考慮夾頭與刀具過渡段的主軸系統精確建模

朱堅民,石園園,田豐慶,黃揚輝,孟 聰,陳 琳

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

0 引言

主軸系統刀尖點頻響函數是評價銑床加工系統動態特性的主要依據，也是優選銑削工藝參數的重要指標[1-2],主軸系統動力學模型的準確性直接關系到機床刀尖點頻響函數的預測精度，其因包含較多的組成部件和結合面而在很大程度上增加了動力學建模和分析的難度，因此建立能夠確切地模擬機械結構動力特性的動力學模型并準確辨識結合面動力學參數具有重要的意義[3]。

目前，響應耦合子結構法(Receptance Coupling Substructure Analysis, RCSA)以原理簡單、實驗便捷的特點，已經成為主軸系統建模的主要方法[4-5]，對該方法的研究主要集中在主軸—刀柄系統精確建模與刀具精確建模兩方面。SCHMITZ等[6-7]和MOVAHHEDY等[8]將機床的主軸系統分為主軸刀柄和刀具兩個子結構，模型中只考慮刀柄—刀具結合面，其他結合面視為固接,分別采用最小二乘法和遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)辨識刀柄—刀具結合面參數；王二化等[9]兼顧主軸—刀柄、刀柄—刀具兩個結合面，針對主軸系統的影響建立主軸系統模型，并采用粒子群算法辨識了結合面參數；朱堅民等[10]考慮機床主軸—刀柄、刀柄—部分刀具、部分刀具—剩余刀具3個結合面的影響，采用GA辨識結合面參數，進一步提升了刀尖點頻響函數(Frequency Response Function,FRF)的預測精度。以上文獻均考慮結合面因素建立了主軸系統等效動力學模型，不同程度地提升了建模精度，文獻[11-12]還表明主軸—刀柄結合面的剛度參數通常高于其他結合面兩個數量級，對刀尖點FRF的影響更大，而且實驗數據的真實性受外部因素影響大，因此本文將主軸—刀柄結合面視為固結。然而，以上文獻均未考慮刀柄中彈性夾頭對刀尖點FRF的影響，彈性夾頭是刀柄中的彈性部件，對刀具裝夾至關重要，其自身的動態性能對主軸系統是動態特性影響較大，不可忽視[13]。

刀具精確建模方面的難點是刀齒部分外形復雜，等效直徑難求。最初的模型沒有考慮刀齒的影響，直接將刀齒最外端的包絡圓直徑作為刀具的等效直徑[14-15]，因此計算誤差較大，預測精度較低；KOPS等[16]和MANCISIDOR等[17]分別采用等剛度法和改進的等慣性矩法計算了3齒和4齒銑刀刀齒的等效直徑，提升了刀具的建模精度；朱堅民等[18]采用GA，通過尋優確定刀齒的等效直徑，該方法精度較高但過程相對繁瑣，而且每次更換刀具需要重新實驗、重新優化；ZHANG等[19]采用等平均慣性矩法計算了刀齒的等效直徑，該方法的計算結果精度達到2.7%，而且方法相對簡單；朱堅民等[10]等采用解析法建模將銑刀分成十多段進行精確建模，結果表明刀柄—刀齒過渡段不能簡單地等同為刀齒，需要單獨考慮，該方法的計算過程比較復雜，不利于實際應用。

針對上述問題，本文以VMC850E型立式加工中心主軸系統為研究對象，提出考慮主軸刀柄—夾頭、夾頭—刀具兩個結合面，基于RCSA法建立主軸系統精確動力學模型，采用布谷鳥搜索(Cuckoo Search, CS)優化算法對結合面進行參數辨識，并利用等平均慣性矩法對銑刀刀齒和過渡段進行精確建模，以獲得較高的預測精度。

1 主軸系統的精確建模

機床主軸系統主要包括主軸、刀柄、刀具夾頭和刀具等，刀尖點的頻響函數可以準確反映機床加工系統在刀尖點位置的動態特性，為準確預測刀尖點頻響函數，避免機床處于共振頻率區域而產生切削振顫，本文對現有機床主軸系統模型的建立方法進行改進，考慮到刀柄錐部為標準尺寸，其在加工過程中會受到較大的夾緊力，可以將刀柄錐部與機床主軸視為一體，因此本文以VMC850E立式加工中心為例，將機床主軸系統劃分為機床—主軸—刀柄、刀具夾頭、刀具3個子結構，在各自結構之間建立彈簧阻尼單元，各子結構的劃分情況及坐標點定義如圖1所示。

圖1中，刀具為子結構Ⅰ，刀具夾頭為子結構Ⅱ，機床—主軸—刀柄為子結構Ⅲ；a1，a2表示刀具兩端的坐標，b1，b2表示刀具夾頭兩端的坐標，c表示刀柄末端坐標點?？捎肒1，K2分別表示刀具—夾頭結合面的復剛度矩陣與主軸刀柄—夾頭結合面的復剛度矩陣，

(1)

式中：k1，c1分別表示刀具夾頭—刀具結合面受力載荷作用的平動剛度和平動阻尼；k2，c2分別表示刀具夾頭—刀具結合面受力矩作用的平動剛度和平動阻尼；k3，c3分別表示刀柄—刀具夾頭結合面受力載荷作用的平動剛度和平動阻尼；k4，c4分別表示刀柄—刀具夾頭結合面受力矩作用的平動剛度和平動阻尼；w為角頻率。

子結構Ⅰ和子結構Ⅱ的頻響函數與位移及外力的關系分別為：

(2)

(3)

式中：x為結構的位移矢量；F為力矢量；H為頻響函數。假設夾頭—刀具結合面處的受力幅值相同，方向相反，則由頻響函數的定義可知，夾頭—刀具結合面由內力產生的位移如式(5)所示，其中pi為結合面的剛度阻尼矩陣，i為虛數單位。

(4)

(5)

由式(2)～式(5)可得子結構Ⅰ和子結構Ⅱ的頻響函數與位移及外力的關系為：

(6)

(7)

因此夾頭—刀具整體結構的位移和外力之間的關系可表示為

(8)

同理，將子結構Ⅰ與子結構Ⅱ耦合后的結構作為一個新的子結構Ⅰ-Ⅱ，將子結構Ⅲ與Ⅰ-Ⅱ耦合可得刀尖點的原點頻響函數矩陣。刀柄末端頻響函數與位移及外力的關系為

(9)

根據力平衡與位移協調方程，刀柄—夾頭—刀具整體結構的位移和外力之間的關系可表示為

(10)

(11)

(12)

2 各子結構頻響函數矩陣計算

2.1 主軸刀柄末端頻響函數計算

刀柄部分結構復雜且處于非自由狀態，難以用理論方法直接計算其端點頻響函數矩陣Scc，Scc可表示為

(13)

式中：hcc為刀柄末端頻響函數矩陣中的位移頻響函數，可以利用模態錘擊實驗直接獲得；主軸刀柄部分的端點頻響函數矩陣lcc，ncc，pcc中包含轉動頻響函數，很難通過模態錘擊實驗直接獲得。

目前求解處于非自由狀態下的子結構轉動頻響方法主要為有限差分法、多段EB(Euler-Bernoulli)梁優化法和方程求解法等。有限差分法是一種理論與實驗相結合的方法，其計算簡單，實驗方便，精度高，因此本文采用有限差分法獲得主軸—刀柄末端頻響函數。在主軸系統中，為保證加工的可靠性及加工精度，刀柄會受到螺母夾緊力的作用，因此實驗時可將刀柄與螺母視為一體，所建立的模型如圖2所示。

圖中，在A，B兩處安裝加速度傳感器，對其分別施加激振力，獲得A點的原點位移頻響函數hAA和A點到B點處的跨點位移頻響函數hAB。由頻響函數的互易性原理可知，nAA=lAA，根據式(14)和式(15)可得主軸刀柄端點處的轉動頻響函數nAA和pAA，式(16)為刀柄末端頻響函數矩陣。

(14)

(15)

(16)

式中g為兩個傳感器之間的距離，由式(14)可知轉動頻響函數nAA的計算精度取決于實驗獲得的主軸刀柄端點A處的移頻響函數hAA與A，B兩點跨點位移頻響函數hAB之間的差值，因此A，B兩點之間的距離g應盡可能地大。本文根據刀柄的實際結構，在模態錘擊實驗中令g=8 cm，為進一步保證所得實驗數據的精度，多次測量hAA，hAB取其平均值，以降低實驗誤差，提高計算精度。

2.2 刀具夾頭的精確建模及頻響函數計算

刀具夾頭體積較小且結構復雜，模態錘擊實驗因其局限性不易獲得夾頭兩端的頻響函數，而難以建立精確的動力學模型，本文根據夾頭的結構特點對夾頭模型進行適當簡化，將其等效為多段等直徑階梯圓柱梁模型(如圖3)，各段等直徑圓柱梁兩端的頻響函數矩陣可由Timoshenko梁理論計算得到，然后采用RCSA法對刀具夾頭等效模型中的各小段進行剛性耦合，計算得到夾頭整體的頻響函數矩陣。

轉動慣量是反映剛體轉動特性的一個重要物理量，為確定刀具夾頭兩端圓錐臺的等效直徑，本文采用等轉動慣量法對夾頭進行等效。均質圓柱對母線的轉動慣量

(17)

式中：R1為圓柱的半徑，m1為質量。均質圓錐對母線的轉動慣量

(18)

式中：R2為圓錐的底面半徑；h2為高；m2為質量。

圓臺可以看作為同一頂點大小圓錐之差，若圓臺高為h，質量為m，上底面半徑為r，下底面半徑為R，總高為H(如圖4)，則圓臺的轉動慣量。

(19)

由轉動慣量相等可知，圓錐的等效直徑

(20)

為驗證該等效模型的正確性，本文將有限元分析的夾頭固有頻率與RCSA分析出的夾頭固有頻率進行對比，結果如表1所示?？梢?，本文所建夾頭等效模型是可行、正確的。

表1 自由狀態下刀具夾頭的固有頻率

2.3 銑刀的精確建模及頻響函數的計算

整體式立銑刀一般由刀齒和刀桿兩部分構成，其中刀齒過渡段是區分不同銑刀的重要部分，也是影響實際加工的重要因素，由于刀齒結構模型復雜，目前眾多學者根據不同的等效原則將銑刀的刀齒段等效為均勻等直徑圓柱梁，忽略了銑刀刀齒和刀柄間存在過渡段的事實。表2所示為不同刃數立銑刀各段的截面形狀，通過分析可知，不同刃數銑刀的截面形狀不一樣，將刀齒直接等效為均勻等直徑圓柱梁不符合實際情況，因此本文根據2刃、3刃、4刃銑刀截面的實際形狀建立銑刀截面數學模型。

表2 立銑刀刀齒截面形狀

等平均慣性矩法將直齒圓柱齒輪等效為均勻等截面圓柱梁時所得的固有頻率誤差最小[20]，因此本文采用該方法對銑刀模型進行等效。首先將整體式立銑刀劃分為刀桿、刀齒與刀桿的過渡段、刀齒3個子結構，分別對應子結構Ⅰ、子結構Ⅱ和子結構Ⅲ，如圖5所示。各子結構等直徑圓柱梁兩端的頻響函數矩陣由Timoshenko梁理論計算得到，采用RCSA法對刀具等效模型中的各小段進行剛性耦合，計算得到刀具頻響函數矩陣。

2.3.1 銑刀刀齒截面慣性矩的計算

由表2可知，銑刀各子結構的截面形狀均可由三角形、扇形、半圓等基本圖形構成，因此可以先分別計算截面中單個三角形區域和扇形區域對x軸的慣性矩和對y軸的慣性矩，再根據平行軸定理和轉軸定理得到剩余部分三角形區域和扇形區域的截面慣性矩，將各部分疊加得到2刃、3刃、4刃銑刀過渡段截面對x軸的總慣性矩和對y軸的總慣性矩。將1/2的2刃銑刀截面劃分為2個區域(如圖6)，可以看出該截面由半圓i(i=1，2)組成，分別計算i區域對xi軸和yi軸的慣性矩，通過平行移軸定理疊加計算得該截面對x軸和y軸的慣性矩。因此2刃銑刀刀齒截面對x軸和y軸的總慣性矩為：

(21)

(22)

將3刃銑刀的1/3截面劃分為4個區域(如圖7)，可以看出該截面由半圓、扇形和三角形構成，分別對i(i=1，2，3，4)區域建立坐標xi，yi，計算i區域對xi軸和yi軸的慣性矩，根據平行移軸和轉軸定理，通過各區域疊加計算出該截面對x軸和y軸的慣性矩

(23)

式中：

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

將4刃銑刀的1/4截面劃分為4個區域(如圖8)，可以看出該截面由半圓、扇形和三角形構成，分別對i(i=1，2，3，4)區域建立坐標xi，yi，計算i區域對xi軸和yi軸的慣性矩，根據平行移軸定理，通過各區域疊加計算出該截面對x軸和y軸的慣性矩

(29)

式中：

(30)

(31)

(32)

(33)

由式(29)～式(33)可得4刃銑刀刀齒截面對x軸和y軸的總慣性矩：

(34)

(35)

2.3.2 銑刀過渡段截面平均慣性矩的計算

2刃銑刀過渡段截面對x軸和y軸的總慣性矩為:

(36)

3刃銑刀過渡段截面對x軸和y軸的總慣性矩為：

(37)

4刃銑刀過渡段截面對x軸和y軸的總慣性矩為：

(38)

2.3.3 銑刀刀桿截面慣性矩的計算

銑刀刀柄部分截面為圓形，因此該截面對x軸和y軸的慣性矩為

(39)

由式(21)～式(39)可得不同刃數銑刀的截面慣性矩，再由式(40)得到2刃、3刃、4刃不同型號銑刀各子結構的等效直徑

(40)

為驗證該等效模型的正確性，本文將模態錘擊實驗所得的刀具第三階固有頻率實驗值與RCSA分析出的刀具固有頻率理論值進行對比，結果如表3所示。其中刀具1～6為2刃銑刀，刀具7～9為3刃銑刀，刀具10～14為4刃銑刀。由表3可知，本文所建刀具等效模型是可行、正確的。

表3 自由狀態下刀具的固有頻率

3 結合面參數辨識

3.1 結合面動力學參數的靈敏度分析

理論上，通過計算式(10)可準確辨識出刀柄—夾頭—刀具之間兩個結合面的等效頻響函數矩陣，但由于模態錘擊試驗所獲得的測量數據中不可避免地包含噪聲信號，該信號在理論運算過程中被放大，使辨識結果出現不適定問題。為了避免不適定問題，使辨識結果能夠真實反映刀柄—夾頭、夾頭—刀具兩個結合面的動態特性，本文提出采用靈敏度的方法選取對結合面參數變化特別靈敏的頻響函數所對應的固有頻率來辨識兩個結合面的動力學參數。

首先設定各等效參數的初始范圍，采用分層抽樣的方法確定n組剛度阻尼參數樣本點，使其在采樣空間均勻分布。通過這些樣本點確定不同結合面等效剛度及等效阻尼參數，可獲得不同參數下的刀尖點頻響函數和模態振型；采用靈敏度分析方法選取對結合面參數變化特別靈敏的頻響函數所對應的固有頻率來辨識刀柄—夾頭、夾頭—刀具兩個結合面的動力學參數；獲得歸一化頻率與刀柄—夾頭、夾頭—刀具兩個結合面的接觸剛度和接觸阻尼的關系，從而確定兩個結合面各等效剛度與等效阻尼參數的靈敏區間。

3.2 結合面動力學參數的辨識方法

本文采用CS優化算法對結合面參數進行辨識。CS算法是楊新社等[20]于2009年提出的一種啟發式智能優化算法，而且通過標準測試函數和隨機測試函數進行大量對比實驗表明，該算法獲取的最優解遠優于粒子群優化算法和GA。CS算法具有簡單易理解，在解決特殊問題時無需重新匹配大量參數等優點，其尋優過程分為兩個階段：①粗搜索，利用混沌變量的遍歷性進行粗搜索，具體是采用Logistic方程產生混沌序列，確定次優化值；②細搜索，以次優化值為中心，將高斯分布作為此處附加的微小擾動進行小幅度變化來確定最優解。通過分析各結合面剛度阻尼參數的靈敏度獲得各等效參數的靈敏范圍，以刀尖點頻響函數實驗值SHTa1a1s與理論值SHTa1a1的誤差值最小為目標函數，即

(41)

結合面的剛度和阻尼參數為尋優變量，通過CS算法迭代循環確定刀柄—夾頭、夾頭—刀具兩個結合面的動力學參數，結合面等效參數辨識流程如圖9所示。

CS尋優的初始參數設置為：粗搜索搜索次數為100，混沌序列長度為400，收斂值為0.000 051，細搜索次數為6，細搜索收斂值為0.000 053。

4 實驗研究

4.1 刀柄末端頻響函數實驗

本文以VMC850E立式加工中心主軸系統為研究對象，如圖10所示，在A，B兩點安裝BK 4525B型三向加速度傳感器，用中型激振力錘在這兩點的對立面施加激振力，通過LMS SCACAS Mobile205數據采集系統采集數據，采用LMS Test.Lab分析軟件確定各刀柄末端位移頻響函數的實測值。為了保證實驗精度，進行5組實驗，每組采集5次數據，由此獲得刀柄A，B原點位移頻響函數hAA和跨點位移頻響函數hAB，如圖11所示。同時采用有限差分法(即式(9))獲得刀柄末端的轉動頻響函數，如圖12和圖13所示，由Maxwell的互異性可知nAA=lAA。

4.2 刀尖點頻響函數實驗

以2刃整體式立式銑刀為研究對象，將其安裝在VMC850E立式加工中心上，將BK 4525B型三向加速度傳感器安裝在刀具末端，如圖14所示，用激振力錘在C點的對立面施加激振力，通過LMS SCACAS Mobile205數據采集系統采集數據，采用LMS Test.Lab分析軟件確定各銑刀刀尖點頻響函數的實測值SHTa1a1s，經過分析得到各階固有頻率。

4.3 結合面參數辨識結果

通過實驗分析刀尖點頻響函數的第三階固有頻率對結合面參數的變化最敏感，故對主軸刀柄—夾頭—刀具結合面的等效參數與刀尖點頻響函數的第三階固有頻率進行靈敏度分析，可得歸一化頻率與刀柄—夾頭—刀具結合面等效剛度和等效阻尼的關系，k1的辨識結果在5×105～1.0×107N/m之間，c1的辨識結果在150～350 N·s/m之間，k2的辨識結果在5.0×103～5.0×104N/m之間，c2的辨識結果在50～100 N·s/m之間，k3的辨識結果在1.0×106～1.0×108N/m之間，c3的辨識結果在80～180 N·s/m之間，k4的辨識結果在1.0×104～5.0×106N/m之間，c4的辨識結果在35～350 N·s/m之間。

通過第3章的結合面參數辨識原理可得2刃銑刀對應的刀柄—夾頭—刀具結合面的等效剛度與阻尼參數，為驗證本文辨識方法的可行性和可信度，通過對比GA和CS算法辨識結合面的效果(如圖15)，可知CS算法的收斂性能優于GA。通過GA算法和CS算法預測的刀尖點頻響函數理論值與實測值的對比如圖16所示。CS算法對刀柄—夾頭—刀具結合面等效參數的辨識結果如表4所示，對刀尖點頻響函數前三階固有頻率實測值與預測理論值的對比結果如表5所示。

表4 刀柄—夾頭—刀具結合面的等效剛度與阻尼參數

表5 刀尖點頻響函數前三階固有頻率實測值與理論值的對比

由表5可知，通過本文方法對主軸刀柄—夾頭—刀具結合面的剛度、組尼參數進行辨識，并根據辨識出的結合面等效參數預測刀尖點頻響函數的前三階固有頻率，第三階預測值與實測值之間的誤差為0.93%，可見本文結合面參數辨識方法精度較高，具有可行性與正確性。

5 結束語

本文采用等轉動慣量法對夾頭進行精確建模，采用等平均慣性矩法對銑刀刀齒和過渡段的直徑進行模型等效，然后基于RCSA法建立了主軸系統刀柄—夾頭—刀具結合面等效模型，以刀尖點頻響函數實驗值與理論值誤差最小為目標函數，采用CS算法辨識各結合面等效參數，并根據該參數預測出刀尖點頻響函數的固有頻率。由預測結果可知，第三階固有頻率的理論值與實測值之間的誤差為0.93%，表明本文結合面參數辨識方法的精度較高，而且主軸系統結合面等效模型具有可行性和有效性。