于志洪
一、卡丹摘石榴問題
卡丹是16世紀意大利數學家、哲學家、醫生.卡丹對數學有特殊愛好,曾經巧妙地解答了如下一道頗受歐洲人喜愛的數學題:
例1 一群人走進果園去摘石榴,第一個人摘了1個石榴,第二個人摘了2個石榴,第三個人摘了3個石榴,以此類推,后進果園的人都比他前面的那個人多摘了1個石榴,最后這群人剛好把果園的石榴全部摘完,如果平均分配,每個人可以分到6個石榴.共有多少個人去摘石榴?
解:設這群人共有[x]人,則有1 + 2 + 3 + … + [x] = [6x]. 根據高斯求和方法:1 + 2 + 3 +? … + [100=12×100×(100+1)],知1 + 2 + 3 + … + [x] = [12x]([x+1]),則原方程可變形為[12x](x + 1)[=6x],整理得[x2-11x=0],故[x](x - 11) = 0,解得[x1=0],[x2=11]. 很明顯[x1=0]不合題意,應舍去.
答:共有11個人去摘石榴.
二、卡丹幾何求根問題
卡丹只要稍有閑暇便從事數學研究,他對方程的解法尤其感興趣.
除了用求根公式解一元二次方程外,他研究了用幾何方法求根. 請看他的例子和解法.
例2 試用幾何方法給出方程[x2+6x-91=0]的正根.
解:由圖中正方形和矩形面積關系可得:
[x2+2×3×x+3×3=x2+6x+9=(x+3)2].
由已知可得[x2+6x=91],所以([x+3])2 [=100],兩邊開平方,得[x+3=±10].
解得[x=7]或[x=-13](不合題意,舍去).
他的解法巧妙、別致、新穎,令人贊嘆.
三、《三國演義》中周瑜的年壽
羅貫中的小說《三國演義》中的周瑜人稱周郎,不僅才華橫溢,而且一表人才,風流倜儻.有一年的中考數學試卷中,命題老師就以周瑜的年齡為題,編了一首數學詩.
這道題借用蘇軾的詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》的頭兩句“大江東去浪淘盡,千古風流人物”烘托出追憶古人勛業的意境,強調對古文化的閱讀理解,貫通數學的應用,激發學子孜孜以求、報效國家的志氣,確實是一道融文、史、數的跨學科綜合創新試題. 現介紹如下:
例3 讀詩詞解題,算出周瑜去世時的年齡.
大江東去浪淘盡,千古風流數人物.而立之年督東吳,英年早逝兩位數.
個位平方與壽符,十位恰小個位三.開動腦筋算一算,多少年華屬周郎?
詩的大意你一定能理解,“而立之年”是指30歲,就是說周瑜在30歲時當上了東吳的大都督,只可惜英年早逝,去世時的年齡也是一個兩位數,其中個位數的平方就等于他的年齡,并且十位上的數比個位上的數小3.
解法1:設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x,則十位數字為x - 3,
故依詩意得[x2=10(x-3)+x],即[x2-11x+30=0],解得[x1=5],[x2=6.]
當x = 5時,周瑜的年齡為25歲,不到而立之年,不合題意,舍去;當x = 6時,周瑜的年齡為36歲,符合題意.
答:周瑜逝世時的年齡為36歲.
解法2:設周瑜逝世時的年齡的十位數字為x,則個位數字為x + 3,
故依詩意得[(x+3)2=10x+x+3],即[x2-5x+6=0],解得[x1=2],[x2=3.]當x = 2時,周瑜的年齡為25歲,不到而立之年,不合題意,舍去;當x = 3時,周瑜的年齡為36歲,符合題意.
答:周瑜逝世時的年齡為36歲.