究較少，許金國［2］通過研究北京地鐵S1線修建時的相關資料，分析了中低速磁浮軌道施工中的各個工況，完成了中低速磁浮軌排運駕車的整體結構及方案設計，并對該設備的強度進行了分析與計算。在車輛-橋梁及車輛-軌道耦合振動方面，國內外的學者有著較多的研究。姚成釗［3］建立了車輛-橋梁耦合振動系統，運用FORTRAN及ANSYSY分析了車輛在橋梁不平順作用下的位移、速度及加速度響應，研究了車重、車距、車速等參數對振動的影響。葉爾肯·扎木提等［4］等建立了機車車輛耦合動力學模型，通過實驗和仿真結果相對比驗證了理論動力學模型的準確性。Li等［5］為了分析磁懸浮列車的影響機理，建立了中低速磁懸浮列車-軌道-橋梁系統的垂向動力耦合作用模型，研究了橋梁和F軌對系統耦合的影響。Liu等［6］提出了一個三維磁浮車輛-橋梁耦合系統線性隨機振動分析的框架，該框架將磁懸浮車輛的運動、懸浮控制系統、橋梁的動力學行為和導軌不平順性耦合起來，方便了相關問題的后續研究。Kim等［7］建立了一個詳細的磁浮車輛-軌道耦合動力學模型，該模型包括了3D車輛模型、柔性軌道以及具有反饋控制器的懸浮電磁鐵，對模型的失穩現象進行研究與分析。

上述研究的主要研究對象為汽車、傳統軌道車輛及磁浮車輛，與軌、橋系統的耦合動力學。磁浮軌排鋪設裝備在磁浮軌道上行駛時也有類似的問題，但由于磁浮軌排鋪設裝備是一種新型設備，目前國內外鮮有在這方面的研究。因此，本文建立了磁浮軌排鋪設裝備-軌排軌道梁的動力學模型，對磁浮軌排鋪設裝備在軌排軌道梁上行駛時的相關動力學問題進行了研究與分析。

1 磁浮軌排鋪設裝備及軌排軌道梁結構

1.1 磁浮軌排鋪設裝備結構

圖1為磁浮軌排鋪設裝備的結構示意圖，設備主要由吊運小車（吊鉤及行走小車機構）、主梁以及支腿等結構組成。一次可裝載12 m軌排5個，單次起吊質量為4 t。

圖1 磁浮軌排鋪設裝備結構Fig.1 Structure of maglev track laying equipment

1.2 軌排軌道梁結構

中低速磁浮軌排與軌道梁整體結構如圖2所示，下方為軌道梁，軌道梁跨徑為24 m，其截面如圖2（b）所示，軌道梁上方有兩個承載臺，通過橡膠墊和連接扣件與方管枕梁相連，方管長為1.625 m，規格為0.2 m×0.2 m。位于方管枕梁之上的是磁浮軌排即F軌，單根F軌長為12 m，每個軌道梁上方有兩個F軌，兩F軌之間的距離為1.370 m，軌排軌道梁總高1.915 m，總寬2.120 m。

圖2 軌排軌道梁結構Fig.2 Structure of maglev track beam

2 磁浮軌排鋪設裝備-軌排軌道梁動力學建模及數值仿真分析

2.1 建立動力學模型

分析系統的動力響應時，需要將整個系統抽象為力學系統，磁浮軌排鋪設裝備受到來自軌排的不平順激勵作為系統的輸入，設備在其作用下產生振動。分析整個系統的受力情況，應用力學原理建立描述系統運動的數學模型。

磁浮軌排鋪設裝備-軌排軌道梁的動力學模型如圖3所示。磁浮軌排鋪設裝備的前進方向視圖如圖3（a）所示，整體橫向視圖如圖3（b）所示。

圖3 磁浮軌排鋪設裝備-軌排軌道梁的動力學模型Fig.3 Dynamic model of maglev track laying equipment-maglev tr ack beam

系統的動力學模型基于以下假設：磁浮軌排鋪設裝備的剛度很大，故忽略其彈性變形，視為剛體；彈簧、阻尼元件的質量較小，產生的慣性力對整個系統振動影響極小，故忽略彈簧、阻尼的質量；只考慮車輪在垂直于軌道方向上的運動；磁浮軌排鋪設裝備左右對稱；磁浮軌排鋪設裝備行駛時為勻速直線運動。

基于上述假設，利用達朗貝爾原理和虛位移原理推導系統的動力學方程。

車體垂向運動動力學微分方程：

左前懸掛垂向運動動力學微分方程：

右前懸掛垂向運動動力學微分方程：

左后懸掛垂向運動動力學微分方程：

右后懸掛垂向運動動力學微分方程：

式中：m0為車體的質量；m1為懸掛的質量；k1為下懸掛剛度系數；k2為上懸掛剛度系數；c1為下懸掛阻尼系數；c2為上懸掛阻尼系數；y0為設備的垂向位移；y1、y2、y3、y4分別為左前、右前、左后及右后懸掛的垂向位移；y?0為設備的垂向速度分別為左前、右前、左后及右后懸掛的垂向速度；y?0為設備的垂向加速度分別為左前、右前、左后及右后懸掛的垂向加速度；w1、w2分別為左、右側軌排的不平順高度值；g為重力加速度。

2.2 軌排不平順激勵

在磁浮軌道上運行時，受軌道隨機不平順激勵的影響，磁浮軌排鋪設裝備會產生隨機振動。一般采用功率譜密度描述平穩隨機過程的軌道不平順，從功率譜中可以明顯地看出，組成成分中各波的特性以及不平順的大小與頻率的變化關系［8］。目前，由于沒有具體的實測數據，國內外還沒有統一的軌排不平順功率譜。張耿等［9］對唐山低速磁浮試驗線進行了測量，研究發現，軌排不平順譜與德國高干擾譜類似。因此，選擇德國高干擾譜作為軌排不平順譜，其高低不平順譜表示為式中：S(Ω)為軌排功率譜密度；Ω為軌排不平順的空間頻率；Ωc與Ωr為截斷頻率；Av為粗糙度系數。

對上述不平順譜進行頻域-時域轉換，進行數值模擬，得到了左、右側軌排的不平順模型（如圖4所示），左、右兩側的不平順幅值均在-5～5 mm之間。

圖4 軌排不平順樣本Fig.4 The samples of track surface irregularity

2.3 數值仿真

基于上述動力學方程，運用Matlab-Simulink模塊建立了仿真分析模型如圖5所示。

圖5 Simulink仿真模型Fig.5 Simulink simulation model

仿真時分兩種工況：①滿載工況。磁浮軌排鋪設裝備在裝運點將軌排裝運上車，將軌排運送到軌排鋪設點進行軌排安裝作業。此工況下設備載有5個12 m規格的磁浮軌排，總質量為40 t，行駛速度為20 km/h。②空載工況。磁浮軌排鋪設裝備將所載的軌排安裝完畢后，需駛回軌排裝運點進行軌排裝車作業，此工況下設備總重為20 t，運行速度為40 km/h。仿真時用到的動力學參數如表1所示。

表1 動力學參數Tab.1 Dynamics parameter

2.4 數值仿真結果

數值仿真得到的設備振動響應圖如圖6所示，圖中展示了10 s內設備的垂向振動情況。曲線1為滿載工況下的曲線，其振動范圍在-2.01～2.08 mm之間，振動的均值為0.15 mm；曲線2為空載工況下的曲線，其振動范圍在-1.23～1.79 mm之間，振動的均值為0.2 mm。兩工況的振動范圍均小于軌排不平順幅值，且振動的劇烈程度明顯小于軌排不平順幅值，振動在可接受范圍內，說明懸掛系統起到了較好的減振作用，使得設備能在磁浮軌道上相對平穩地運行。由于滿載時的設備總重大于空載時的設備總重，因此，滿載時的振動的波動范圍大于空載時振動的波動范圍。

圖6 設備振動響應1Fig.6 Response of maglev track laying equipment vibration 1

3 磁浮軌排鋪設裝備-軌排軌道梁聯合仿真分析

為了驗證數值仿真結果的正確性以及研究軌排軌道梁的振動情況，選擇用有限元和多剛體動力學軟件聯合仿真對系統進行再次分析。聯合仿真的分析過程：先用有限元分析軟件對軌排軌道梁進行柔性體模態仿真分析，得到其剛度矩陣、阻尼矩陣、質量矩陣以及各階模態等相關數據；將得到的結果轉換為多體動力學軟件能夠識別的格式，再將其導入到多體動力學分析軟件進行動力學分析。

3.1 軌排軌道梁模態分析

采用ANSYS對軌排軌道梁進行模態分析，其動力學方程可表示為

式中：［M］、［C］、［K］分別為軌排軌道梁的質量、阻尼、剛度矩陣分別為軌排軌道梁的加速度、速度、位移及外力矩陣。

分析時，所求模態為自由模態，故取外力為零。阻尼對整體的振型影響較小，故取阻尼為零。得到軌排軌道梁無阻尼下自由振動方程：

軌排軌道梁的自由模態可以理解為若干個簡諧運動的疊加，簡諧運動可以表示為

式中：｛A｝為非零振幅的矩陣；ω為角頻率；φ為初相位。

代入式（8）得

求解式（10）即可得到軌排軌道梁的固有頻率及振型。軌排軌道梁的有限元模型如圖7所示，模型共有單元22 306個，節點104 376個。軌排軌道梁的材料屬性如表1所示。

圖7 軌排軌道梁有限元模型Fig.7 Finite element model of maglev track beam

表2 軌排軌道梁材料屬性Tab.2 Material properties of maglev track beam

對軌排軌道梁進行模態分析，提取了軌排軌道梁的前6階模態如圖8所示。分析可知，前6階模態中，第1、3、5階為橫向振動，第2、4、6階為垂向振動，振動頻率在13.47～73.19 Hz，每1階振動中垂向振動頻率都高于橫向振動頻率，第1、2、3階垂向頻率分別高于同階橫向頻率3.05、7.08、11.86 Hz，這說明軌排軌道梁的垂向剛度略好于其橫向剛度，軌排軌道梁更容易發生橫向的振動。

圖8 軌排軌道梁整體模態及自振頻率Fig.8 Modal and natural frequency of maglev track beam

3.2 聯合仿真分析

在模態分析的基礎上，選用多體動力學分析軟件Simpack進行動力學仿真分析。系統剛柔耦合分析模型如圖9所示，其中，軌排軌道梁為柔性體，表示為有限元模型形式。由于設備整體為剛體，模型的形狀不會影響分析，圖中將設備模型進行了簡化處理。

圖9 剛柔耦合動力學模型Fig.9 Rigid-flexible coupled dynamic model

3.3 聯合仿真結果

聯合仿真得到的設備振動響應圖如圖10所示，圖中展示了10 s內設備的垂向振動情況。曲線1為滿載工況下的曲線，其振動范圍在-2.79～2.83 mm之間，振動的均值為0.14 mm；曲線2為空載工況下的曲線，其振動范圍在-1.84～1.87 mm之間，振動的均值為0.19 mm。兩種工況下設備的振動幅值均大于數值仿真的結果，這是由于聯合仿真中將軌排軌道梁考慮為柔性體，其振動影響到設備在軌道上的運行。對比振動的均值，兩工況下兩種方法的均值相差均為0.01 mm，誤差分別為6.67%和5.00%，可以得出兩種仿真結果是正確的。

圖10 設備振動響應2Fig.10 Response of maglev track laying equipment vibration 2

設備行駛通過時，軌排軌道梁跨中垂向位移變化的曲線如圖11所示，曲線1為滿載工況，曲線2為空載工況?？梢钥闯?，前0.2 s內，兩工況的曲線幾乎相同，滿載工況時軌排軌道梁跨中垂向位移在2.34 s時達到最大，最大位移為4.24 mm，在6.78 s時收斂，收斂位移為2.72 mm；空載工況時軌排軌道梁跨中垂向位移在1.37 s時達到最大，最大位移為3.43 mm，在4.54 s時收斂，收斂位移為2.72 mm。由于自重，兩種工況下的位移均收斂于2.72 mm，并未收斂于0 mm。

圖11 軌排軌道梁垂向位移Fig.11 Vertical Displacement of Maglev Track Beam

由文獻［10］可知，軌排軌道梁的變形許用值為

式中：L為軌排軌道梁的跨度。

計算可得，24 m的軌排軌道梁的許用最大變形量為6.32 mm，兩種工況下的仿真結果均小于6.84 mm，符合設計規范的規定。

軌排軌道梁的振動是設備在軌道上行駛時設備的振動引起的，從設備的頻域振動曲線中即可得到設備是如何引起軌排軌道梁振動的。對設備振動響應的時域數據進行傅里葉變換得到振動頻域響應數據。振動頻域圖如圖12所示，曲線1為滿載工況，曲線2為空載工況。兩種工況頻率組成大致相同，但滿載工況的各頻率幅值普遍大于空載工況，兩種工況下振動的優勢頻率均在25 Hz以內，滿載工況下振幅大于0.1 mm的頻率有5.49、13.43、15.87、20.75、21.97 Hz，空載工況下振幅大于0.1 mm的頻率有5.49、14.04、17.09、20.75、21.97 Hz。而軌排軌道梁的1階橫向、垂向自振頻率為13.47 Hz和16.52 Hz，與兩種工況優勢頻率中的13.43、15.87、14.04、17.09 Hz 4個頻率相接近。因此，在磁浮軌排鋪設裝備行駛時，軌排軌道梁的振動主要為1階橫向或垂向的振動。由于2階及以上的橫向、垂向振動頻率較大，所以不容易產生對應的振動。

圖12 設備振動頻譜Fig.12 Maglev track laying equipment vibration spectrum

4 結論

本文建立了磁浮軌排鋪設裝備-軌排軌道梁的動力學模型，根據動力學模型，分析得出了系統的動力學微分方程，對軌排不平順頻譜進行了選擇，并處理得到軌排不平順時域曲線，運用Matlab-Simulink模塊對兩種工況下的模型進行了數值求解。運用有限元分析軟件ANSYS與多體動力學軟件Simpack聯合仿真對磁浮軌排鋪設裝備-軌排軌道梁的動力學模型進行了分析，得到了軌排軌道梁的前6階模態、設備及軌排軌道梁的振動幅值曲線，以及設備的振動幅值頻譜。分析仿真結果得出：設備的懸掛系統很好地將設備振動控制在可接受范圍內，使得設備能夠穩定運行于磁浮軌道之上；由于聯合仿真將軌排軌道梁考慮為柔性體，聯合仿真得到的兩種工況下的設備振動幅值均大于數值分析的結果，但振動范圍及均值相差較小，說明仿真結果是正確的；上兩種工況下軌排軌道梁的垂向位移最大值均小于規定值，符合設計規范的規定；分析軌排軌道梁的各階模態及設備振動的頻譜，得到設備在兩種工況下行駛通過軌排軌道梁時，軌排軌道梁容易發生1階橫向和1階垂向的振動。