帶接頭管線變形計算的傳遞矩陣法

程霖 楊成永 路清泉 馬文輝 車敬珂

摘? ?要：地鐵隧道開挖引起鄰近地下管線產生附加變形，甚至造成管線破壞. 將帶接頭地下管線視為彈性地基梁，將接頭簡化為“自由鉸”與“彈簧鉸”. 基于Winkler地基模型列出管線變形的控制微分方程，采用傳遞矩陣法求解，推導了管節場矩陣和管線接頭點矩陣，得到關于微分方程未知邊值的線性方程組.收集了現場實測數據并進行案例計算和離心模型試驗，將本文方法計算結果與有限元法、實測數據和試驗結果進行對比，驗證了計算模型和傳遞矩陣法的正確性. 對管線變形的影響因素進行了參數分析，結果表明，對于接頭變形，隧道中線與接頭位置重合為最不利工況.在土質地層中，自由鉸相對轉角基本不受地基系數影響，因而自由鉸管線易產生較大的相對轉角. 管節長度為沉降槽寬度系數的1.6倍時，接頭相對轉角出現峰值. 接頭歸一化相對轉角的極限值為1.1，在缺少設計資料情況下，該值可作為接頭歸一化相對轉角的保守估計值.

關鍵詞：地下管線;接頭;相對轉角;彈性地基梁;傳遞矩陣法

中圖分類號：U455? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

Transfer Matrix Method for Calculating Deformation of Jointed Pipeline

CHENG Lin1，2，YANG Chengyong1，LU Qingquan3？覮，MA Wenhui1，CHE Jingke4

（1. School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China;

2. China Construction 2nd Engineering Bureau Ltd，Beijing 100160，China;

3. Beijing Metro Construction Administration Co Ltd，Beijing 100068，China;

4. Beijing General Municipal Engineering Design & Research Institute Co Ltd，Beijing 100082，China）

Abstract：Excavation of subway tunnels often causes additional deformation or even damage of adjacent underground pipelines. The jointed pipeline can be regarded as a beam on an elastic foundation. The joints were simplified as "free hinge" and "spring hinge". Based on Winkler's foundation model，a governing differential equation for calculating the pipeline deformation was given and solved by the transfer matrix method. The field matrix for pipeline sections and the point matrix for pipeline joints were derived，and the linear equations for unknown boundary values of the differential equation were obtained. Case calculation and centrifugal model test were conducted and in-situ data were collected. Through comparing the calculation results of this paper with these of finite element method，as well as with in-situ data and test results，the correctness of the calculation model and the transfer matrix method was verified. Parametric analysis of the factors influencing pipeline deformation was carried out. The results show that the worst situation for joint deformation is that the tunnel centerline is right below the joint. The relative rotation angle of the free hinge is hardly affected by the foundation coefficient in the soil stratum. Therefore，the pipeline with a free hinge is easy to have a large relative rotation angle. The peak value of the relative rotation angle appears when the length of the pipeline segment is times of the width coefficient of the settlement trough. The limit of the normalized relative rotation angle is 1.1. This limit can be used as a conservative estimate of the normalized relative rotation angle in the case of a shortage of design data.

Key words：buried pipeline;joint;relative rotation angle;beam on elastic foundation;transfer matrix method

地鐵隧道施工使得鄰近既有地下管線產生附加變形，造成管線破損，甚至引發工程事故[1]. 為保證隧道開挖不影響管線的正常使用，需要對管線進行安全評價，進而完善設計與施工方案.

地下管線的安全評價指標為地鐵施工引起的附加變形[2]. 勻質管線變形的計算方法，一般將管線簡化為剛度連續的勻質桿件[3]，承受隧道開挖引起的地層附加位移荷載. 由于管線接頭力學性能復雜，帶接頭管線的變形計算常采用經驗方法，假設管節為完全剛性，接頭能夠自由轉動，管線接頭沉降與地層沉降一致，根據幾何關系推算接頭相對轉角[2，4]. 經驗方法忽略了管線與地層的相互作用，也沒有考慮接頭傳遞彎矩的能力. 在理論計算方面，接頭的存在使得管線剛度不連續，難以獲得管線變形的解析解，因而多采用數值方法求解，解析計算方面的研究較少. Klar等[5]采用邊界積分法求解隧道施工引起的管線變形，將管線接頭簡化為具有轉動剛度的彈簧鉸單元.張陳蓉等[6]基于有限差分法，在管線接頭兩側設置虛節點，給出了帶接頭管線變形微分方程的差分格式.程霖等[7]在管線變形微分方程中引入脈沖函數，得到了包含傅里葉級數的接頭相對轉角解析解，雖然考慮了接頭處管線抗彎剛度的折減，但剛度折減系數不容易獲得，因而不便于實際應用.

以上研究工作表明，目前帶接頭管線變形計算依賴于經驗方法和數值方法，解析方法的研究尚不充分.為此，本文建立帶接頭管線變形的控制微分方程，從求解微分方程的角度，采用傳遞矩陣法[8]，推導了管節的場矩陣及管線接頭的點矩陣，得到帶接頭管線狀態變量的傳遞矩陣，進而求得管線變形和內力. 通過與有限元解、經驗方法、試驗及實測數據的對比，驗證了本文方法的正確性，進一步采用本文方法對管線變形的影響因素進行了參數分析.本文方法可用于計算帶接頭管線的變形和內力，為穿越管線施工的風險評估提供了理論參考.

1? ?管節和場矩陣

圖1為管線變形示意圖，隧道開挖引起地層及管線產生沉降，接頭處產生相對轉角.

將管節視為彈性地基上的Euler-Bernoulli梁，基底變形服從Winkler假定，則管節變形的控制微分方程可寫為[7]：

式中：Ep為管線彈性模量，Pa;Ip為管線截面慣性矩，m4;k為地基系數，Pa/m;D為管線外徑，m;w和S分別為管線撓度和地層位移，向上為正，m.

地基系數k通過式（2）進行計算[4]，即：

式中：Es為管線所在地層土體的彈性模量，Pa;νs為管線所在地層土體的泊松比.

地層位移用Peck公式表示[9]，即：

式中：Smax為地層最大沉降，m;μ為隧道中線的坐標，m;i為沉降槽寬度系數，m.

如圖2所示，將一段管節劃分為n小段梁，每小段梁長度為ξ，當ξ比較小時，每小段梁受到的荷載近似為均布荷載.

對圖2中任意一小段梁單獨分析，將其受到的均布荷載簡記為q，則該小段梁變形控制微分方程為：

將式（4）寫成一階微分方程組形式

式中：θ為轉角，以逆時針為正，rad;M為彎矩，以使梁下側受拉為正，N·m;Q為剪力，以使截面右側梁段順時針旋轉為正，N.

將式（5）改寫為矩陣形式

其中：

對式（6）進行拉普拉斯變換，得到：

v（s） = （Is - u）-1 v（0） + （Is - u）-1 l（s）? ? ?（7）

式中：s為復變量;I為4階單位矩陣.

對式（7）進行拉普拉斯逆變換，得到：

v（x） = L-1[（Is - u）-1]v（0） + L-1[（Is - u）-1]v（s）

（8）

式中：L-1[·]為拉普拉斯逆變換運算符.

將坐標x = ξ代入式（8），并將式（8）改寫為增廣矩陣形式，即：

Vξ = UV0? ? ? ? ? ? （9）

其中：

V0 = （w0? ?θ0? ?M0? ?Q0? ?1）T

Vξ = （wξ? ? θξ? ?Mξ? ?Qξ? ?1）T

式中：U為場矩陣;V0、Vξ為狀態向量，其元素為狀態變量，下標表示狀態向量和狀態變量的計算位置;λ、β1、β2、β3、β4為系數，分別為：

β1 = cos λξ cosh λξ

β2 = sin λξ cosh λξ + cos λξ sinh λξ

β3 = sin λξ sinh λξ

β4 = sin λξ cosh λξ - cos λξ sinh λξ

由式（9）可見，狀態向量V0通過矩陣U傳遞至x = ξ處，得到狀態向量Vξ . 通過上述方法獲得各小段梁場矩陣，分別記為U1、U2、…、Un，則x = 0處狀態變量可依次通過各小段梁場矩陣傳遞至x = xn處，即

V xn = Un Un - 1Un - 2 …U2 U1 U0 = UV0? ? ? ? （10）

式中：U為整段管節的傳遞矩陣.

2? ?接頭和點矩陣

將接頭簡化為鉸點，如圖3所示，圖中，ks為接頭轉動剛度，N·m/rad;Xj為接頭坐標，j為接頭編號.將管線接頭分為兩類，一類不能傳遞彎矩，兩側管節能夠自由轉動，將這種接頭簡化為自由鉸，采用此類接頭的管線簡稱“自由鉸管線”;另一類能夠傳遞部分彎矩，將這種接頭簡化為具有一定轉動剛度的彈簧鉸，采用此類接頭的管線簡稱“彈簧鉸管線”.

鉸點左側狀態變量通過鉸點傳遞至右側，即：

鉸點兩側管線的撓度、彎矩和剪力均相同，管線轉角將產生突變.

對于彈簧鉸，轉角突變Δθ等于彎矩與接頭轉動剛度的比值，即彈簧鉸兩側轉角的關系為：

因此，任意一個彈簧鉸的點矩陣為：

對于自由鉸，設第j個接頭右側轉角為：

θRXj = θLXj + ΔθXj = θLXj + ηθw wLXj + ηθθ θLXj +

ηθM MLXj + ηθQ QLXj + ηθq qLXj? ? ? ? ? （13）

式中：ηθ為各狀態變量以及外力對管線轉角的影響系數，則第j個接頭的點矩陣可表示為：

根據式（11），第j個接頭兩側狀態向量關系為：

將式（14）代入式（10），得到第j+1個接頭左側的狀態向量

式中：Uj + 1為第j個接頭右側管節的傳遞矩陣，設為：

Uj + 1 = uww? ? uwθ? ? ?uwM? ? uwQ? ? uwquθw? ? uθθ? ? ? uθM? ? uθQ? ? uθquMw? ? uMθ? ? ?uMM? ?uMQ? ? uMquQw? ? uQθ? ? ?uQM? ? uQQ? ? uQq 0? ? ? ?0? ? ? ?0? ? ? ?0? ? ? 1

uMw + uMθ ηθw = 0uMθ + uMθ ηθθ = 0uMM + uMθ ηθM = 0uMQ + uMθ ηθQ = 0uMq + uMθ ηθq = 0? ? ? ? ? （16）

解方程組（16）可得影響系數ηθ的值，進而得到第j個接頭的點矩陣，即：

3? ?邊界條件和狀態變量求解

對于計算長度為L、管節數為N + 1、接頭數目為N的管線，如圖4所示，管線左端（x = 0）的狀態變量可依次通過管節的場矩陣和接頭的點矩陣傳遞至管線右端（x = L），即：

式中：Ue為總體傳遞矩陣.

計算范圍內管線兩端距離隧道穿越中線較遠，受隧道開挖影響可以忽略不計.

對于彈簧鉸管線，根據其接頭特點，令管線兩端轉角為0，剪力為0，則左端的狀態向量為：

V0 = （w0? ?0? ?M0? ?0? ?1）T

其中，w0、M0為管線左端未知狀態變量.通過式（17）將V0傳遞至管線右端，利用管線右端轉角為0，剪力為0的邊界條件，得到關于未知狀態變量的方程組

f1（w0，M0） = 0f2（w0，M0） = 0? ? ? ?（18）

對于自由鉸管線，根據其接頭特點，令管線兩端沉降為0，彎矩為0. 則左端的狀態向量為：

V0 = （0? ?θ0? ?0? ?Q0? ?1）T

其中，θ0、Q0為管線左端未知的狀態變量.

要注意，在推導第N個接頭點矩陣N時用去了管線右端彎矩為0的邊界條件，管線右端只剩下沉降為0這一個邊界條件可以利用，彎矩為0的條件只剩下第1個接頭處可以利用.因此，分別通過式（10）和式（17）將V0傳遞至第1個接頭（x = X1）和管線右端，利用第1個接頭處彎矩為0的條件和管線右端豎向變形為0的條件，得到關于左端未知狀態變量的方程組

g1（θ0，Q0） = 0g2（θ0，Q0） = 0? ? ? ?（19）

求解方程組（18）或方程組（19）得到x = 0處未知狀態變量，再通過場矩陣和點矩陣計算管線各點的變形和內力. 隧道開挖引起的管線相對轉角等于接頭兩側管節的轉角差值，即

ΔθXj = θRXj - θLXj? ? ? ? ?（20）

從求解過程看，與有限元法相比，傳遞矩陣法的未知量只有管線兩端的未知邊值，無需求解大型方程組，計算量小，且可通過增減分段數達到任意計算精度.從所需計算參數看，與文獻[7]的傅里葉級數法相比，傳遞矩陣法采用的接頭轉動剛度可通過現有資料獲得[10]，便于實際應用.

4? ?案例計算與試驗驗證

4.1? ?案例計算

采用MATLAB編寫本文方法的計算程序.為驗證本文方法的正確性，采用ANSYS建立有限元模型，其中管節采用梁單元（BEAM4）模擬，地基彈簧和管線接頭采用彈簧單元（COMBIN14）模擬.地基彈簧單元的一端與梁單元節點相連，另一端施加由隧道開挖引起的地層位移荷載.

案例1為文獻[4]算例，隧道垂直下穿管線，計算參數為：地層最大沉降13.6 mm，沉降槽寬度系數2.6 m，地基系數2.38 × 107 Pa/m;管線彈性模量70 GPa，外徑0.5 m，壁厚0.018 m;管節長度5.49 m，管線接頭簡化為自由鉸.

案例2為北京地鐵14號線某區間工程垂直下穿鑄鐵污水管線，測得地層最大沉降12.4 mm，沉降槽寬度系數2.5 m，地基系數2.66 × 107 Pa/m;管線彈性模量100 GPa，外徑1.462 m，壁厚17.1 mm;管節長度6 m，接頭轉動剛度1.79 × 107 N·m/rad.

圖5為管線沉降和彎矩的計算結果，同時也給出了與有限元結果及實測數據的對比.可見，本文方法計算結果與有限元方法結果一致，與實測數據趨勢基本符合，證明了本文方法的正確性.

文獻[4]給出的經驗方法未考慮管土相互作用，簡單假定管線接頭處的沉降與同水平處地層自由沉降一致，得到最大相對轉角計算結果為4.42 × 10-3 rad（0.25°）. 由于管節本身具有一定的抗彎剛度，因而管線接頭沉降與地層沉降并不相同，本文方法考慮了管土相互作用，所得隧道正上方接頭沉降大于同水平處地層自由沉降，最大相對轉角的計算結果為4.96 × 10-3 rad（0.28°），由此可見，本文方法與經驗方法相比更為安全、合理.

4.2? ?離心模型試驗

試驗采用交通運輸部天津水運工程科學研究院的TK-C500型土工離心機，設計加速度為80g（由π定理可知模型的幾何相似數為80[11]），模擬盾構隧道垂直下穿既有管線，如圖6所示.

如圖6所示，采用LVDT位移傳感器測量管線沉降及管軸線同一水平處土層沉降. 設置11個彎矩測量斷面，每個測量斷面用4個應變片連接成全橋電路.

試驗管線為承插式鋁合金管.試驗隧道開挖采用外套鋼套筒的液壓油缸模擬，套筒可沿油缸縱向滑動，推出套筒將引起地層損失從而使地層及管線產生變形. 將管線與隧道的模型及原型試驗參數列于表1.

管線模型包含8個管節，總長922.5 mm，管線模型中心接頭與隧道開挖中線重合.在管節承口內部粘貼橡膠圈，將管節插口插入橡膠圈粘牢，如圖7所示，室內試驗測得接頭旋轉剛度為4.76 × 108 N·m/rad.試驗用土為豐浦砂，室內試驗測得地基系數為7.37 × 106 Pa/m.

試驗時，逐級增大離心機加速度至80g，待管線與土層沉降穩定，將鋼套筒按40 mm/min的速度勻速推出，模擬隧道開挖，管土沉降穩定后逐漸降低離心機加速度至停止.

將隧道開挖引起的管軸線同一水平處土體自由沉降監測數據按式（3）擬合，得到Smax = 73.31 mm，沉降槽寬度i = 6.60 m. 采用地層沉降擬合數據（已換算為原型沉降數據）計算管線沉降和彎矩，與試驗結果進行對比，如圖8所示，可見，管線沉降和彎矩的理論計算結果與試驗數據趨勢一致，相互能夠進行較好的印證.

5? ?影響因素分析

5.1? ?接頭與隧道中線相對位置的影響

設接頭與隧道中線距離為d，管節長度為Lp，則案例計算相當于考慮了d = 0和d = 0.5Lp兩種位置關系.為更全面了解接頭與隧道中線相對位置對管線變形和內力的影響，令d = 0、0.75 m、1.5 m、2.25 m、3.0 m，結合案例2計算參數，計算管線變形和彎矩.

將位置坐標x、管線沉降w和彎矩M歸一化，得到無量綱量（x - μ）/i、w/Smax和Mi2/（Ep Ip Smax），計算結果如圖9所示，可見，d = 0時，隧道中線處管線沉降大于地層沉降，兩側相鄰管節變形呈現剛體轉動，管線彎矩較小. 隨隧道中線向管節中部移動，管線沉降減小，隧道中線附近管節彎曲變形增大，管線彎矩增大. 圖9（a）表明，距離隧道中線最近的管線接頭產生的相對轉角最大，該處接頭相對轉角是由管線沉降造成的，本文稱為“沉降角”;距離隧道中線2.5i～3.5i范圍內，管線產生一定的隆起變形，該處管線接頭也產生明顯的相對轉角，本文稱為“隆起角”.

圖10為管線“沉降角”和“隆起角”的最大值隨d/Lp的變化規律. 由圖10可見，“沉降角”和“隆起角”隨d/Lp的增大都呈減小的趨勢，因而，對接頭變形來說，隧道中線與某一接頭位置重合為最不利工況. d/Lp = 0.5時，“隆起角”大于“沉降角”，說明新建隧道中線位于管節中心時，應關注沉降槽邊緣（沉降槽半寬約為3i[4]）管線接頭產生的“隆起角”.

5.2? ?地層變形及管線參數的影響

管線的力學響應受地層變形及管線自身參數的影響，包括接頭轉動剛度ks、管線抗彎剛度Ep Ip、地基系數k、管節長度Lp、沉降槽寬度系數i和地層最大沉降Smax.

令管線接頭處在隧道中線正上方，即最不利位置.將接頭最大相對轉角歸一化，即Δθmax i/Smax，結合案例2計算參數，討論以上參數對其影響.

圖11給出了歸一化最大相對轉角隨接頭轉動剛度ks的變化規律. 由圖11可見，接頭轉動剛度為0時，接頭不承受彎矩，此時接頭相對轉角最大;隨接頭轉動剛度的增大，接頭承受彎矩的能力增強，接頭相對轉角減小.

圖12 ～ 圖14分別給出了兩類管線歸一化最大相對轉角隨地基系數k、管節抗彎剛度Ep Ip和管節長度Lp的變化規律.由圖12可見，接頭相對轉角隨地基系數的增大呈先增大后減小的趨勢. 這是因為地基系數較小時，管節彎曲變形由接頭轉動釋放，管節變形呈剛性，在接頭兩側產生轉角差異，此時地基系數增大使管線沉降增大，進而接頭兩側管節的轉角差異增大;地基系數較大時，隨地基系數增大，管節的彎曲變形增大，接頭兩側管節的轉角差異減小.對于自由鉸管線，相對轉角在k = 1 × 106 ～ 2 × 108 Pa/m范圍內（大部分土質地基的地基系數位于此范圍[12]）變化不大，可以推斷，在土質地層中，不論土體壓縮性如何，自由鉸管線均易于產生較大的接頭相對轉角.

由圖13可見，兩類管線受管節抗彎剛度的影響相同. 管節剛度較小時，管線整體變形與地層變形接近，變形曲線平緩，接頭相對轉角較小;管線剛度較大時，管節呈剛體轉動，管線變形與地層變形差異較大，接頭產生較大的相對轉角.

由圖14可見，兩類管線受管節長度的影響相同.管線被接頭劃分為若干小段，管節長度較小時（Lp < 1.6i），整體變形呈現柔性，變形與地層變形接近，在這個階段，隨管節長度增長，管線整體性增強，與地層變形差異增大，接頭相對轉角也增大;由于管節具有一定的抵抗彎曲變形的能力，管節長度較大時（Lp > 1.6i），隨管節長度增長，管線沉降減小，接頭相對轉角也減小;管節長度為1.6i時，接頭相對轉角達到峰值. 在實際工程中，應對管節長度滿足這一特征的管線予以重視，加強防護和監測.

由圖12～圖14可以看出，歸一化相對轉角存在極限值，不會隨某一計算參數的增長而無限增長.為得到歸一化相對轉角的極限值，計算自由鉸管線歸一化最大相對轉角隨地層變形參數Smax和i的變化規律，如圖15、圖16所示.

由圖15可見，歸一化相對轉角不隨地層最大沉降的變化而變化，說明接頭相對轉角與地層最大沉降呈正比. 由圖16可見，隨沉降槽寬度系數的增大，歸一化最大相對轉角呈先增大后減小的趨勢，這是因為沉降槽寬度較小時，管線由于自身剛度的原因，變形小于地層沉降;隨著沉降槽寬度增大，管線變形超過地層沉降，接頭相對轉角增大，但沉降槽寬度的增大使得地層沉降逐漸平緩，管線變形逐漸與地層沉降趨于一致，接頭相對轉角減小. 通過圖16可以看出，管線歸一化相對轉角的極限為1.1，當實際工程中缺乏設計資料時，可取Δθmax = 1.1 Smax /i作為保守的接頭相對轉角估計值.

6? ?結? ?論

將帶接頭管線按接頭傳遞彎矩的特性分為“自由鉸管線”和“彈簧鉸管線”兩類. 采用傳遞矩陣法求解了管線變形的控制微分方程，推導了管節的場矩陣和兩類管線接頭的點矩陣，給出了管線未知邊值的求解過程. 通過與有限元計算結果、離心模型試驗結果和實測數據對比，本文方法是可靠的.

采用本文方法針對管線接頭與隧道開挖中線距離、管線參數和地層變形參數進行了影響因素分析.結果表明，對接頭變形來說，接頭與隧道中線位置重合為最不利工況.若隧道中線位于管節中心，則距開挖中線2.5i ～ 3.5i的管線接頭將因此處的管線隆起而產生較大的相對轉角.相同條件下，自由鉸管線的接頭相對轉角大于彈簧鉸管線.在土質地層中，自由鉸管線可產生比較大的接頭相對轉角，且相對轉角基本不受地基系數影響.通過分析管節長度的影響規律，可知管節長度為1.6i時，接頭相對轉角出現峰值，實際工程中應對符合這一長度特征的管線采取相應的保護措施，并加強監測. 參數分析表明，管線接頭相對轉角的極限值為1.1Smax /i，當缺乏設計資料時，可用該值保守估計管線相對轉角.

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